高三数学11月教学质量测评试题 理含解析 试题

2021届高三数学11月教学质量测评试题理〔含解析〕
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。

一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕
1．集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，那么A∩B＝〔〕
A．〔﹣∞，2〕B．〔﹣∞，1〕C．〔﹣2，1〕D．〔﹣1，2〕
2．复平面内表示复数z＝的点位于〔〕
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设两个单位向量的夹角为，那么＝〔〕
A．1 B．C．D．7
4．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出以下四个命题：
①假设a∥α，b∥α，那么a∥b；②假设a∥α，a∥β，那么α∥β；
③假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b；④假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β．
其中正确的个数是〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图是某10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，以下表达中不正确的选项是〔〕
A．这14天中有7天空气质量优良
B．这14天中空气质量指数的中位数是103
C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好
D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
6．甲、乙、丙三人中，一位是人，一位是人，一位是人，丙比人年龄大，甲和人不同岁，人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中〔〕
A．甲不是人B．人比甲年龄小
C．人比人年龄大D．人年龄最小
7．数列{a n}对于任意正整数m，n，有a m+n＝a m+a n，假设a20＝1，那么a2021＝〔〕A．101 B．1 C．20 D．2021
8．函数的图象大致是〔〕
A．B．
C．D．
9．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，那么C的离心率为〔〕
A．B．C．D．
10．函数f〔x〕的定义域为R，假设f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，那么〔〕A．f〔x〕是偶函数B．f〔x〕是奇函数
C．f〔x+3〕是偶函数D．f〔x〕＝f〔x+2〕
11．将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY，那么不同的分配方案一共有〔〕
A．2640种B．4800种C．1560种D．7200种
12．函数f〔x〕＝sin x•sin2x，以下结论中错误的选项是〔〕
A．y＝f〔x〕的图象关于点对称
B．y＝f〔x〕的图象关于直线x＝π对称
C．f〔x〕的最大值为
D．f〔x〕是周期函数
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕
13．棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，那么该球的体积为．
14．F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，假设线段PF1的中点Q在C的渐近线上，那么C的两条渐近线方程为．15．假设直线y＝kx+b是曲线y＝e x﹣2的切线，也是曲线y＝e x﹣1的切线，那么b＝．
16．设等比数列{a n}满足a3＝2，a10＝256，那么数列{4n2a n}的前n项和为．
三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕
17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝4，b sin A＝3．〔1〕求tan B及边长a的值；
〔2〕假设△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．
18．?九章算术?中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．
〔1〕证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；
〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．
19．一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F〔1，0〕的间隔减去它到y轴的间隔的差都是1．〔1〕求曲线C的方程；
〔2〕过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．
20．函数f〔x〕＝sin2x﹣|ln〔x+1〕|，g〔x〕＝sin2x﹣x．
〔1〕求证：g〔x〕在区间上无零点；
〔2〕求证：f〔x〕有且仅有两个零点．
21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开场在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，假设掷出奇数点，那么棋子向前跳动一站；假设掷出偶数点，那么向前跳动两站，直到棋子跳到第99站〔获胜〕或者100站〔失败〕时，游戏完毕〔骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6〕．
