2020学年山西省晋城市新高考高二数学下学期期末质量跟踪监视试题

同步练习 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若展开式中各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为（ ）
A ．-5
B ．5
C ．-405
D ．405
2．已知随机变量X ~N(2,1)，则P(01)X <<=
参考数据：若X ~N(,),P()0.6826X μσμσμσ-<<+=，
P(22)0.9544,X μσμσ-<<+=P(33)0.9974X μαμα-<<+=
A ．0.0148
B ．0.1359
C ．0.1574
D ．0.3148.
3．下列5个命题中：①平行于同一直线的两条不同的直线平行；②平行于同一平面的两条不同的直线平行；③若直线l 与平面α没有公共点，则//l α；④用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行；⑤若//l α，则过l 的任意平面与α的交线都平行于l .其中真命题的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．设随机变量ξ～N （μ，σ2），函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（ ）
A ．1
B ．4
C ．2
D ．不能确定
5．幂函数y=kx a 过点（4，2），则k –a 的值为
A ．–1
B ．
12 C ．1 D ．32 6．复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 在复平面内的对应点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A ．月接待游客量逐月增加
B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
8．2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小
组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（ ） A ．150种 B ．240种 C ．300种 D ．360种
9．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为“凹数”，若{},,1234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是
A ．13
B ．532
C ．732
D ．712
10．下列四个推理中，属于类比推理的是（ ）
A ．因为铜、铁、铝、金、银等金属能导电，所以一切金属都能导电
B ．一切奇数都不能被2整除，()5021+是奇数，所以()5021+不能被2 整除
C ．在数列{}n a 中，111,1n n n a a a a +==+，可以计算出234111,,234a a a ===，所以推出1n a n
= D ．若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2，类似的，若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为12
11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，如果M 、N 分别为1A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的大小为（ ）
A ．3arccos 2
B ．10arccos
10 C ．3arccos 5 D ．2arccos 5 12．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题：本题共4小题
13．已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是_______.
14．某校高二成立3个社团，有4名同学，每人只选一个社团，恰有1个社团没有同学选，共有种不同参加方案（用数字作答）.
15．在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n （3n ≥）行左起第3个数为_______。

16．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =,E 为棱1CC 的中点，则AE 与平面11B BCC 所成角为_____________.（结果用反三角表示）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点612⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
离心率为33． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(2,0)M 的直线l 交椭圆于,A B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，若·1FA FB =-，求直线l 的方程． 18．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y 轴截得的弦长为23C 的面积小于13.
（1）求圆C 的标准方程：
（2）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程：如果不存在，请说明理由.
19．（6分）已知函数2()2ln 5f x x x x =+-.
（1）求(1)f '；
（2）求()f x 的极值点.
20．（6分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =.
（Ⅰ）求证：111A C D D ⊥；
（Ⅱ）求平面AEF 与平面11AA D D 所成锐二面角的余弦值.
21．（6分）已知函数
. （1）当a=2，求函数
的极值； （2）若函数有两个零点，求实数a 的取值范围.
22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα
=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线2C 的方程为3y x =以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；
（2）若直线2C 与曲线1C 交于A ,B 两点，求11OA OB
+.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【解析】由题设可得，则通项公式，令
，故
，应选答案C 。

2．B
【解析】
【分析】
根据正态分布函数的对称性去分析计算相应概率.
【详解】
因为()~2,1X N 即2,1μσ==，所以()()130.6826P X P X μσμσ-<<+=<<=，
()(22)040.9544P X P X μσμσ-<<+=<<=，
又()()112130.34132P X P X <<=<<=，()()102040.47722
P X P X <<=<<=， 且()()()0102120.1359P X P X P X <<=<<-<<=，
故选：B.
【点睛】
本题考查正态分布的概率计算，难度较易.正态分布的概率计算一般都要用到正态分布函数的对称性，根据对称性，可将不易求解的概率转化为易求解的概率.
3．C
【解析】
【分析】
根据平行公理判定①的真假；根据线线位置关系，判定②的真假；根据线面平行的概念，判定③的真假；根据面面平行的性质，判断④的真假；根据线面平行的性质，判断⑤的真假.
