第六章第五节湍流的统计描述

Bi , j (l ) = [ BLL (l ) − B NN (l )]
v v v BLL (l ) = u L (r )u L (r + l ) v v v B NN (l ) = u N ( r )u N ( r + l )
li l j l
2
+ B NN (l )δ ij
纵向和横向相关
2阶速度纵向和横向相关示意图
4、统计均匀场
如 果 概 率 密 度 pn 对 于 空 间 平 移 具 有 不 变 性 ，则该随机场是统计均匀的。
v v v v v v v v v v v v v v v pn(u1(r1),u2(r2)⋅⋅⋅⋅⋅⋅un(rn))= pn(u1(r1 +ξ),u2(r2 +ξ)⋅⋅⋅⋅⋅⋅un(rn +ξ))
v v Pn (u i(1) < u i ( r j , t1 ) ≤ u i(1) + du i(1) ;⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅; u i( n ) < u i (r j , t n ) ≤ u i( n ) + du i( n ) ) ≡ p n (u i(1) , t1 ;⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅; u i( n ) , t n )du i(1) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅du i( n )
(1) (1) −∞ ∞ (n)
− ui ) p2 (ui , t ; ui , t ;⋅ ⋅ ⋅⋅; ui , t )
(n)
(n)
(1)
( 2)
(n)
dui dui
(1)
( 2)
⋅ ⋅ ⋅ dui
4、平稳随机过程
如果对任意时间增量τ，随机过程的n维概 率密度满足下列等式，则称该随机过程为平稳 随机过程；也就是说，在时间增长的过程中， 概率密度不变的随机过程称为平稳随机过程。 这在随机过程理论中通常叫严平稳随机过程。
li l j lk l3
(liδ jk + l jδ ik )
均匀各向同性随机场的三阶矩满足: li l j lk lk δ ij liδ jk + l jδ ik
Bij ,k (l ) = f l
3
+g
l
+h
l
7、均匀各向同性随机场的谱展开
和平稳随机过程一样，均匀随机场的谱展开 为：
vv v v v ik ⋅ r u i (r ) = ∫∫∫ e dZ i ( k )
§6.5
湍流的统计描述
湍流是不规则运动，但是它是 否具有可预测特性呢？或者说可 否从不规则的变量中寻求可预测 的特征？不规则运动属于随机过 程和随机场，其随机变量最基本 的可预测特性是它的概率和概率 密度。
本节内容
因此，在实际应用中，往往把湍流简化为空 间某一位置上的随机过程，或者是某一时刻的 随机场，并研究其相应的统计特征量或谱函数 特性。 一、随机过程 二、随机场 三、总结和作业
一、随机过程
1、什么是随机过程 ？ 2、随机过程的概率 。 3、随机过程的特征值 。 4、平稳随机过程 。 5、平稳随机过程的谱分布
1、什么是随机过程 ？
对于空间固定点，测量结果由自变量为 时间 t 的随机函数来表示的物理过程，称为 随机过程。 每一次实验中，该函数所得到的函数形 式为x(t)(或y(s))，这叫该过程的一个实 现。 随机过程(实即一元随机函数)与随机变 量的函数不同。随机过程实际上是一个无穷 多维的随机矢量。其描述方法与多维随机矢 量相似。
o
tim e(s)
例子
谱、相关、结构函数
0.1
0.002
E(f)
0.01
a
B
b
1E-3
1E-4
1E-5
FFT integrete B(τ)cos(2πfτ)
1E-6
0.000
1E-3
0.005
0.01
0.1
1
10
0.04
0
50
100
f(Hz) D
0.004
time(s)
c
E(f)
d
0.003
0.002
calculate directly integret
(0.75 , -1.5E-5)
0.001 0.00
(0.35 , -4.8E-4)
0.000 0 10 20 30 1E-3 0.01 0.1
(0.5 , -5.3E-4)
1 10
time(s)
f(Hz)
例子
相关函数和谱函数：
B(τ ) = a 2 e −τ / τ 0
B(t1 , t 2 ) = B(t 2 − t1 )
宽平稳随机过程
