南通四县市 届高三联合考试数学参考答案

南通四县市2008届高三联合考试
数学试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、填空题：
1．｛—1｝ 2．0 3．45° 4．
8
3
5．4 6．如2，6，18，54等 7．3(0,]2
8 ．ma nb pc m n p
++++
910．2y －3x ＋3=0 11．I ≤98，或I ＜100等 12．（1，8.2） 13 14． ①③ 二、解答题
15．证：（1）AB → ·AC →
=（1＋tan x ）sin(x －π4)＋（1－tan x ）sin(x ＋π4) -----------------------------------3
分 cos sin cos sin [(sin cos )(sin cos )]cos cos x x x x
x x x x x x
+--++=0 ------------------------------6分
∴AB → ⊥AC →
（2）|
AC →
|= sin 2（x +
π4
)＋sin 2(x －
π4
)=1
----------------------------------------------------------------8分
∵AB →
⊥AC →
，|BC →
|2=|AB →
|2＋|AC →
|2
=3＋ 2
tan 2x
------------------------------------------11分
∵x ∈[－
π4，π4
]，0≤ tan 2x ≤1，∴≤ |BC →
| ≤
-----------------------------------14分 16．解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．------2分
∵直线ax ＋by ＋c =0与圆x 2＋y 2=1相切的充要条件是
1=即：a 2＋b 2=25，由于a,b ∈｛1，2，3，4，5，6｝
∴满足条件的情况只有a =3,b =4,c =5；或
a =4,
b =3,
c =5
两种情
况． ---------------------------4分 ∴直线
ax ＋by ＋c =0
与圆
x 2＋y 2=1相切的概率是
21
3618
= ----------------------------7分
（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36． ∵三角形的一边长为5 ∴当a =1时，b =5，（1，5，5） 1种 ----------------------8分
当a =2时，b =5，（2，5，5） 1种 ----------------------9
分
当a =3时，b =3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种 ---------------------10分
当a =4时，b =4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种 ---------------------11分
当a =5时，b =1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），
（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种 --------------------12
分
当a =6时，b =5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 ---------------------13分
故满足条件的不同情况共有14种
答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为18
736
14=． ---------------------------14
分
17．证明（1）：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB= AD =2，
故四边形ABCD 是正方形，AP ⊥DP ， 又∵D 1D ⊥面ABCD ，AP ⊆面ABCD
∴D 1D ⊥AP ，D 1D ∩DP=D ∴AP ⊥面BDD 1B 1 ∵AP ⊆面AD 1C
∴面BDB 1D 1⊥面ACD 1
--------------------------------------------------------------7分 解（2）：记A 1C 1与B 1D 1的交点为Q ，连BQ ，
∵P 是AC 的中点，∴D 1P ∥BQ ，要使得EF ∥D 1P ，则必有EF ∥BQ 在△QBC 1中，E 是BC 1的中点， F 是QC 1上的点，EF ∥BQ
∴F 是QC 1的中点，即3C 1F =F A 1，故所求m 的值是13
． --------------------------------15分
18． (1)解：由 2
()f x x ≤恒成立,得:ln a x x ≤在1x ≥时恒成立 当1
x =时
a R ∈
-------------------------------------------------------------2分 当
1x >时即ln x a x
≤
，令
()ln x g x x
=
,
2
ln 1
()ln x g x x
-'=
------------------------4分
x e ≥时()0g x '≥ ,()g x 在x e >时为增函数， ()g x 在x e <时为减函数 ∴
min ()g x e
= ∴
a e ≤
------------------------------------------------------7分 (2)解：f (x )=x 2－x ＋a ln x ，f ′(x )=2x －1＋
a x
=22x x a x -+，x ＞0
E
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
F P
Q
（1）当△=1－8a ≤0，a ≥1
8
时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在（0，+∞）上为增函数．------------9分
（2）当a ＜18
时 ①当0＜a ＜18时，
0>，f (x )
在上为减函数，
f (x )
在
)
+∞上为增函数． --------------------------11分
②当a =0时，f (x )在（0，1]上为减函数，f (x )在[1，＋∞）上为增函数． ----------------13分
③当a ＜0
0<，故f (x )在（0
]上为减函数， f (x )在
＋∞）上为增函数． ----------------------------------------15
分
19．（1）证明：设P （x ,y ）是圆222
59()416
c x c y -+=上的任意一点，
12||||PF PF
=3 ∴12||
||
PF PF =3
----------------------------------------------------------------5分
（2）解：在△F 1QF 2中，F 1F 2=2c ，Q 在圆上，设|QF 2|=x ，则|QF 1|=3x ，椭圆半长轴长为2x ，
4c 2=x 2＋9x 2－6x 2×3
5
，5c 2=8x 2 e 2=22(
)25
c x =，
e
． ---------------------------------------------------------11分 （3）由（2）知，x
，即|QF 2
，则|QF 1
22121||||4QO QF QF =+u u u r u u u r u u u u r )cos ||||2|||(|41
21212221QF F QF QF QF QF ∠++=
22228
17)53815285845(41c c c c =⋅⋅++= 由于|OQ
|=
，∴c =2，进一步由e =c a
=5得到a 2=10，b 2=6
所求椭圆方程是