【详解】
对于①，根据平行公理，平行于同一直线的两条不同的直线平行，①正确；
对于②，平行于同一平面的两条不同的直线，可能平行、异面或相交；②错误；
对于③，根据线面平行的概念，若直线l 与平面α没有公共点，所以//l α，③正确；
对于④，根据面面平行的性质，用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行，④正确；
对于⑤，根据线面平行的性质，若//l α，则过l 的任意平面与α的交线都平行于l ，⑤正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查线面关系、面面关系相关命题的判定，熟记平面的性质，平行公理，线面位置关系，面面位置关系即可，属于常考题型.
4．B
【解析】
试题分析：由题中条件：“函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值．
解：函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点，
即二次方程x 2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4，
∵函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，
∴P （ξ＞4）=0.5，
由正态曲线的对称性知μ=4，
故选B ．
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
5．B
【解析】
【分析】
先根据幂函数的定义得到k=1,再根据幂函数y=kx a 过点（4，2）求出a 的值，即得k –a 的值.
【详解】
∵幂函数y=kx a 过点（4，2），∴2=k×4a ，且k=1，解得k=1，a=
12，∴k –a=1–1122=．故选B ． 【点睛】
本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
6．A
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：由()11z i i -=+，得)()()111i z i i +===-+．
∴复数z 在复平面内的对应点的坐标为22⎛ ⎝⎭
，位于第一象限．
故选A ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
7．A
【解析】
【分析】
观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.
【详解】
对于选项A ，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A 错；
对于选项B ，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B 正确；
对于选项C ，D ，由图可知显然正确.故选A.
【点睛】
本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.
8．A
【解析】
【分析】
根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组，求出每一种情况的分组方法数目，由加法计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，三个区域至少有一个安保小组，
所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：
按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；
若按照1、1、3分组,共有
113
3
543
3
2
2
60
C C C
A
A
⨯=种分组方法；
若按照1、2、2分组,共有
122
3
542
3
2
2
90
C C C
A
A
⨯=种分组方法，
根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.
故选：A.
【点睛】
本题考查排列、组合及简单计数问题，本题属于分组再分配问题，根据题意分析可分组方法进行分组再分配，按照分类计数原理相加即可，属于简单题.
9．C
【解析】
【分析】
先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有44464
⨯⨯=个三位数.
再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有3
428
C⨯=种，第二类，凹
数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有2
416
C⨯=种方法，所以共有凹数8+6=14个，
由古典概型的概率公式得P=147 6432
=.
故答案为：C 【点睛】
本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
10．D
【解析】
由推理的定义可得A,C 为归纳推理，B 为演绎推理，D 为类比推理.
本题选择D 选项.
点睛：一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．
二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
11．B 【解析】
【分析】
作出图形，取CD 的中点E ，连接ME 、AE ，证明四边形CNME 为平行四边形，计算出AME ∆的三边边长，然后利用余弦定理计算出cos AME ∠，即可得出异面直线AM 与CN 所成角的大小.
【详解】
如下图所示：
取CD 的中点E ，连接ME 、AE ，
M 、N 分别为1BB 、1A B 的中点，则11//MN A B ，且111122MN A B =
=， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A B CD ，E 为CD 的中点，
11//CE A B ∴且111122CE A B ==，则//MN CE ， 所以，四边形CNME 为平行四边形，//CN ME ∴，
则异面直线AM 与CN 所成的角为AEM ∠或其补角.
在AME ∆中，11222
AM A B ==225ME CN BC BN ==+=，
2252
AE AD DE =+=. 由余弦定理得22210cos 2AM ME AE AME AM ME +-∠==⋅. 因此，异面直线AM 与CN 所成角的大小为10arccos
. 故选B.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的计算，一般利用定义法或空间向量法计算，考查计算能力，属于中等题. 12．B
【解析】
分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得到结论.
详解：()211z i i -=+， ()()()221i i 1i
1i 2i 2i 1i z +++∴===---1i 11i 222
-+==-+， z ∴在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
，位于第二象限，故选B. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
二、填空题：本题共4小题
13．
【解析】
【分析】
函数有三个零点方程有3个根方程有3个根函数与函数
图象有3个交点，利用导数作出函数 的图象，求出实数的取值范围.