〔1〕求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；
〔2〕求证：{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是等比数列；
〔3〕求玩该游戏获胜的概率．
请考生在第22、23两题中任选一题答题，并需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域规定的正确位置答题．假如多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
〔1〕求C的普通方程和l的直角坐标方程；
〔2〕求C上的点，到l间隔的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．a，b为正数，且满足a+b＝1．
〔1〕求证：；
〔2〕求证：．
2021-2021学年华大新高考联盟高三〔上〕11月质检数学试卷〔理科〕
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕
1．集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，那么A∩B＝〔〕
A．〔﹣∞，2〕B．〔﹣∞，1〕C．〔﹣2，1〕D．〔﹣1，2〕
【解答】解：A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝〔﹣1，2〕．
应选：D．
2．复平面内表示复数z＝的点位于〔〕
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵z＝＝＝，
∴复平面内表示复数z＝的点的坐标为〔〕，位于第三象限．
应选：C．
3．设两个单位向量的夹角为，那么＝〔〕
A．1 B．C．D．7
【解答】解：两个单位向量的夹角为，
那么＝9+24•+16＝9×12+24×1×1×cos+16×12＝13，
所以＝．
应选：B．
4．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出以下四个命题：
①假设a∥α，b∥α，那么a∥b；②假设a∥α，a∥β，那么α∥β；
③假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b；④假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β．
其中正确的个数是〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①，假设a∥α，b∥α，那么直线a和直线b可以相交也可以异面，故①错误；
对于②，假设a∥α，a∥β，那么平面a和平面β可以相交，故②错误；
对于③，假设a⊥α，b⊥α，那么根据线面垂直出性质定理，a∥b，故③正确；
对于④，假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β成立；
应选：B．
5．如图是某10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，以下表达中不正确的选项是〔〕
A．这14天中有7天空气质量优良
B．这14天中空气质量指数的中位数是103
C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好
D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
【解答】解：由图可知，空气质量指数小于100表示空气质量优良，有7天，A正确，
空气质量指数从小到大为：25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，3月1日至14日空气质量指数的中位数为：，B不成立，
D，正确，偏向最大，
应选：B．
6．甲、乙、丙三人中，一位是人，一位是人，一位是人，丙比人年龄大，甲和人不同岁，人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中〔〕
A．甲不是人B．人比甲年龄小
C．人比人年龄大D．人年龄最小
【解答】解：由于甲和人不同岁，人比乙年龄小，可知人不是甲乙，故丙是人；
由于丙比人年龄大，人比乙年龄小，可知甲是人；
故：乙〔人〕的年龄＞丙〔人〕的年龄＞甲〔人〕的年龄；
所以ABC错，D对．
应选：D．
7．数列{a n}对于任意正整数m，n，有a m+n＝a m+a n，假设a20＝1，那么a2021＝〔〕A．101 B．1 C．20 D．2021
【解答】解：∵a mn＝a m+a n对于任意正整数m，n都成立，
当m＝1，n＝1时，a2＝a1+a1＝2a1，
当m＝2，n＝1时，a3＝a2+a1＝3a1，
…
∴a n＝na1，
∴a20＝20a1＝1，
∴a1＝，
∴a2021＝2021a1＝2021×＝101．
8．函数的图象大致是〔〕
A．B．
C．D．
【解答】解：函数f〔x〕是奇函数，图象关于原点对称，排除B，
当x＞0，x→0，f〔x〕＞0，且f〔x〕→0，排除A，
函数的导数f′〔x〕＝x2+cos x，那么f′〔x〕为偶函数，
当x＞0时，设h〔x〕＝x2+cos x，那么h′〔x〕＝2x﹣sin x＞0恒成立，即h〔x〕≥h〔0〕＝1＞0，即f′〔x〕＞0恒成立，那么f〔x〕在R上为增函数，
应选：D．
9．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，那么C的离心率为〔〕
A．B．C．D．
【解答】解：如下图，∵PF2⊥F1F2，∴P〔c，〕．
∵，∴＝，
∴＝+＝〔﹣c，0〕+〔2c，〕＝〔，〕，
∵，
∴〔2c，〕•〔﹣，〕＝﹣+＝0，又b2＝a2﹣c2．
化为：e4﹣4e2+1＝0，e∈〔0，1〕．
解得e2＝2﹣，
∴e＝．
应选：A．
10．函数f〔x〕的定义域为R，假设f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，那么〔〕A．f〔x〕是偶函数B．f〔x〕是奇函数
