青岛版八年级下册数学《三角形的中位线定理》PPT教学课件
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的三角形的周长__4_.5_c_m__.
高效上好每节课·快乐上好每天学
3.若△ABC的周长为12, 则△DEF的周长为 ____6
4.若△ABC的面积为20, 则△DEF的面积为_____5.
5.若△ABC的周长为a, 面积为
1a
1 s
2
4ADFra bibliotekFB
C
E
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
1、三角形中位线是三角形中重要的线段，要与三角形 的中线区分开来. 2、三角形中位线定理有两个结论：
A
D
F
C
B
E
例: 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝ FC． 求证：AE、DF互相平分．
图 24.4.3
证明 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行于 第三边并且等于第三边的一半）． 同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形．
C
作业
习题6.4，第1、2题．
高效上好每节课·快乐上好每天学
A
结束
6.4 三角形的中位线定理
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平 均分给四个小朋友，要求四人所分的形状 大小相同，请设计合理的解决方案。
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 A
D
E
你还能画出几条三角形的中位线？
B
F
C
温馨提示 三角形有三条中位线
B
（2）顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（3）顺次连结对角线相等 B 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
D
菱形
E F
C A
D G C
结论
实际上，顺次连接四边形各边中点所得
到的四边形一定是平行四边形，但它是否特 殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直 或者是否相等，与是否互相平分无关.
∴DE∥BC，DE= 1 BC 2
B
高效上好每节课·快乐上好每天学
E C
两个规律
①如果三边的长分别为a、b、c，那么顺次连接各边
中点所得的三角形周长是多少？
周长 1 (a b c )
2
②已知三角形的面积是
面积
1
=
S
4
高效上好每节课·快乐上好每天学
例1 如图， 证明：
结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
高效上好每节课·快乐上好每天学
新知探究
请你思考：
铁匠师傅要把一块周长为30cm的等边三角形铁皮， 裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮, 你能帮 助他想出办法吗？ 说说你的想法.你能知道每块小三 角形铁皮的周长是多少吗？
A
E
F
B
G
C
高效上好每节课·快乐上好每天学
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
高效上好每节课·快乐上好每天学
拓展了解
（1）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边 形是什么？
A B
菱形
D C
高效上好每节课·快乐上好每天学
（2）顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所得的四
边形是什么？
A
E D
G
B
F
C
（3）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得
的四边形是什么？
高效上好每节课·快乐上好每天学
做一做
如图，在三角形ABC中，D, E, F分别是AB, BC, AC 的中点，AC=12，BC=16.
求：四边形DECF的周长.
A
D
F
B
E
C
高效上好每节课·快乐上好每天学
随堂练习
1. 已知三角形的各边长分别为6cm，8cm，12cm，
求连结各边中点所成三角形的周长__1_3_c_m____.
2. 如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中所成
③一个三角形共有三条中位线
三角形的中位线和它所对应的底边有什么关系呢?
高效上好每节课·快乐上好每天学
证一证
A
已知：如图，DE是△ABC的中位线
1
求证：DE∥BC，DE＝ BC
2
D
EF
证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF
∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF
∴△ADE≌△CFE
B
C
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F
猜想四边形EFG
A
答： 四边形EFG
D
证明：如图，连接AC
E
G
同∵理EEF得F是/：△/ 12AGABHC/C/的12 A中C位线
B
F
C
GH//EF
∴四边形EFG
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
A
（1）顺次连结对角线相
等的四边形各边中点所得
的四边形是什么？
∴AE、DF互相平分（平行四边形的
对角线互相平分）．
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于 点O，E、F、G、
A
E F
B
H O
D G
C
作业：
1.
2.完成练习册及资料上相对应的题。
（1）表示位置关系------平行于第三边； （2）表示数量关系------等于第三边的一半. 应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个.
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
3、证明线段倍分关系的方法常有二种： （1）三角形中位线定理.
D
A E
C
（2）直角三角形斜边上的中 B 线等于斜边的一半.
B D
A 一个三角形有三条中位线.
D
E
B
F
C
高效上好每节课·快乐上好每天学
注意：①理解三角形中位线定义的两层含义：
如果D、E分别是AB、AC的中点，那么DE是△ABC的中位线； 如果DE是△ABC的中位线，那么D、E分别是AB、AC的中点.
②区分三角形的中位线与中线
中位线是连结三角形两边中点的线段； 中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长C不能确定
初试身手 如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、
A BC的中点
D
B
F
①若∠ADE=65°，则∠B=65度，为什么？ ②若BC=8cm，则DE=4 cm，为什么？ E ③ 若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm，则△DEF ④ 的若周△长AB=C_9_的c_m周__长_ 为24，△DEF的周长是__1_2__
请动手试一试!
四边形BCFD是平行四边形吗?说 说你的理由!
F
已知： 如图：在△ABC中，D是AB的中点，
E是AC的中点。
求证：DE∥BC, DE= 1 BC.