【详解】
函数有三个零点函数与函数图象有3个交点，
（1）当时，，
函数在单调递增，单调递减，
（2）当时，，
函数的图象如下图所示：
.
【点睛】
本题考查利用函数的零点，求参数的取值范围，考查利用数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力.
14．42
【解析】
试题分析：若恰有1个社团没人选，则问题转化为4人选2个社团，且每人只选择一个社团，可转化为分
组与分配问题，即
22
2212
42
3242
2
2
42
C C
C A C A
A
⎛⎫
⋅⋅+⋅=
⎪
⎝⎭。

考点：排列组合的综合应用。

15．
26
2
n n
-+
【解析】【分析】
根据题意先确定每行最后一个数，再求结果 【详解】
依排列规律得，数表中第1n -行最后一个数为(1)
123(1)2
n n n -+++
+-=
第()3n n ≥行左起第3个数为2(1)6
322
n n n n --++=
. 【点睛】
本题考查归纳推理，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．25
arctan 【解析】 【分析】
作出辅助线，由题意首先找到AE 与平面11B BCC 所成角，然后结合几何关系求解线面角的大小即可. 【详解】
如图所示，连结BE,
由题意可知：415BE =+=
∵AB ⊥平面B 1BCC 1,∴∠AEB 是AE 与平面B 1BCC 1所成的角，
25
tan 55
AB AEB BE ∠=
==
， 25
AEB ∴∠=. 故答案为：25
． 【点睛】
本题主要考查线面角的计算，空间几何体中的线面关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）22132
x y +=；
（Ⅱ）420x y --=或420x y +-=． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题中已知条件可得a =
，b =
，代入椭圆C 的方程，将点的坐标代入椭圆方程可求出c
的值，进而得出a 、b 的值，于是可得到椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 的方程为2x my =+，设点()()1122,,A x y B x y 、，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，列出韦达定理，由等式1FA FB ⋅=-结合韦达定理可求出m 的值，即可求出直线l 的方程． 【详解】
（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >
，则
c a =
,a b ∴===，
所以，椭圆C 的方程为22
22132x y c c +=，
将点⎫⎪⎪⎝
⎭的坐标代入椭圆C
的方程得2
2
21132c c
⎝⎭+=， 解得1c =
，则b a =
===，
因此，椭圆C 的方程为22
132
x y +=；
（Ⅱ）设直线l 的方程为2x my =+，设点()()1122,,A x y B x y 、， 将直线l 的方程代入椭圆的方程，并化简得(
)
2
2
23820m y my +++=，
()()
22264422324210m m m ∆=-⨯⨯+=->
，解得2m <-
或2
m >．
由韦达定理可得122282
,122323
m y y y y m m +=-
=++，
()()11111,3,FA x y my y =+=+，同理可得()223,FB my y =+，
所以，()()()
()2
1212121233139FA FB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++
(
)22
22
21249123
23
m m m m +=
-
+=-++， 解得4m =±，合乎题意！
因此，直线l 的方程为420x y --=或420x y +-=．
【点睛】
本题考查直线与椭圆的综合，考查韦达定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 18． (1) 22(1)4x y -+=. (2) 不存在这样的直线l . 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（I ）用待定系数法即可求得圆C 的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).l 与圆C 相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k 与x 1、x 2之间关系式，进而求出k 的值.若k 的值满足Δ>0，则存在；若k 的值不满足Δ>0，则不存在. 试题解析：（I ）设圆C ：(x-a)2+y 2=R 2(a>0)，由题意知
R R ==，
，
解得a=1或a=
13
8
， 又∵S=πR 2<13， ∴a=1，
∴圆C 的标准方程为：(x-1)2+y 2=1．
（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l 为：x=0不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 又∵l 与圆C 相交于不同的两点，
联立22
3{(1)4y kx x y =+-+=，，
消去y 得：(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0， ∴Δ=(6k -2)2-21(1+k 2)=3k 2-6k-5>0，
解得1k <
1k >+． x 1+x 2=2621k k --
+，y 1+ y 2=k(x 1+x 2
)+6=2261k k ++， 121211
()()22
OD OA OB x x y y =+=++，，(13)MC =-，，
假设OD ∥MC ，则12123()x x y y -+=+， ∴22
6226
311k k k k -+⨯
=++，
解得3(1(1)433
k =
∉-∞-⋃++∞，，假设不成立． ∴不存在这样的直线l ．
考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系. 19．（1）(1)1f '=-；（2）极大值点为1
2
x =，极小值点为2x =. 【解析】 【分析】
（1）求出()'f x ，将1x =代入即可．
（2）先在定义域内求出()'0f x =的x 值，再讨论满足()0f x '=的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值； 【详解】
解：（1）因为()22252
25(0)x x f x x x x x
-+=+=>'-，所以()11f '=-.