C．f〔x+3〕是偶函数D．f〔x〕＝f〔x+2〕
【解答】解：f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f〔x〕的图象关于x＝1，x＝﹣1对称，
可得f〔x〕＝f〔2﹣x〕＝f〔﹣4+x〕，即有f〔x+4〕＝f〔x〕，
∴函数的周期T＝4，
∴f〔﹣x+3〕＝f〔﹣x﹣1〕＝f〔x+3〕，那么f〔x+3〕为偶函数，
应选：C．
11．将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY，那么不同的分配方案一共有〔〕
A．2640种B．4800种C．1560种D．7200种
【解答】解：依题意，6人分成每组至少一人的4组，可以分为3，1，1，1或者2，2，1，1两种，分为3，1，1，1四组时，有＝480种，
分为2，2，1，1四组时，有＝1080种，
故一共有480+1080＝1560种，
应选：C．
12．函数f〔x〕＝sin x•sin2x，以下结论中错误的选项是〔〕
A．y＝f〔x〕的图象关于点对称
B．y＝f〔x〕的图象关于直线x＝π对称
C．f〔x〕的最大值为
D．f〔x〕是周期函数
【解答】解：对于A，因为f〔π﹣x〕+f〔x〕＝sin〔π﹣x〕sin〔2π﹣2x〕+sin x sin2x＝0，所以A正确；
对于B，f〔2π﹣x〕＝sin〔2π﹣x〕sin〔4π﹣2x〕＝sin x sin2x＝f〔x〕，所以B正确；
对于C，f〔x〕＝sin x•sin2x＝2sin2x cos x＝2〔1﹣cos2x〕cos x＝2cos x﹣2cos3x，令t＝cos x，那么t∈[﹣1，1]，f〔x〕＝g〔t〕＝2t﹣2t3，令g′〔t〕＝2﹣6t2＝0，得，t＝，当t＝时，g〔t〕有最大值2〔1﹣〕＝，故C错误；
对于D，f〔2π+x〕＝f〔x〕，故2π为函数f〔x〕的一个周期，故D正确；
应选：C．
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕
13．棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，那么该球的体积为4π．【解答】解：假设棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
那么球的直径等于正方体的对角线长
即2R＝2
∴R＝
那么球的体积V＝＝4π．
故答案为：4π．
14．F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，假设线段PF1的中点Q在C的渐近线上，那么C的两条渐近线方程为y＝±2x．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1⊥PF2，
线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQ∥PF2，
且PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，
可得F1〔﹣c，0〕到OQ的间隔为＝b，
即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，
即b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
15．假设直线y＝kx+b是曲线y＝e x﹣2的切线，也是曲线y＝e x﹣1的切线，那么b＝．【解答】解：设直线y＝kx+b与y＝e x﹣2和y＝e x﹣1的切点分别为〔〕和〔〕，那么切线分别为，，
化简得：，，
依题意有：，
∴x1﹣2＝x2，x2＝﹣ln2，
那么b＝＝．
故答案为：．
16．设等比数列{a n}满足a3＝2，a10＝256，那么数列{4n2a n}的前n项和为S n＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6 ．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，a3＝2，a10＝256，
可得q7＝＝128，解得q＝2，
那么a n＝a3q n﹣3＝2n﹣2，
可得4n2a n＝n22n，
设数列{4n2a n}的前n项和为S n，
那么S n＝1•2+22•22+32•23+…+n22n，
2S n＝1•22+22•23+32•24+…+n22n+1，
相减可得﹣S n＝1•2+3•22+5•23+…+〔2n﹣1〕•2n﹣n22n+1，
﹣2S n＝1•22+3•23+5•24+…+〔2n﹣1〕•2n+1﹣n22n+2，
相减可得S n＝1•2+2〔22+23+…+2n〕+n22n+1﹣〔2n﹣1〕•2n+1
＝2+2•+〔n2﹣2n+1〕•2n+1
＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6．
故答案为：S n＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6．
三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕
17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝4，b sin A＝3．〔1〕求tan B及边长a的值；
〔2〕假设△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．
【解答】解：〔Ⅰ〕在△ABC中，由a cos B＝4，b sin A＝3，
两式相除，有＝＝•＝•＝，
所以tan B＝，
又a cos B＝4，
故cos B＞0，那么cos B＝，
所以a＝5．…
〔2〕由〔1〕知sin B＝，
由S＝ac sin B，得到c＝6．
由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得b＝，
故l＝5+6+＝11+
即△ABC的周长为11+．…
