任务二图解法求解线性规划问题

任务二 图解法求解线性规划问题
情境导入：
我们上一个任务成功的将一个实际问题转化为数学语言，用数学模型表达了出来，但是该问题到底该怎么解决呢？我们又该如何对该数学模型进行求解呢？
任务：掌握图解法求解两个决策变量的线性规划问题的思路，了解线性规划问题解的性质 任务引入：
现在我们要想办法求解例1的数学模型
MaxZ=2x 1+3x 2
⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥⋅≤≤≤+0
12416482..212121x x x x x x t s 一、任务分析
图解法是指求解仅含两个变量的线性规划问题的一种方法。

是求解线性规划的一种几何解法。

只含两个变量的线性规划问题，由约束条件确定的可行域可以在二维平面上表示出来，按照一定规则，在可行域上移动目标函数的等值线，从而得到线性规划问题的最优解。

这里的可行域是凸区域，最优解必在可行域的某个顶点上达到。

[1]
图解法仅适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛。

针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下：
1. 若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合巾，这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上为一个凸几何体。

2.若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。

3.线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。

4.线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。

以上结论是非常有用的，特别是结论2非常明确地告诉我们，线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点(特殊情况为在凸集的某一条边界上)上达到。

因此，求解线性规划问题可转化为如何在可行域的顶点上求出使目标函数值达到最优的点的问题。

由于可行域的顶点个数是有限的，因此在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一一寻找即可，这样就极大地降低了线性规划问题的复杂程度，将减少大量的工作。

通过图解法直观的画图表现形式，也能让我们对线性规划解的进行更加理解。

二、基本理论
（一）解的基本概念
通过上面的描述，我们对线性规划问题的解有如下理解，从线性代数角度来说，接分为可行解和最优解。

可行解：凡满足约束条件和非负条件的决策变量的取值12(,,
,)T n x x x =x 称为线性
规划可行解。

所有可行解的集合称为线性规划的可行域。

最优解：使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解
****12(,,,)T n X x x x =。

（二）图解法基本步骤
在明确线性规划可行解、可行域和最优解的基础上，介绍线性规划的图解法。

对于两个的线性规划问题，可以通过平面图进行求解，是线性规划问题解的几何表示。

图解法的基本步骤可以概括如下：
1.建立平面直角坐标系。

取决策变量为坐标向量，标出坐标原点、坐标轴指向及单位长度。

2.确定线性规划解可行域。

根据非负条件和约束条件画出解的可行域。

只有在第一象限的点才满足线性规划非负条件。

将以不等式表示的每个约束条件化为等式，在坐标系第一象限作出约束直线，每条约束直线将第一象限划分为两个半平面，通过判断确定不等式所决定的半平面。

所有约束直线可能形成或不能形成相交区域，若能形成相交区域，相交区域任意点所表示解称为此线性规划可行解，这些符合约束限制的点集合，称为可行集或可行域。

转到第三步；若不能形成相交区域，就没有可行域，该线性规划问题无可行解。

3.绘制目标函数等值线。

目标函数等值线，就是目标函数取值相同点的集合，通常是一条直线。

4.寻找线性规划最优解。

对于目标函数的任意等值线，确定该等值线平移后值增加的方向，平移此目标函数的等值线，使其达到既与可行域相交又不可能使目标函数值再增加的位置。

相交位置存在三种情况：若有唯一交点时，目标函数等值线与可行域相切，切点坐标就是线性规划的最优解；若相交于多个点，称线性规划有无穷多最优解；若相交于无穷远处，此时无有限最优解。

通过上述的讨论，求线性规划问题最优解，可以转化为在其可行域有限个极点上进行搜索的方法。

基本思路是，先找出凸集任意一个极点，计算极点的目标函数值。

比较与之相邻的目标函数值是否比该极点的目标函数值更优，如果为否，则该极点就是最优解，如果为是，转到比该点目标函数值更优的另一极点。

重复上述过程，直到找出使目标函数值达到最忧的极点为止。

三、任务实施
对例1 运用图解法求解线性规问题。

引例如下：
Max Z=2x 1+3x 2
①
②
③
④
⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥≥≤≤≤+0
,012416482212121x x x x x x
按以下顺序进行： 解：1.建立平面直角坐标系，两个决策变量分别为两个坐标轴；
2.确定线性规划解可行域。