（2）()f x '的零点为2x =或
12
， 当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减； 当()10,
2,2x ∞⎛
⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，()2,∞+上单调递增，
所以()f x 的极大值点为1
2
x =，极小值点为2x =. 【点睛】
本题主要考查了导数计算，利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题． 20．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2
7
.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由正方体的性质得出1DD ⊥平面1111D C B A ，再由直线与平面垂直的性质可证明出
111AC DD ⊥；
（Ⅱ）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，计算出平面AEF 和平面11AA D D 的法向量，利用向量法求出这两个平面所成锐二面角的余弦值． 【详解】
（Ⅰ）在正方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ， ∴111A C D D ⊥；
（Ⅱ）如图，以D 为原点，DA ，
DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()2,0,0A ，()0,0,1E ，22,2,
3F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，()2,2,0B ， ∴()2,0,1AE =-，20,2,3AF ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，()0,2,0AB =，
设(),,n x y z =为平面AEF 的一个法向量，
则00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20
2
203x z y z -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩
，令6z =，可得()3,2,6n =-， ∵AB ⊥平面11AA D D ，∴()0,2,0AB =为平面11AA D D 的一个法向量， ∴2
cos ,729436
AB n AB n AB n
⋅=
=
=-++，
∴平面AEF 与平面11AA D D 所成锐二面角的余弦值为2
7
.
【点睛】
本题考查直线与直线垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角，解题的关键就是计算出两个平面的法向量，利用空间向量法来进行计算，考查计算能力与逻辑推理能力，属于中等题． 21．（1）见解析；(2)
【解析】 【分析】
（1）代入a 的值，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a 的范围即可． 【详解】 （1）当a=2时，
，令
，解得x=1.
列表：
x 1
—0 +
极小值
所以，当x=1时，有极小值，没有极大值
（2）①因为. 所以，. 当时，，
所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意，
当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即为最小值.
1°当时，在上单调递减，在上单调递增，只有一个零点，不合题意；
2°当时，，故，最多有两个零点. 注意到，令,
取，使得，下面先证明；
设，令，解得.
列表
x
—0 +
极小值
所以，当，有极小值.
所以，故，即.
因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点，
又x=1也是的一个零点，则
有两个相异的零点，符合题意
3°当
时，
，故
，
最多有两个零点.
注意到，取，
则
，
因此，根据零点存在性定理知，在
上
必存在一个零点，
又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意.
综上所述，实数a 的取值范围是.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值及零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
22．（1）1C 的极坐标方程为2
4470cos sin ρρθρθ+--=，直线2C 极坐标方程为()3
θρπ
=
∈R ；（2）232
7
. 【解析】 【分析】
（1）利用三种方程的转化方法，即可得解； （2）将3
π
θ=代入2
4470cos sin ρρθρθ+--=中得2(232)70ρρ-+=，结合韦达定理即可得解.
【详解】
（1）由曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y α
α
=+⎧⎨
=+⎩（α为参数），得曲线1C 的普通方程为
22(2)(2)1x y -+-=，
则1C 的极坐标方程为2
4470cos sin ρρθρθ+--=， 由于直线2C 过原点，且倾斜角为
3π
，故其极坐标方程为()3
θρπ=∈R . （2）由24470
3cos sin ρρθρθπ
θ⎧--+=⎪
⎨=
⎪⎩
得22)70ρρ-+=， 设A ,B 对应的极径分别为12ρρ，
，则122ρρ+=，127ρρ=，
∴
121211OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===⋅. 【点睛】
本题考查三种方程的互化，考查极坐标方程的应用，属于常考题.