设 X={X(t) ， t∈T} 为一实值随机过程，如 果对任意的 t∈T，总有均值和方差为常数，相 关函数只与时间差有关，则称 X 为宽平稳随机 过程。
5、平稳随机过程的谱分布
谱指明在已给的过程中怎样一类振动起主要 作用以及它的内部结构如何。 可以证明，在 -T≤t<T 区间中，对于平稳 随机过程ξ(t)可以展开成
例子
例如云中湍流起伏场与云滴在空间中的随机 分布，云滴的生长乃是一个随机过程，云滴的 半径R就是一个随机变量，此时云滴的体积V就 是随机变量R的函数。
R = R (t )
4 3 V = πR 3
2、随机过程的概率
原则上我们需要知道对于所有可能 n ， t=t1 与t=t2···t=tn时的n维分布函数。
B(τ ) = a e
2 − (τ / τ 0 )
2
a 2τ 0 F (ω ) = π (1 + ω 2τ 02 )
F (ω ) = a 2τ 0 2 π e
2 −ω 2τ 0 /4
二、随机场
1、什么是随机场 ？ 2、随机场的概率 。 3、随机场的特征值 。 4、统计均匀场 。 5、均匀各向同性随机场。 6、均匀各向同性随机场的相关函数。 7、均匀各向同性随机场的谱展开。
(1)
3、随机场的特征值
有实际意义的是各阶统计矩 ：
∞ v v u i (r ) = ∫ u i (r ) p1 (u i )du i −∞
B
(k ) i , j ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅ p
v v v v v v (r1 , r2 ,⋅ ⋅ ⋅⋅, rn ) = u i (r1 )u j (r2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅u p (rk )
统计均匀场有如下特性：
随机场的平均值 是常数， 两点的相关函数 只和两点矢量差有 关。
v u i (r ) = const
v v v v v v Bi , j (r1 , r2 ) = u i (r1 )u j (r2 ) = Bi , j (r1 − r2 )
5、均匀各向同性随机场
随机场是均匀的，且概率密度pn对于空间点 系的任意刚性转动以及通过坐标系原点任一平 面的镜面映射变换都具有不变性，则称该随机 场是各向同性的。 此时， k 阶统计矩只依赖于统计点系的构 形，而与构形在空间的方位无关。
3、随机过程的特征值
当 n=1 时，平均值：可以求得任一时刻 t 时 的统计平均值 和方差
∞ v u i (r j , t ) = ∫ u i p1 (u i , t )du i −∞
σ (t ) = [u i − u i ] = ∫ (u i − u i ) 2 p1 (u i , t )dui
v v v v v v v v Bi , j (r1 , r2 ) = u i (r1 )u j (r2 ) = Bi , j (r1 − r2 ) = Bi , j ( r1 − r2 ) = Bi , j (l )
6、均匀各向同性随机场的相关函数
空 间 两 点 的 九 个 相 关 函 数 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3）可以利用沿两点联线的径向相关和侧 向相关函数来表示（证明）：
ξ (t ) = lim ∑η k e iω t
k
n
n→∞
k =1
谱展开
上式表示，为了增加用谐振荡的线性组合来 近似ξ(t) 的精度，必须增加谐波的数目 n ，并 减小相邻谱频间的差ωk-ωk-1，作为一个极限 过渡， ξ(t)可以表示为
ξ (t ) = ∫ e iωt dZ (ω )
−∞
∞
∞
u i (t ) = ∫ e iωt dZ (ω )
2 2 −∞
∞
随机过程的特征值
当 n=2 时，可以求出在时刻 t1 和 t2 的时间相 关函数或称二阶统计矩或称协方差为
B(t1 , t 2 ) = ∫ (u i
−∞ ∞ (1)
− u i )(u i
(1)
( 2)
− u i ) p 2 (u i , t ; u i , t )du i du i
( 2)
(1)
( 2)
(1)
( 2)
B(t1 , t 2 ) = B(t 2 , t1 )
B (t1 , t 2 ) = σ 2 (t )
t 2 −t1 →∞
lim B(t1 , t 2 ) = 0
3阶中心矩和4阶中心距，陡峭度和偏斜度等。
随机过程的特征值
由此可以定义任意n阶统计矩
B(t1 , t 2 ,⋅ ⋅ ⋅, t n ) = ∫ (ui − ui ) ⋅ ⋅ ⋅ (ui
−∞
Z(ω)的性质
