河北省博野中学2016-2017学年高一3月月考数学试题 含答案 精品

博野中学高一年级3月月考试卷
数学试卷
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟．
第I 卷 (选择题共60分)
一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．
． 1.已知数列{}n a 满足：11a =，1221,N n n a a n *
+=+∈ 则数列{}n a
A ．
{}n a 是等比数列 B ．{}n a 不是等差数列 C ．
1.5
D ．
122
2．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1
cos 4
=B ．则边c 的长度为
A ．4
B ．2
C ．5
D ．6
3.等差数列{a n }的通项是12n a n =-，前n 项和为S n ，则数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的第11项的值为
A ．—11
B ．—22
C ．—55
D ．—66
4.设公比大于零的等比数列的前项和为
，且
142
1,5a S S ==，
数列{}n a 的通项公式
A 12n n a -=
B ．a n =3n
C ．2
D ．．a n =5n
5.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足
2
2a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为
A ．43
B ．8-
C ． 1
D ．2
3
6．已知等比数列{}n a 满足11
4a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）
A.2 B .1
1C.2 1
D.8
7. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11
8.在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则角C =． A ．23π B ．3π C ．6π D ．6
5π
9.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积为S ,且222()S a b c =+-, 则tan C 等于（ ） A.
34
B.43
C.43-
D.34
- 10.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知
求sin(B+C)的值；
A
B ． 1
2
- C ． 0 D ．34
11. 已知数列{错误！未找到引用源。

}中，错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

_________
A ．错误！未找到引用源。

1
2
- B ． 32 C ．错误！未找到引用源。

3 D ．4
12．以n S 表示等差数列{}n a 的前n 项的和，若65S S >，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．4332a a > B ．61565a a a +> C ． 0345<-+a a a D ．712632a a a a <++
第II 卷 （非选择题 共90分)
二、填空题：共6个小题，每小题5分，共20分，将答案填写在后面的答题卡上．．．．．．．．．．．．．
． 13.在C ∆AB 中，3a =
，b =23π
∠A =
，则∠B= ．
14.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}
1{
n a 的前10项和为
15.已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120º，△ABC 的面
积S ＝
4
，则c 为＿＿ 16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西
偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为
30
，则此山的高度CD =_________m.
三、解答题：共6个小题，总计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知,,a b c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，满足2c 2
－
2a 2＝b 2，
求证：2c cos A －2a cos C ＝b ． 18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．
（Ⅰ）求
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列
{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？
19.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，已知
60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.
20.（本小题满分12分）如图为了测量A,C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 的各边的5,8,3,5AB BC CD DA ====长
度（单位：km ）：，如图所示，若A 、B 、C 、D 四点共圆. 求：线段AC 的长和ABC ∆的面积.