方法为依次做每条约束线，标出可行域的方向，并找出它们共同的可行域。

例如约束条件① 先将其等式x 1+2x 2=8在坐标系中画出，定出约束条件x 1+2x 2≤8表示的区域.为了找到x 1+2x 2≤8的半平面，只要在某个半平面上找到一点，把该点的坐标代入不等式，若满足不等式，则该点所在半平面为所求半平面，否则为另一半平面x 1+2x 2>8。

为了计算简便起见，一般选取原点(0，0)代入不等式，因把原点坐标代人时能满足不等式0+2×0≤8，所以原点所在半平面满足不等式，于是约束条件x 1+2x 2≤8代表含原点的半平面。

按照该方法依次将所有约束条件在平面坐标系中画出，找出所有约束条件的交集，及可行域范围。

本模型的可行域为如图所示的阴影部分。

3.任取一目标函数值作一条目标函数线（称等值线），根据目标函数（最大或最小）类型，平移该直线即将离开可行域上，则与目标函数线接触的最终点即表示最优解。

也可以用另一种方法，及在其可行域有限个极点上进行搜索的方法。

基本思路是，先找出凸集任意一个极点，计算极点的目标函数值。

比较与之相邻的目标函数值是否比该极点的目标函数值更优，如果为否，则该极点就是最优解，如果为是，转到比该点目标函数值更优的另一极点。

重复上述过程，直到找出使目标函数值达到最忧的极点为止。

本例题的极值点有Q 1、Q 2、Q 3、Q 4四个，坐标分别为（4,0）、（4,2）、（2,3）、（0,3）。

这四个点中，Q 2（4,2）会带来目标函数的最大值，最大值为14，故x 1 =4，x 2 =2时目标函数取得最大值。

即Ⅰ、Ⅱ商品分别生产4件和2件，会获得最大利润，利润值为14个单位。

图1
四、线性规划问题几何解的讨论
利用图解法可以讨论线性规划解的四种情况。

1. 唯一最优解。

线性规划唯一最优解是指该规划问题有且仅有一个既在可行域内、又使目标值达到最优的解。

此例有唯一解Q 2，即x 1=4,x 2=2,z=14.
2. 无穷多最优解。

线性规划问题的无穷多解是指，该规划问题有无穷多个既在可行域内、又使目标值达到最优的解。

此例中若将目标函数改为Z=2x 1+4x 2则线段Q 2，Q 3上的点均
为最优解。

有无穷多最优解（多重解）
3. 无有限最优解（无界解）。

线性规划问题的无有限最优解是指最大化问题中的目标函数值可以无限增大，或最小化问题中的目标函数值可以无限减少。

考虑下述线性规划模型：
12Maxf x x =+
112
4..0,0x s t x x ≤⎧⎨≥≥⎩ 利用图解法进行求解时，可行域是一个非封闭的无界区域，x 1的取值可以无限增大，同时，目标函数值也可以增大到无穷，如图2-2所示。

在这种情况下，称线性规划无有限最优解或无界解。

原因在于建立线性规划模型时，遗漏了某种必要资源的约束。

图
2-2
图2-3
4.无可行解。

当线性规划问题中的约束条件不能同时满足时，将出现无可行域的情况，这时不存在可行解，即该线性规划问题无解。

考虑下述线性规划模型
12Maxf x x =+
12121
224..
250,0x x s t x x x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩ 利用图解法进行求解时，在第一象限内，所有约束条件不能形成一个相交平面区域，如图2-3。

线性规划问题不存在可行域，也就是说，问题没有可行解。

其原因是线性规划模型自身的错误，约束条件之间自相矛盾，应根据实际情况进行调整。

任务小结：图解法是一种直观的求解线性规划问题的方法，可以很好给我们展示线性规划解的情况，但是应用面较窄。

下面请大家思考一下，例题2和例题3能否用图解法求解？。