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点()0,4M ，点P 在抛物线2
8x y =上运动，点Q 在圆()
2
2
21x y +-=上运动，则
2
PM PQ
的最小值为（ ） A ．2
B ．83
C ．4
D ．
163
2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，23i
e π
表示的复数位于复平面中的（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．
(
)
3
23012331x a a x a x a x -=+++，则()()2
2
0213a a a a +-+的值为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．8
D ．-8
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为 （ ） A ．5
B ．43
C ．52
D ．62
5．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为（ ） A ．60
B ．70
C ．80
D ．90
6．已知向量(),3a x z =+，()2,b y z =-，且a b ⊥，若实数,x y 满足不等式1x y +≤，则实数z 的取值范围为（ ） A ．[]3,3-
B ．2,2⎡⎤-⎣⎦
C ．[]1,1-
D ．[]22-,
7．如图所示，圆O 为正三角形ABC 的内切圆，,D E 为切点，将一颗豆子随机地扔到该正三角形内，在已知豆子落在圆O 内的条件下，豆子落在OEC ∆（阴影部分）内的概率为（）
A ．
1
6
B ．
13
C ．
32π
D 33
8．已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()
0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ）
A ．-4
B ．-1
C ．1
D ．4 9．已知向量a 、b 、c 满足a b c +=，且::1:1:2a b c =a 、b 夹角为（ ） A ．4π B ．34π C ．2π D ．23
π 10．已知a ，b ∈R ，21i =-则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知椭圆2
2:14
x E y +=，点P 在椭圆E 上且在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ，则PCD 面积的最大值为( )
A ．2-
B
C 1
D 1
12．已知0,0a b >>，且1a ≠，则“log 0a b >”是“()()110a b -->”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题
13．在直角坐标系中，已知1,0A ，()4,0B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是______．
14．设复数z 满足32=-+zi i ，则z ＝__________.
15．给出下列演绎推理：“自然数是整数， ，所以2是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写___________．
16．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，则该球的半径为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是12,1x t y t
=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．求直线l 被曲线C 截得的弦长. 18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =.
（Ⅰ）求证：111A C D D ⊥；
（Ⅱ）求平面AEF 与平面11AA D D 所成锐二面角的余弦值.
19．（6分）已知函数()()ln 1f x mx x m R =-+∈.
（1）若函数()f x 存在不小于3的极小值，求实数m 的取值范围；
（2）当1m =-时，若对[)1,x ∀∈+∞，不等式()()110x x e af x --+≥恒成立，求实数a 的取值范围.
20．（6分）已知函数2()(2)ln )f x x a x a x a R =+--∈（
． (1)讨论()f x 的单调性；
(2)当1x ≥时，()0f x >，求的最大整数值．
21．（6分）设抛物线Γ的方程为y 2＝4x ，点P 的坐标为（1，1）．
（1）过点P ，斜率为﹣1的直线l 交抛物线Γ于U ，V 两点，求线段UV 的长；
（2）设Q 是抛物线Γ上的动点，R 是线段PQ 上的一点，满足PR =2RQ ，求动点R 的轨迹方程；
（3）设AB ，CD 是抛物线Γ的两条经过点P 的动弦，满足AB ⊥CD ．点M ，N 分别是弦AB 与CD 的中点，是否存在一个定点T ，使得M ，N ，T 三点总是共线？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由．
22．（8分）已知函数22()ln f x a x ax x a =+-+.
（1）讨论()f x 在(1,)+∞上的单调性；
（2）若0(0,)x ∃∈+∞，()012e
f x a >-，求正数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【解析】
【分析】
根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值.
【详解】
如图：
抛物线2
8x y =的准线方程为:2l y =-，焦点()0,2F ， 过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点，
由抛物线的定义可得PF PB =,
圆()2
221x y +-=的圆心为()0,2F ，半径1r =， 可得PQ 的最大值为1PF r PF +=+，
由22
1
PM PM PQ PF ≥+， 可令()11PF t t +=>，则
12p PF t PB y =-==+，
即()23,83p p y t x t =-=-， 可得：()
22224625252562641p p x y PM t t t t PF t t t t
+--+===+-≥⨯=+，
当且仅当5t =时等号成立，
即22
41
PM PM PQ PF ≥≥+， 所以2
PM PQ
的最小值为4 故选：C
【点睛】
本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题.