2
A
分析:
延长ED到F,使DF=ED , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
E
D
F 得CF=AE , ∠A=∠ACF
又可得CF=BE,CF//BE
在AB外选一点C，连结AC和
BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、
A
B两点的距离是多少？为什么？
M
40
20
C
N
B
A
E
D
F
G
C
B
在△ABC中，E、F、G、
11
已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC， 求证∠
（第 4 题）
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、
三角形的中位线和三角形的中线不同
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一
端点是三角形的顶点。
A
理解三角形的中位线 定义的两层含义:
D
E
B
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点， 那么DE为△ABC的中位线；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
获取新知
猜一猜：
A
△ ABC的中位线DE与BC的
关系怎样？（从位置和数量
D
E
关系猜想）
DE∥BC, DE 1 BC
B
2
C
即：三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的 一半。
你能验证你的猜想吗？
怎样将一张三角形硬纸片剪成两部 分,使分成的两部分能拼成一个平行四 边形?
所以四边形BCFE是平行四边形
B
C
则有DE//BC,DE= 1 EF= 1 BC
22
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
B
C
D
E/
/
1 2
BC
用 ① 证明平行问题 途 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
初初试试身身手手
如图所示，已知四边形ABCD，R， A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
第6章 平行四边形
6.4 三角形的中位线定理
高效上好每节课·快乐上好每天学
目C o n 录
01 学习目标 02 新知探究
03 随堂练习
04 课堂小结
高效上好每节课·快乐上好每天学
学习目标
1. 知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与 中线的不同； 2. 理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的 论证和计算.
菱形
例2已知：如图，四边形ABCD中，E、F、 G、
(2)请增加一个条件使得四
A
边形ADFE为菱形。
D
(3)请增加一个条件使得四 E
边形ADFE为矩形。
G
B
F
C
(4)能不能只增加一个条件使得四边形
ADFE为正方形。
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上 的中线互相平分．
已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝ FC． 求证：AE、DF互相平分．
C ⑤ 图中有__3___个平行四边形
⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是__6___
探究活动
1、三角形三条中位线围成的三角形 的周长与原三角形的周长有什么关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
A、B两点被池塘隔开，如何才 能知道它们之间的距离呢？
原四边形两条对角线
连接四边中点所得四边形
互相垂直 相等
互相垂直且相等 既不互相垂直也不相等
矩形 菱形 正方形 平行四边形
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？
（2）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
平行四边形
矩形
（3）顺次连结正方形各边中 点所得的四边形是什么？
正方形
（4）顺次连结矩形各边中点所得的四 边形是什么？
∴BD∥CF
∵AD＝BD ∴BD＝CF ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DF∥BC，DF＝BC ∴DE∥BC，DE＝ 1 BC
高 效 上 好2每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示
A
∵DE是△ABC的中位线
（D、E分别是AB、AC的中点） D
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3.若△ABC的周长为12, 则△DEF的周长为 ____6
4.若△ABC的面积为20, 则△DEF的面积为_____5.
5.若△ABC的周长为a, 面积为
1a
1 s
2
4ADFra bibliotekFB
C
E
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课堂小结
1、三角形中位线是三角形中重要的线段，要与三角形 的中线区分开来. 2、三角形中位线定理有两个结论：
A
D
F
C
B
E
例: 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝ FC． 求证：AE、DF互相平分．
图 24.4.3
证明 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行于 第三边并且等于第三边的一半）． 同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形．
C
作业
习题6.4，第1、2题．
高效上好每节课·快乐上好每天学
A
结束
6.4 三角形的中位线定理
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平 均分给四个小朋友，要求四人所分的形状 大小相同，请设计合理的解决方案。
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 A
D
E
你还能画出几条三角形的中位线？
B
F
C
温馨提示 三角形有三条中位线
B
（2）顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（3）顺次连结对角线相等 B 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
D
菱形
E F
C A
D G C
结论
实际上，顺次连接四边形各边中点所得
到的四边形一定是平行四边形，但它是否特 殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直 或者是否相等，与是否互相平分无关.
∴DE∥BC，DE= 1 BC 2
B
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E C
两个规律
①如果三边的长分别为a、b、c，那么顺次连接各边
中点所得的三角形周长是多少？
周长 1 (a b c )
2
②已知三角形的面积是
面积
1
=
S
4
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例1 如图， 证明：
结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
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新知探究
请你思考：
铁匠师傅要把一块周长为30cm的等边三角形铁皮， 裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮, 你能帮 助他想出办法吗？ 说说你的想法.你能知道每块小三 角形铁皮的周长是多少吗？
A
E
F
B
G
C
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定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
高效上好每节课·快乐上好每天学
拓展了解
（1）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边 形是什么？
A B
菱形
D C
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（2）顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所得的四
边形是什么？
A
E D
G
B
F
C
（3）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得
的四边形是什么？
高效上好每节课·快乐上好每天学
做一做
如图，在三角形ABC中，D, E, F分别是AB, BC, AC 的中点，AC=12，BC=16.
求：四边形DECF的周长.
A
D
F
B
E
C
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随堂练习
1. 已知三角形的各边长分别为6cm，8cm，12cm，
求连结各边中点所成三角形的周长__1_3_c_m____.
