成都市青羊实验中学数学几何图形初步单元测试与练习(word解析版)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【答案】（1）解：AB∥CD.理由如下：
如图1，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥G H；
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：如图3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2．
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2．
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2．
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2．
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．
【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角
的定义、角平分线的定义推知∠QPK= ∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．
2．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明；
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。

【答案】（1）解：猜想：AB=AC+CD．
证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠BAC的角平分线时，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠AED=∠C，ED=CD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+DE=AC+CD.
（2）解：猜想：AB+AC=CD．
证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD=∠CAD．
在△EAD与△CAD中，
AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△EAD≌△CAD（SAS）．
∴ED=CD，∠AED=∠ACD．
∴∠FED=∠ACB，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠FED=2∠B，
∵∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴EB=ED．
∴EA+AB=EB=ED=CD．
∴AC+AB=CD.
【解析】【分析】（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；
（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．
3．如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点在AC边上，且∠1=∠2= ．
（1）求证：EF∥CD；
（2）若∠AGD=65°，试求∠DCG的度数.
【答案】（1）证明：∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，
∴∠BFE=∠BDC=90°，
∴EF∥CD.
（2）解：∵EF∥CD，
∴∠2=∠DCE=50°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCE,
∴DG∥BC，
∴∠AGD=∠ACB=65°，
∴∠DCG=
【解析】【分析】（1）由垂直的定义，可求得∠BFE=∠CDF=90°，可证明EF∥CD；
（2）利用（1）的结论，结合条件可证明DG∥BC，利用平行线的性质可得∠AGD=∠ACB= ，则∠DCG=∠ACB-∠2即可求得．
4．如图，已知点，且，满足 .过点分别作轴、轴，垂足分别是点A、C.
（1）求出点B的坐标；
（2）点M是边上的一个动点（不与点A重合），的角平分线交射线于点
N，在点M运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由. （3）在四边形的边上是否存在点，使得将四边形分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：由得：
,解得：
∴点的坐标为
（2）解：不变化
∵轴
∴BC∥x轴
∴
∵平分
∴
∴
∴
（3）解：点P可能在OC,OA边上，如下图所示，
由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形的面积为15
若点P在OC边上，可设P点坐标为，则
三角形BCP的面积为，剩余部分面积为，
所以，解得，
P点坐标为；
若点P在OA边上，可设P点坐标为，则
三角形BAP的面积为，剩余部分面积为，
所以，解得，
P点坐标为 .
综上,点的坐标为， .
【解析】【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性可知由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，由此可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出B点坐标；（2）根据平行线和角平分线的性质可证明，所以比值不变化；
（3）点P只能在OC,OA边上，表示出两部分的面积，依比值求解即可.
5．如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG.
（1）说明：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数.
【答案】（1）证明:∵DC∥FP，
∴∠3=∠2，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠1，
∴DC∥AB
（2）解:∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF=30°，
∴∠DEF=∠EFP=30°，AB∥FP，
又∵∠AGF=80°，
∴∠AGF=∠GFP=80°，
∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+30°=110°，
又∵FH平分∠EFG，
∴∠GFH= ∠GFE=55°，
∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣55°=25°
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出，又∠1=∠2，故∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行得出DC∥AB；
（2）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥FP，根据二直线平行，内错角相等得出，，根据角的和差，由
算出∠GFE的度数，根据角平分线的定义得出∠GFH的度数，最后根据即可算出答案。

6．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．
（1）求证：∠BAG=∠BGA；
（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．
①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；
②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；
（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD，
∴∠BAG=∠BGA；
（2）解：①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠GCF=45°，
∵AD∥BC，∠ABC=50°，
∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD=65°，
∴∠AFC=65°﹣45°=20°；
②如图：
∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，
∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；
（3）解：有两种情况：
①当M在BC的下方时，如图：
∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，
∴∠ABP=（）°，∠PBG=（）°，
∵AG∥CH，
∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（ +25）°=（）°，
∴∠ABM：∠PBM=（）°：25°= ；
②当M在BC的上方时，如图：
同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（﹣25）°=（）°，
∴∠ABM：∠PBM=（）°：25°= ；
综上，∠ABM：∠PBM的值是或．
【解析】【分析】（1）根据AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根据CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度数，由AD//BC可求出∠AEF和∠DAB的度数，根据三角形外角的性质求出∠AFC的度数即可；②根据三角形外角性质求出即可；（3）根据M点在BP的上面和下面两种情况讨论，分别求出∠PBM和∠ABM的值即可.
7．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E ,F在BC上，且满足∠FOC =∠AOC，并且OE 平分∠BOF．
（1）求∠AOB及∠EOC的度数；
（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
【答案】（1）解：∵CB∥OA
∴∠BOA+∠B=180°
∴∠BOA=60°
∵∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC
= ∠BOF+ ∠F0A
= (∠BOF+∠FOA)
= ×60°
=30°
（2）解：不变
∵CB∥OA
∴∠OCB=∠COA,∠OFB=∠FOA
∵∠FOC=∠AOC
∴∠COA= ∠FOA, 即∠OCB:∠OFB=1：2
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，易证∠BOA+∠B=180°，即可求出∠AOB的度数；再利用角平分线的定义，可证得∠BOE=∠EOF，从而可推出
∠EOC=∠AOB，代入计算求出∠EOC的度数。