21.（本小题满分12分）
设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，2
2b =，
q d
=，10
100S =．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d
>时，记n n
n
a c
b =
，求数列
{}n c 的前n 项和n T ．
22.（本小题满分12分）已知数列
{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足
111,1
n a a +==，n ∈N *
.
（1）求
2a 的值；
（2）求数列
{}n a 的通项公式；
（3）是否存在正整数k , 使k a ,
21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存
在, 请说明理由.
2016---2017学年高一年级3月月考
数学试卷
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分钟．
第I 卷 (选择题共60分)
一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．
． 1.已知数列{}n a 满足：11a =，1221,N n n a a n *
+=+∈ 则数列{}n a
A ．
{}n a 是等比数列 B ．{}n a 不是等差数列 C ．2a =1.5 D ．5S =122
【答案】C ．
3．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1
cos 4
=B ．则边c 的长度为
A ．4
B ．2
C ．5
D ．6
【答案】A
【解析】解析：由余弦定理222
2cos b a c ac B =+-，得222116444
a a a =+-⨯
， 2,4a c ∴==.
3.差数列{a n }的通项是12n a n =-，前n 项和为S n ，则数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的第11项的值为
A ．—11
B ．—22
C ．—55
D ．—66
【答案】A
解析：因为12n a n =-，()2112,2n n n n S S n n n -+-==-=-，所以数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的11项为，
则选A
4.设公比大于零的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1421,5a S S ==，
数列{}n a 的通项公
式
A 12n n a -=
B ．a n =3n
C ．2
D ．．a n =5n
【答案】A
5.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足
2
2a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为
A ．4
3 B
．8- C ． 1 D ．2
3
【答案】A
6．已知等比数列{}n a 满足11
4a =
,()35
441a a a =-,则2a =（ ）
A.2
B.1 1
C.2 1
D.8
【答案】C
试题分析：由题意可得()2
35
444412a a a a a ==-⇒=,所以
34
1
82
a q q a =
=⇒= ,故211
2a a q ==
,选C.
7. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A 【解析】
试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()
15535552
a a S a +=
==.故选A. 考点：等差数列
9.在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则角C =． A ．23π B ．3π C ．6π D ．6
5π
【知识点】解三角形C8 【答案】【解析】A 23
π
解
析：因
为
sinA:sinB:sinC=a:b:c=7:8:13,设
a=7k,b=8k,c=13k
，则
22249641691cos 2782
k k k C k k +-==-⨯⨯，又C 为三角形内角，所以C=23π
.
【思路点拨】利用正弦定理把角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求角即可.
9.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积为S ,且222()S a b c =+-, 则tan C 等于（ ） A.
3
4
B.
43
C.43-
D.34
- 【知识点】正弦定理余弦定理C8
【答案】【解析】C 解析：由余弦定理222
2cos c a b ab C =+-，联立222(b)S a c =+-，
得2221
2sin 22
ab C a b ab c ⨯
⨯=++-，sin 22cos ab C ab ab C =+，即 sin 22cos C C =+，结合22sin cos 1C C +=，得3
cos 5
C =-或cos 1C =-（舍），从而
4sin 5C =，4
tan 3
C ∴=-，故选 C.
10.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知
求sin(B+C)的值；
A
B ． 1
2
- C ． 0 D ．34
【答案】A
12. 已知数列{错误！未找到引用源。