2．B
【解析】
2πi 32π2π1cos isin 332e =+=-+ ,
对应点1(2- ,位于第二象限,选B. 3．D
【解析】
试题分析：)32301231a a x a x a x -=+++，所以当1x =
时，)3
01231a a a a =+++；当1x =-
时，()301231
a a a a =-+-，故()()()(
)
)()()33223
0213012301231128a a a a a a a a a a a a +-+=+++-+-=
=-=- 考点：二项式定理
4．C
【解析】 分析：由三角形面积公式可得c ，再由余弦定理可得b ，最后结合正弦定理即可得结果.
详解：根据三角形面积公式得，1
1sin4522
c ⋅⋅⋅︒=，
得c =则2222cos 25b a c ac B =+-=，即5b =
，22
R == C. 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.
5．B
【解析】
【分析】
根据题意画出韦恩图即可得到答案．
【详解】
根据题意阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，得到的韦恩图如图，所以阅读过《西游记》的学生人数为106070+=人
故选B. 【点睛】 本题考查利用韦恩图解决实际问题，属于简单题． 6．A 【解析】
分析：根据a b ⊥，得到233z y x =-
+，直线的截距为3
z ，作出不等式1x y +≤表示的平面区域，通过平推法确定z 的取值范围.
详解：向量(),3a x z =+，()2,b y z =-，且a b ⊥， ∴2()3()0a b x z y z ⋅=++-=，整理得23z x y =+，转换为直线233
z y x =-+ 满足不等式1x y +≤的平面区域如图所示.
画直线23
y x =-，平推直线，确定点A 、B 分别取得截距的最小值和最大值. 易得(0,1)A -,(0,1)B
分别将点A 、B 坐标代入23z x y =+，得min 3z =-，max 3z =
∴[]3,3z -实数的取值范围为
故选A.
点睛：本题主要考查两向量垂直关系的应用，以及简单的线性规划问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力和数形结合思想的应用.
目标函数z ax by =+型线性规划问题解题步骤：
（1）确定可行区域
（2）将z ax by =+转化为-
a z y x
b b =+，求z 的值，可看做求直线a z y x b b =-+，在y 轴上截距z b 的最值．
（3）将a y x b
=-平移，观察截距z b 最大（小）值对应的位置，联立方程组求点坐标． （4）将该点坐标代入目标函数，计算Z ．
7．A
【解析】
【分析】
设正三角形ABC 的边长为a ，内切圆半径为r ，求得内切圆半径，即可得阴影部分的面积；再求得三角形ABC 的面积，结合几何概型的求法即可得解.
【详解】
设正三角形ABC 的边长为a ，内切圆半径为r ，
则由三角形面积公式可得2132a r ⨯⨯⨯=，
解得6
r a =，
则21224
OEC S EC OE a =⨯⨯=，
所以由几何概型概率可得落在阴影部分的概率为216OEC ABC S S ==, 故选：A.
【点睛】
本题考查了等边三角形内切圆的性质应用，几何概型概率求法，属于基础题.
8．C
【解析】
【分析】
先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值.
【详解】
由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414
a -
⨯=-，解得1a =. 故选C.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
对等式a b c +=两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出0a b ⋅=，由此可求出a 、b 的夹角.
【详解】
等式a b c +=两边平方得2222a a b b c +⋅+=，即2222cos a b b c a θ+⋅+=，
又::1:1:a b c =0a b ⋅=，a b ∴⊥，因此，a 、b 夹角为
2
π，故选：C. 【点睛】
本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查平面向量数量积的运算律以及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.
10．A
【解析】
【分析】
根据复数的基本运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：因为2222()a abi b a bi =+-+，
若1a b ==，则等式成立，即充分性成立，
若2(i)2i a b +=成立，即2222a abi b i -=+，所以22022a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩ 即必要性不成立，
则“1a b ==”是“2
(i)2i a b +=”的充分不必要条件，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题． 11．C
【解析】
【分析】 若设(,)P m n ，其中0,0m n ><，则2
214
m n +=，求出直线PA ，PB 的方程，从而可得 C ，D 两点的。