2. 如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中所成
③一个三角形共有三条中位线
三角形的中位线和它所对应的底边有什么关系呢?
高效上好每节课·快乐上好每天学
证一证
A
已知：如图，DE是△ABC的中位线
1
求证：DE∥BC，DE＝ BC
2
D
EF
证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF
∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF
∴△ADE≌△CFE
B
C
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F
猜想四边形EFG
A
答： 四边形EFG
D
证明：如图，连接AC
E
G
同∵理EEF得F是/：△/ 12AGABHC/C/的12 A中C位线
B
F
C
GH//EF
∴四边形EFG
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
A
（1）顺次连结对角线相
等的四边形各边中点所得
的四边形是什么？
∴AE、DF互相平分（平行四边形的
对角线互相平分）．
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于 点O，E、F、G、
A
E F
B
H O
D G
C
作业：
1.
2.完成练习册及资料上相对应的题。
（1）表示位置关系------平行于第三边； （2）表示数量关系------等于第三边的一半. 应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个.
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
3、证明线段倍分关系的方法常有二种： （1）三角形中位线定理.
D
A E
C
（2）直角三角形斜边上的中 B 线等于斜边的一半.
B D
A 一个三角形有三条中位线.
D
E
B
F
C
高效上好每节课·快乐上好每天学
注意：①理解三角形中位线定义的两层含义：
如果D、E分别是AB、AC的中点，那么DE是△ABC的中位线； 如果DE是△ABC的中位线，那么D、E分别是AB、AC的中点.
②区分三角形的中位线与中线
中位线是连结三角形两边中点的线段； 中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长C不能确定
初试身手 如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、
A BC的中点
D
B
F
①若∠ADE=65°，则∠B=65度，为什么？ ②若BC=8cm，则DE=4 cm，为什么？ E ③ 若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm，则△DEF ④ 的若周△长AB=C_9_的c_m周__长_ 为24，△DEF的周长是__1_2__
请动手试一试!
四边形BCFD是平行四边形吗?说 说你的理由!
F
已知： 如图：在△ABC中，D是AB的中点，
E是AC的中点。
求证：DE∥BC, DE= 1 BC.
2
A
分析:
延长ED到F,使DF=ED , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
E
D
F 得CF=AE , ∠A=∠ACF
又可得CF=BE,CF//BE
在AB外选一点C，连结AC和
BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、
A
B两点的距离是多少？为什么？
M
40
20
C
N
B
A
E
D
F
G
C
B
在△ABC中，E、F、G、
11
已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC， 求证∠
（第 4 题）
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、
三角形的中位线和三角形的中线不同
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一
端点是三角形的顶点。
A
理解三角形的中位线 定义的两层含义:
D
E
B
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点， 那么DE为△ABC的中位线；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
获取新知
猜一猜：
A
△ ABC的中位线DE与BC的
关系怎样？（从位置和数量
D
E
关系猜想）
DE∥BC, DE 1 BC
B
2
C
即：三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的 一半。
你能验证你的猜想吗？
怎样将一张三角形硬纸片剪成两部 分,使分成的两部分能拼成一个平行四 边形?
所以四边形BCFE是平行四边形
B
C
则有DE//BC,DE= 1 EF= 1 BC
22
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
B
C
D
E/
/
1 2
BC
用 ① 证明平行问题 途 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
初初试试身身手手
如图所示，已知四边形ABCD，R， A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
第6章 平行四边形
6.4 三角形的中位线定理
高效上好每节课·快乐上好每天学
目C o n 录
01 学习目标 02 新知探究
03 随堂练习
04 课堂小结
高效上好每节课·快乐上好每天学
学习目标
1. 知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与 中线的不同； 2. 理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的 论证和计算.
菱形
例2已知：如图，四边形ABCD中，E、F、 G、
(2)请增加一个条件使得四
A
边形ADFE为菱形。
D
(3)请增加一个条件使得四 E
边形ADFE为矩形。
G
B
F
C
(4)能不能只增加一个条件使得四边形
ADFE为正方形。
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上 的中线互相平分．
已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝ FC． 求证：AE、DF互相平分．
C ⑤ 图中有__3___个平行四边形
⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是__6___
探究活动
1、三角形三条中位线围成的三角形 的周长与原三角形的周长有什么关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
A、B两点被池塘隔开，如何才 能知道它们之间的距离呢？
原四边形两条对角线
连接四边中点所得四边形
互相垂直 相等
互相垂直且相等 既不互相垂直也不相等
矩形 菱形 正方形 平行四边形
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？
（2）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
平行四边形
矩形
（3）顺次连结正方形各边中 点所得的四边形是什么？
正方形
（4）顺次连结矩形各边中点所得的四 边形是什么？
∴BD∥CF
∵AD＝BD ∴BD＝CF ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DF∥BC，DF＝BC ∴DE∥BC，DE＝ 1 BC
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三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示
A
∵DE是△ABC的中位线
（D、E分别是AB、AC的中点） D