18．?九章算术?中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．
〔1〕证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；
〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．
【解答】解：〔1〕证明：∵AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，
∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°，即3＝1+BC2﹣BC，解得BC＝2，
∴BC2＝AB2+AC2，即AB⊥AC，那么△ABC为直角三角形，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；
〔2〕如图，作AD⊥A1C交A1C于点D，连接BD，由三垂线定理可知，BD⊥A1C，
∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，
在Rt△AA1C中，，
在Rt△BAD中，，
∴，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．
19．一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F〔1，0〕的间隔减去它到y轴的间隔的差都是1．〔1〕求曲线C的方程；
〔2〕过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．
【解答】解：〔1〕依题意，设曲线C上的的坐标为〔x，y〕，那么x＞0，
所以﹣x＝1，
化简得：y2＝4x，〔x＞0〕；
〔2〕根据题意，直线l的方程为y＝k〔x﹣1〕，
联立直线l和曲线C的方程得，k2x2﹣〔2k2+4〕x+k2＝0，
设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕
所以，
所以|AB|＝8＝x1+x2+2，即＝6，
解得k＝±1，
所以直线l方程为：x+y﹣1＝0或者者x﹣y﹣1＝0．
20．函数f〔x〕＝sin2x﹣|ln〔x+1〕|，g〔x〕＝sin2x﹣x．
〔1〕求证：g〔x〕在区间上无零点；
〔2〕求证：f〔x〕有且仅有两个零点．
【解答】证明：〔1〕g′〔x〕＝2cos2x﹣1，
当时，，此时函数g〔x〕单调递增，
当时，，此时函数g〔x〕单调递减，
又，，∴函数g〔x〕在区间上无零点；
〔2〕要证函数f〔x〕有且仅有两个零点，只需证明方程sin2x﹣|ln〔x+1〕|＝0有且仅有两个解，设m〔x〕＝sin2x，n〔x〕＝|ln〔x+1〕|，那么只需证明函数m〔x〕与函数n〔x〕的图象有且仅有两个交点，
在同一坐标系中作出两函数图象如下，
由图象可知，函数m〔x〕与函数n〔x〕的图象有且仅有两个交点，故原命题得证．
21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开场在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，假设掷出奇数点，那么棋子向前跳动一站；假设掷出偶数点，那么向前跳动两站，直到棋子跳到第99站〔获胜〕或者100站〔失败〕时，游戏完毕〔骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6〕．
〔1〕求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；
〔2〕求证：{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是等比数列；
〔3〕求玩该游戏获胜的概率．
【解答】解：〔1〕根据题意，棋子跳到第n站的概率为p n，
那么p0即棋子跳到第0站的概率，那么p0＝1，
p1即棋子跳到第1站的概率，那么，
p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或者1次偶数，那么；
故跳到第n站p n有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；
所以；
〔2〕证明：∵，
∴，
又∵；
∴数列{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是以为首项，﹣为公比的等比数列．
〔3〕玩游戏获胜即跳到第99站，
由〔2〕可得〔1≤n≤100〕，
∴，
，
，
⋮
，
∴，
∴．
请考生在第22、23两题中任选一题答题，并需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域规定的正确位置答题．假如多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
〔1〕求C的普通方程和l的直角坐标方程；
〔2〕求C上的点，到l间隔的最大值．
【解答】解：〔1〕由〔t为参数〕，
两式平方相加，得x2+y2＝1〔x≠﹣1〕；
由ρcosθ+ρsinθ+4＝0，得x+y+4＝0．
即直线l的直角坐标方程为得x+y+4＝0；
〔2〕设C上的点P〔cosθ，sinθ〕〔θ≠π〕，
那么P到直线得x+y+4＝0的间隔为：
d＝＝．
∴当sin〔θ+φ〕＝1时，d有最大值为3．
[选修4-5：不等式选讲]
23．a，b为正数，且满足a+b＝1．
〔1〕求证：；
〔2〕求证：．
【解答】证明：a，b为正数，且满足a+b＝1
〔1〕〔1+〕〔1+〕＝1+＝1+，
〔〕〔a+b〕≥〔〕2＝8，
故；
〔2〕∵a+b＝1，a＞0，b＞0，
∴根据根本不等式1＝a+b≥2∴0＜ab≤，
〔a+〕〔b+〕＝＝≥ab+，令t＝ab∈〔0，]，y＝t+递减，
所以，
故〔a+〕〔b+〕≥2+＝．
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。