}中，错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

_________
A ．错误！未找到引用源。

1
2
- B ． 32 C ．错误！未找到引用源。

3 D ．
4 【答案】 B ．
32解析：∵由已知可得：111
111
n n n a a a +--==--， ∴{}1n a -为周期数列且周期为2，112a -=，
∴20142111
1112
a a a -=-=
=-，∴201432a =．
故答案为：
3
2．
12．以n S 表示等差数列{}n a 的前n 项的和，若65S S >，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．4332a a > B ．61565a a a +> C ． 0345<-+a a a D ．712632a a a a <++ 【知识点】等差数列的性质．D2
【答案】【解析】B 解析：∵n S 表示等差数列{}n a 的前n 项的和，65S S >， ∴S 6﹣S 5=a 6＜0，则4332a a >有可能成立，即A 有可能成立；
∵5a 5﹣（a 1+6a 6）=5（a 1+4d ）﹣[a 1+6（a 1+5d ）]=﹣2a 1﹣10d=﹣2a 6＜0， ∴61565a a a +>不成立，即B 不成立；
∵a 5＞0，a 4＞0，a 3＞0，∴0345<-+a a a 有可能成立，即C 是有可能成立；
∵a 3+a 6+a 12﹣2a 7=（3a 1+18d ）﹣（2a 1+12d ）=a 1+6d=a 7＜0，∴712632a a a a <++，故D 成立．故选：B ．
【思路点拨】a 5＞0，a 6＜0，这个数列是递减数列，公差d ＜0．由此入手对各个选项逐个进行分析，能求出结果．
第II 卷 （非选择题 共90分)
二、填空题：共6个小题，每小题5分，共20分，将．答案填写在后面的答题卡上．．．．．．．．．．．．
． 13.在C ∆AB 中，3a =
，b =23π
∠A =
，则∠B= ．
【答案】4π
【解析】
试题分析：由正弦定理，得sin sin a b A B =，
即=
，
所以sin B =
，所以
4B π∠=. 考点：正弦定理.
14.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}
1
{
n a 的前10项和为
【答案】20
11
【解析】
试题分析：由题意得：
112211(1)
()()()1212
n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-+
+-+=+-+
++=
所以
1011112202(),2(1),11111
n n n S S a n n
n n =-=-==+++ 考点：数列通项，裂项求和
15.已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，
C ＝120º，△ABC 的面
积
S ，则c 为＿＿7＿ 16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西
偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.
【答案】.
三、解答题：共6个小题，总计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知,,a b c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，满足2c 2
－
2a 2＝b 2，
求证：2c cos A －2a cos C ＝b ． 18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．
（Ⅰ）求
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？
【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等.
【解析】
试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234
,,,a a a a 转化成
1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先
利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，
解出
1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即
项数.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d.
因为
432a a -=，所以2d =.
又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =.
所以
42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.
（Ⅱ）设等比数列
{}n b 的公比为q .
因为
238b a ==，3716b a ==，
所以2q =，
14b =.
所以
61
642128b -=⨯=. 由12822n =+，得63n =. 所以
6b 与数列{}n a 的第63项相等.
19.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，已知
60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.
【答案】（12）
【解析】
20.（本小题满分12分）如图为了测量A,C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 的各边的长度（单位：km ）：
5,8,3,5AB BC CD DA ====，如图所示，若A 、B 、C 、D
四点共圆.
求：线段AC 的长和ABC ∆的面积. 20.【答案】7
【命题立意】本题重点考查利用余弦定理解三角形，难度中等.
【解析】因为,,,A B C D 四点共圆，所以B D π∠+∠=，由余弦定理得
22253253cos AC D =+-⨯⨯=3430D -，
22258258cos 8980cos AC B B =+-⨯⨯=-，
由cos cos B D =-，得22
34893080
AC AC ---=，解得7AC =.
21.（本小题满分12分）
设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解析：（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩，解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,
2.9a d =⎧⎪
⎨=⎪⎩
故1
21,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),
929().9n n n a n b -⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩
. （Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1
21
2
n n n c --=
，于是 234
1
357921
122222n n n T --=+
+++++
， ① 234511357921
222222
2n n
n T -=++++++
. ② ①-②可得 22
11112123
23222
222n n n n
n n T --+=++++-
=-
， 故n T 1
23
62
n n -+=-
. 22.（本小题满分12分）已知数列
{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足
111,1
n a a +==，n ∈N *
.
（1）求
2a 的值；
（2）求数列
{}n a 的通项公式；
（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存
在, 请说明理由.
1、（1）解：∵
111,1
n a a +==，
∴
2113
a ===. …………………………1分
（2）解法1：由
11
n a +=，得
11
n n S S +-=， …………………………2分
故)2
11
n S +=
. …………………………3分
∵0n a >，∴0n S >.
1
=. …………………………4分
∴数列1
=，公差为1的等差数列.
()11n n
=+-=. …………………………5分
∴2
n S n =. …………………………6分
当2n ≥时，()2
21121
n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分
又11a =适合上式，
∴
21n a n =-. …………………………9分
解法2：由
11
n a +=，得()2
1
14n n
a S +-=， …………………………2分
当2n ≥时，()2
1
14n n a S --=， …………………………3分
∴()()()2
2
1
11144n n n n n
a a S S a +----=-=. …………………………４分
∴
2211220n n n n a a a a ++---=.
∴
()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分
∵ 0n a >，
∴
12n n a a +-=. …………………………６分
∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分
∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分
∵11a =适合上式，
∴
21n a n =-. …………………………9分
（3）解：由(2)知
21n a n =-,
()
2
1212n n n S n +-=
=.
假设存在正整数k , 使
k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,
则2
21
4k k k S a a -=⋅. …………………………10分 即
()()()
4
212181k k k -=-⋅-. …………………………11分
∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠.
∴
()3
2181
k k -=-.
∴ 32
8126181k k k k -+-=-.
化简得 32
460k k k --=. …………………………12分
∵ 0k ≠,
∴
24610k k --=.
解得
k ==
, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使
k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分。