Z(ω) 是频率ω的复随即函数，具有如下的 性质：
dZ (ω ) = 0
dZ (ω1 )dZ ∗ (ω 2 ) = δ (ω1 − ω 2 ) F (ω1 )dω1 dω 2
F(ω)称为单位质量流体的湍流能谱，或湍谱。
相关函数和谱之间的变换
函数 B(τ)与 F(ω)互为 Fourier变换，在大气湍流 研究中， F(ω)称为单位质量流体的湍流能谱，或湍 谱。
(t1 < t 2 < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ < t n )
(n = 1, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∞)
v 它们表示 r j
处的随机变量在时刻 t1 , t 2 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ t n 时相应处于ui(1) , ui(1) + dui(1) ， ···, u i( n ) , u i( n ) + du i( n ) 值的概率。
M‘
v l
v v u L (r + l ) NhomakorabeaM‘
M
v u L (r )
v l v M u (r ) N
v v u N (r + l )
均匀各向同性随机场的三阶矩
可以求得,均匀各向同性随机场的三阶矩为:
Bij ,k (l ) = [ BLL , L (l ) − BNN , L (l ) − 2 BNL , N (l )] + BNN , L (l ) l lk δ ij + BLN , N (l ) l
p n (u i(1) , t1 ;⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅; u i( n ) , t n ) = p n (u i(1) , t1 + τ ;⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅; u i( n ) , t n + τ )
平稳随机过程的特征
1、如果均值函数存在，则均值为常数 2、如果方差存在，方差亦为常数 。 3 、 其 相 关 函 数 B(t1,t2), 只 依 赖 于 时 间 差 （t2－t1），即，
1、什么是随机场 ？
大气物理学所要研究的对象多是三维的随机 场（有时是时空四维的随机场），而不是一个 自变量时间轴上的随机过程。 标量场（温度）、向量场（速度）和张量场 （速度梯度）。 当空间中每一点上的有关物理量成为随机变 量或随机矢量时，我们就得到了一个随机场。 它是随机过程的概念在三维空间中的自然推 广。
随机场的特征值
实际常用的是不同阶的两点矩：
v v v v Bi , j (r1 , r2 ) = u i (r1 )u j (r2 ) v v v v v Bij ,k (r1 , r2 ) = u i (r1 )u j (r1 )u k (r2 ) v v v v v v Bij ,km (r1 , r2 ) = u i (r1 )u j (r1 )u k (r2 )u m (r2 ) v v v v v v Bijk ,m (r1 , r2 ) = u i (r1 )u j (r1 )u k (r1 )u m (r2 )
2、随机场的概率
为描述一个随机场，原则上同样需要一个无 穷多的n维分布函数族。
v v (1) (1) < u i (r1 ) ≤ u i + du i ;⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅; u i( n ) < u i (rn ) ≤ u i( n ) + du i( n ) ) (1) v (n) v ≡ p n (u i , r1 ;⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅; u i , rn )du i(1) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅du i( n ) Pn (u i
B (τ ) = u i (0)u i (τ ) = ∫∫ e iωτ dZ (ω )dZ ∗ (ω ) =
∗ ∞ ∞ iωτ e ∫ F (ω )dω
−∞
1 F (ω ) = 2π
∞
−∞
− iωτ e ∫ B(τ )dτ
例子
温度场起伏
0.15
T( C)
0.00 -0.15 0 50 100 150 200