北师大版七下第二章相交线、垂线、三线八角知识点加练习

北师⼤版七下第⼆章相交线、垂线、三线⼋⾓知识点加练习
相交线、垂线、三线⼋⾓
（⼀）概念知识点：⼀、邻补⾓与对顶⾓
两直线相交所成的四个⾓中存在⼏种不同关系的⾓，它们的概念及性质如下表：
注意点：⑴对顶⾓是成对出现的，对顶⾓是具有特殊位置关系的两个⾓；
⑵如果∠α与∠β是对顶⾓，那么⼀定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不⼀定是对顶⾓
⑶如果∠α与∠β互为邻补⾓，则⼀定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不⼀定是邻补⾓。

⑶两直线相交形成的四个⾓中，每⼀个⾓的邻补⾓有两个，⽽对顶⾓只有⼀个。

⼆、垂线
⑴定义，当两条直线相交所成的四个⾓中，有⼀个⾓是直⾓时，就说这两条直线互相垂直，其中的⼀条直线叫做另⼀条直线的垂线，它们的交点叫做垂⾜。

符号语⾔记作：如图所⽰：AB ⊥CD ，垂⾜为O
⑵垂线性质1：过⼀点有且只有⼀条直线与已知直线垂直。

⑶垂线性质2：连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

三、垂线的画法：⑴过直线上⼀点画已知直线的垂线；⑵过直线外⼀点画已知直线的垂线。

注意：①画⼀条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
②过⼀点作线段的垂线，垂⾜可在线段上，也可以在线段的延长线上。

四、点到直线的距离
直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。

PO 是垂线段。

PO 是点P 到直线AB 所有
A B C D
O
P A
B O
线段中最短的⼀条。

现实⽣活中开沟引⽔，牵⽜喝⽔都是“垂线段最短”性质的应⽤。

五、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近⽽⼜相异的概念
⑴垂线与垂线段
区别：垂线是⼀条直线，不可度量长度；垂线段是⼀条线段，可以度量长度。

联系：具有垂直于已知直线的共同特征。

(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离
区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂⾜)间距离。

⑶线段与距离距离是线段的长度，是⼀个量；线段是⼀种图形，它们之间不能等同。

六、三线⼋⾓
两条直线被第三条直线所截形成⼋个⾓，它们构成了同位⾓、错⾓与同旁⾓。

如图，直线b a ,被直线l 所截
①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上⽅，叫做同位⾓（位置相同）
②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（），叫做错⾓（位置在且交错）③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（），叫做同旁⾓。