22
1106x y +=． --------------------------------------------------------16分 20．解：（1）a 1=1，a 2=1，a 3=3，a 4=1，a 5=5，a 6=3． --------------------------------------3分
（2）第1个5出现在第5项，第2个5出现在第2×5=10项，第3个5出现在第22×5=20项，第4个5出现在第23×5=40项，依次类推． 第10个5是该数列的第29×5=2560项． -------------------------------------8分
（3）T n = a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋212n n a a -+
=（a 1＋a 3＋a 5＋…＋21n a - ）＋（a 2＋a 4＋a 6＋…＋2n a ） =（1+3+5+7+…+（2n －1）＋（a 1＋a 2＋a 3＋…＋12n a - ）
=4n －
1
＋T n －
1
（n ≥ 2）
--------------------------------------11分
用累加法得：T n =T 1＋4＋42＋…＋4n －
1=
1(42)3
n
+ （n ≥ 2）---------------------------------14分 当n=1时，T 1=2=1(42)3
+ ∴对一切正整数n 都有T n = 1(42)3
n
+．
----------------------------------------------16分
第Ⅱ卷
一．选做题
1．解：连PB ，BC 切⊙P 于点B ，PB ⊥BC ，
CD =2，CB
，由切割线定理得：CB 2=CD ·CE
CE =4，DE =2，BP =1， -----------------------------------------------5分
又∵EF ⊥CE ∴△CPB ∽△CFE ，得：EF CE
PB CB
=
，EF
--------------------------10分
2．解：设A=a
b c
d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，由题知a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a
b c d ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=311⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
-------------2分
即313333
a b c d a b c d -=-⎧⎪
-=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩， ------------------------------------------------6分
解之得：213
a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ ∴A=2130⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ -------------------------------------------------10分
3．解：曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x =0，
即（x －2）
2＋y 2=4 --------------------------------------2分
直线l
的参数方程122
x y ⎧=
+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化为普通方程为x －y －1=0，-------------------------------4分
曲线C 的圆心（2，0）到直线l
2= -------------------------------------6分 所
以
直
线
l
与
曲
线
C
相
交
所
成
的
弦
的
弦
长
--------------------------------10分
4．解：当sin x cos x ＜0时，函数f (x )不可能取最大值． ---------------------------------------2
分
当sin x cos x ＞0时，f 2 (x )=sin 6x cos 2x =27（21sin 3x ）（21sin 3x ）（21sin 3
x ）cos 2x ----------------------------------8
分
≤274
2222
111sin sin sin cos 3334x x x x ⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
=27256
f (x )的最大值
是
． ------------------------------------------------------10分 二．必做题：
5． 解：以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OP 为z 轴建立空间直角
坐标系．因△ABC 是正三角形，故y 轴平行于BC ，而PO =AB =2，则 P （0，0，2）， A
0，0）， B
1，0）， C
1，0），
D 是PA 的中点，故D
，0，1）
BC → =（0，－2，0），BD → =
1，1）-------------------------------------------------------2分
设n → =（x ，y ，z ）是平面BDC 的一个法向量， n → ·BC → =0且n → ·BD → =0，
即：200y x y z =⎧-+=，
化简得：0
y z =⎧⎪⎨=⎪
⎩
--------------------------------------------5
分
取x
，则y =0，z =－2，
平面BDC 的一个法向量是n 0→ =
0，－2），PB →
=
（－3
，1，－2）
cos<
PB →
，
n 0→
>=
=
------------------------------------------------------9分
由于PB → 和n 0→
所成的角与PB 与平面BDC 所成角互余，所以PB 与平面BDC 所成角的正弦
值
为
28． ------------------------------------------------------------------10分
6．解：（1）随机变量X 的概率分布如下表：
----------------------------------------------------------3分
E （X ）=0×0565511C C C ＋1×1465511C C C ＋2×2365511C C C ＋3×3265511C C C ＋4×4165511C C C ＋5×5065511
C C
C
=
630
231
≈ 2.73
----------------------------------------------------------5分
（2）①上场队员有3名主力，方案有：（3164C C -）（2252C C -）=144（种） ---------------6
分
②上场队员有4名主力，方案有：（4264C C -）15C =45（种） -------------------7
分
③上场队员有5名主力，方案有：（5364C C -）05C =414
2C C =2（种） X 0
1
2
3
4
5
P
056
5
511
C C C 146
5
511
C C C 236
5
511
C C C 326
5
511
C C C 416
5
511
C C C 506
5511
C C C
----------------------8分
教练员组队方案共有144＋45＋2=191种．------------------------------10分。