（2）利用平行线的性质可证得∠OCB=∠COA，∠OFB=∠FOA，再结合已知条件可证得
∠COA=∠FOA，从而可推出∠OCB: ∠OFB的值。

8．如图，在△ABC中，点E在AC边上，连结BE，过点E作DF∥BC，交AB于点D.若BE
平分∠ABC，EC平分∠BEF.设∠ADE＝α，∠AED＝β.
（1）当β＝80°时，求∠DEB的度数.
（2）试用含α的代数式表示β.
（3）若β＝kα（k为常数），求α的度数（用含k的代数式表示）.
【答案】（1）解：∵β＝80°，
∴∠CEF＝∠AED＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠BEC＝∠CEF＝80°，
∴∠DEB＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
（2）∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DEB＝∠EBC＝
∵EC平分∠BEF，
∴β＝∠CEF＝（180°﹣）＝90°﹣α；
（3）∵β＝kα，
∴90°﹣α＝kα，
解得：α＝
【解析】【分析】（1）根据对顶角的性质得到∠CEF＝∠AED＝80°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论.
9．如图，已知，，，点E在线段AB上，，点F在直线AD上，．
（1）若，求的度数；
（2）找出图中与相等的角，并说明理由；
（3）在的条件下，点不与点B、H重合从点B出发，沿射线BG的方向移动，其他条件不变，请直接写出的度数不必说明理由．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
（2）解：与相等的角有：，，．
理由：，
两直线平行，内错角相等，
，，
，
，
同角的余角相等，
，
，
两直线平行，同位角相等，
（3）解：35°或145°
【解析】【解答】解：或
当点C在线段BH上时，点F在点A的左侧，
如图1：
，
两直线平行，内错角相等，
当点C在射线HG上时，点F在点A的右侧，
如图2：
，
两直线平行，同旁内角互补，
，
．
【分析】根据，，可得，再根据，即可得到；根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角；分两种情况讨论：当点C在线段BH上；点C 在BH延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或．
10．AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E．∠ADC＝70°．
（1）求∠EDC 的度数；
（2）若∠ABC＝30°，求∠BED 的度数；
（3）将线段 BC沿 DC方向移动，使得点 B在点 A的右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，请直接写出∠BED 的度数（用含 n的代数式表示）．
【答案】（1）∵平分，
∴；
（2）过点作，如图：
∵平分，；平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（3）过点E作，如图：
∵DE平分，；BE平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义即可得到答案；（2）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解；（3）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解．
11．直线AB与直线CD相交于点O，OE平分 .
（1）如图①，若，求的度数；
（2）如图②，射线OF在内部.
①若，判断OF是否为的平分线，并说明理由；
②若OF平分，，求的度数.
【答案】（1）解：∵∠BOC=130°
∴∠BOD=180°-∠BOC=180°-130°=50°
∵OE平分∠BOD
∴
∴∠AOD=∠BOC=130°
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=130°+25°=155°
（2）解：①∵OE平分∠BOD
∴∠BOE=∠DOE
∵OF⊥OE
∴∠EOF=90°
∴∠DOF=90°-∠DOE
∵∠AOF=180°-∠EOF-∠BOE
=180°-90°-∠BOE
=90°-∠BOE
∴∠AOF=∠DOF
∴DF平分∠AOD
②∵
∴设∠DOF=3x，则∠AOF=5x
∵OF平分∠AOE
∴∠EOF=∠AOF=5x，∠AOE=10x
∴∠DOE=∠EOF-∠DOF=5x-3x=2x
∵OE平分∠BOD
∴∠BOE=∠DOE=2x，∠BOD=4x
∵∠BOE+∠AOE=180°
∴2x+10x=180°
∴x=15°
∴∠BOD=4×15°=60°
【解析】【分析】（1）由∠BOC=130°可得∠BOD=50°根据OE平分∠BOD得
，根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=130°即可求出∠AOE的度
数；（2）①由OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE由OF⊥OE可得∠EOF=90°，故∠DOF=90°-∠DOE由图形可计算出：∠AOF=90°-∠BOE，故∠AOF=∠DOF可证DF平分∠AOD②依题意设∠DOF=3x，则∠AOF=5x由OF平分∠AOE，可得∠EOF=∠AOF=5x，∠AOE=10x，可得：∠DOE=∠EOF-∠DOF=5x-3x=2x由OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE=2x，∠BOD=4x由图形可知∠BOE+∠AOE=180°，列出方程求出x即可
12．如图①，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方.
（1）在图①中， ________度；
（2）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部，如图②，若，求的度数；
（3）将图①中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是________秒.（直接写出结果）
【答案】（1）30
（2）解：设∠BON=α，
∵∠BOC=60°，
∴∠NOC=60°-α，
∵∠MON=90°，
∴∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，
∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，
∵∠NOC= ∠MOA，
∴60°-α= （90°-α），
解得：α=54°，
即∠BON=54°；
（3）3或21
【解析】【解答】（1）∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB 上，另一边OM在直线AB的上方，
∴∠MON=90°，
∴∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°，（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC=60°，
∴∠BON=30°或∠BON=210°，
∵三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，
∴直线ON平分∠BOC时，旋转的时间是3或21秒，
故答案为：3或21.
【分析】（1）由题意得出∠MON=90°，得出∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°；（2）设∠BON=α，则∠NOC=60°-α，∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，∠MOA=180°-
∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，由题意得出60°-α= （90°-α），解得α=54°即可；（3）求出∠BON=30°或∠BON=210°，即可得出答案．。