高等数学e教材答案及解析

高等数学e教材答案及解析
在高等数学学习过程中，理解和掌握课本上的知识点、题目的解答
方法十分重要。

针对《高等数学e》教材中的习题，提供正确答案和解析，对学生来说是一种很好的辅助学习方式。

本文将为大家提供高等
数学e教材中部分习题的答案及解析，帮助读者更好地学习和掌握相
关数学知识。

1. 题目：求解如下方程：
a) e^x = 2x + 1
b) e^x = ln(x)
解析：
a) 先观察方程两边的函数图像，发现e^x是递增的凸函数，
而2x + 1是递增的直线段。

根据题意，两个图像的交点即为方程的解。

通过观察，我们可以初步猜测到解在[-1, 0]之间。

使用数值法求解，取x_0 = -1，代入方程左边和右边进行比较。

计算结果为：
e^(-1) ≈ 0.3679
2 * (-1) + 1 = -1
可知左边大于右边，所以解在[-1, 0]之间。

进一步使用二分法，设x_1 = -0.5，计算结果为：
e^(-0.5) ≈ 0.6065
2 * (-0.5) + 1 = 0
右边等于左边，解的范围进一步缩小。

继续使用二分法，设x_2 = -0.25，计算结果为：
e^(-0.25) ≈ 0.7788
2 * (-0.25) + 1 = 0.5
可知左边大于右边，所以解在[-0.25, 0]之间。

以此类推，最终求得该方程的近似解为x ≈ -0.225。

b) 同样地，观察方程两边的函数图像，e^x是递增的凸函数，ln(x)是递增的直线段。

通过观察我们可以初步猜测到解在[1, e]之间。

使用数值法求解，取x_0 = 1，代入方程左边和右边进行比较。

计算结果为：
e^1 = e ≈ 2.7183
ln(1) = 0
可知左边大于右边，所以解在[1, e]之间。

继续使用二分法，设x_1 = 1.5，计算结果为：
e^1.5 ≈ 4.4817
ln(1.5) ≈ 0.4055
可知左边大于右边，所以解在[1, 1.5]之间。

以此类推，最终求得该方程的近似解为x ≈ 1.349。

2. 题目：计算极限lim(x→∞) [(x + 1)/(x + 2)]^x
解析：
我们来分析一下式子中的 [(x + 1)/(x + 2)]^x。

当x趋近正无穷时，分式中的分子(x + 1)和分母(x + 2)的差异逐渐减小，可以认为它们变得相似。

那么该极限不再是一个形如0/0或∞/∞的不定式，我们可以尝试将其化简。

将式子展开，得到：
[(x + 1)/(x + 2)]^x = [(x + 1)/(x + 2)] * [(x + 1)/(x + 2)] * ... * [(x + 1)/(x + 2)]
= [(x + 1)/(x + 2)] * [(x + 1)/(x + 2)] * ... * [(x + 1)/(x + 2)] * 1
观察式子可知，随着x的增大，[1/(x + 2)]趋近于0，那么[(x + 1)/(x + 2)]^x趋近于1。

所以，该极限的结果为1。

3. 题目：求曲线y = (e^(1 - x))^2的切线方程。

解析：
首先求曲线上一点的坐标。

当x = a时，y = (e^(1 - a))^2。

然后求曲线上该点的斜率。

利用函数求导法则，对y进行求导，得到：
dy/dx = -2 * (e^(1 - a))^2 * (e^(1 - a))^(-1) * (-1) = 2 * e^(1 - a)
得到斜率为2 * e^(1 - a)。

最后利用点斜式，将该点的坐标和斜率代入，方程为：
y - (e^(1 - a))^2 = 2 * e^(1 - a)(x - a)
即为切线方程。

通过对高等数学e教材中部分习题的答案和解析进行讲解，希望能够帮助读者更好地理解教材内容，掌握数学知识。

实际学习过程中，还需要多做类似习题来巩固和应用所学知识，提高解题能力。

祝愿大家在高等数学学习中取得好成绩！。