④三线⼋⾓也可以成模型中看出。

同位⾓是“A ”型；错⾓是“Z ”型；同旁⾓是“U ”型。

（⼆）习题练习及讲解⼀、选择题:
1.如图所⽰,∠1和∠2是对顶⾓的图形有( )
1
2
1
2
1
2
2
1
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图1所⽰,三条直线AB,CD,EF 相交于⼀点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( ? )
A.150°
B.180°
C.210°
D.120°
(1) (2) (3) 3.下列说确的有( )
①对顶⾓相等;②相等的⾓是对顶⾓;③若两个⾓不相等,则这两个⾓⼀定不是对顶
⾓;④若两个⾓不是对顶⾓,则这两个⾓不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图2所⽰,直线AB 和CD 相交于点O,若∠AOD 与∠BOC 的和为236°,则∠AOC?的度
数为( ) A.62° B.118° C.72° D.59°
5.如图3所⽰,直线L 1,L 2,L 3相交于⼀点,则下列答案中,全对的⼀组是( ) A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°;
B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30
C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°;
D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30°
a
b
l 1 2 3 4
5 6 7 8
6、.已知OA ⊥OC ，∠AOB ：∠AOC=2：3，则∠BOC 的度数是（）.
A.30°
B.150°
C.30°或者说50°
D.以上答案都不对
7、如果∠1与∠2互为补⾓,且∠1>∠2,那么∠2的余⾓是( ).
A.
2
1
(∠1+∠2) B.
2
1
∠1 C.
21(∠1–∠2) D.2
1
∠2 8、下列说确的是( ).
A.两条直线相交成四个⾓,如果有三个⾓相等,那么这两条直线垂直.
B.两条直线相交成四个⾓,如果有两个⾓相等,那么这两条直线垂直.
C.两条直线相交成四个⾓,如果有⼀对对顶⾓互余,那么这两条直线垂直.
D.两条直线相交成四个⾓,如果有两个⾓互补,那么这两条直线垂直. 9、如图4-56,与∠C 是同旁⾓的有( )个.
A.2
B.3
C.4
D.5 10、下列说确的是(
).
A.在同⼀平⾯,过已知直线外⼀点作这条直线的垂线有且只有⼀条.
B.连结直线外⼀点和直线上任⼀点,使这条线段垂直于已知直线.
C.作出点P 到直线的距离
D.连结直线外⼀点和直线上任⼀点的线段长是点到直线的距离. 11、.如图4-57,OA ⊥OB,OC ⊥OD,则( ).
A.∠AOC=∠AOD
B.∠AOD=∠DOB
C.∠AOC=∠BOD
D.以上结论都不对
12.如图4-58,PO ⊥OR,OQ ⊥PR,能表⽰点到直线(或线段)的距离的线段有( ).
A.1
B.2
C.3条
D.5条
13.两条相交直线与另外⼀条直线在同⼀平⾯,它们的交点个数是( ).
A.1
B.2
C.3或2
D.1或2或3
14.下列语句正确的是( ). A.相等的⾓为对顶⾓
B.不相等的⾓⼀定不是对顶⾓
C.不是对顶⾓的⾓都不相等
D.有公共顶点且和为180°的两⾓
A.1
B.2
C.3条
D.5条
⼆、填空题:(每⼩题2分,共16分)
1.如图4所⽰,AB与CD相交所成的四个⾓中,∠1的邻补⾓是______,∠1的对顶⾓___. (4) (5) (6)
2.如图4所⽰,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.
3.如图5所⽰,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠AOD的对顶⾓是_____,∠AOC的邻补⾓是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.
4.如图6所⽰,已知直线AB,CD相交于O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD=?______.
5.对顶⾓的性质是______________________.
6.如图7所⽰,直线AB,CD相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.
(7) (8) (9)
7.如图8所⽰,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,?则∠EOB=___.
8.如图9所⽰,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC=70°,OE把∠BOD分成两部分,?且∠
BOE:∠EOD=2:3,则∠EOD=________.
9、如图4-49,直线AB,CD被EF所截,∠1=∠2,要证∠2+∠4=180°，请完善证明过程，并在括号填上相应依据：∵直线AB与EF相交，∴∠1=∠3（_____________________）,
⼜∵∠1+∠4=180°（_____________________）,∠1=∠2(已知),∴∠2=∠3,∠2+∠4=180°（_____________________）。

10、.如图4-50,要证BO⊥OD,请完善证明过程,并在括号填上相应依据:∵AO⊥CO(已
知),∴∠AOC=_______________（________________________）.⼜∵∠COD=40°(已知),∴∠AOD=____________.
∵∠BOC=∠AOD=50°(已知),∴∠BOD=________,∴_______⊥_______（________________________________）.
11、.经过直线外或直线上⼀点,有且只有_______________直线与已知直线垂直.
12、.从直线外⼀点到这条直线的_______________叫做这点到直线的距离.
13、直线外⼀点与直线上各点连结的线段中,以_______________为最短.
14、如图4-51,AB是⼀直线,OM为∠AOC的⾓平分,ON为∠BOC的⾓平分线,则OM,ON的位置关系是_______________.
15、如图4-52,AB⊥CD于O,EF为过点O的直线,MN平分∠AOC,若∠EON=100°，那么∠
EOB=_______________，∠BOM=_______________.
16、如图4-53, 直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOD, FO⊥OD于O, ∠1=40°,则∠2=______, ∠4=______.
17、如图4-54,∠1的同位⾓是________,∠1的错⾓是_________,∠1的同旁⾓是__________.
18、如图4-55,直线l截直线b
a,所得的同位⾓有_____对,它是________________;错⾓有______对,它们是
________________;同旁⾓有_____对,它们是________________;对顶⾓有____对,它们是________________.
三、判断.
1、如图4-47,其中共有4对同位⾓,4对错⾓,4对同旁⾓. ( )
2、O是直线AB上⼀点,C,D分别在AB的两侧,且∠DOB=∠AOC,则C,O,D三点在同⼀条直线上. ( )
3、如图4-48,∠2和∠10是错⾓. ( )
4、如图4-48,∠9和∠10是同旁⾓,∠1和∠7也是同旁⾓. ( )
5、如图4-48,∠1和∠3是同位⾓. ( )
6、如图4-48,∠2和∠4是同位⾓. ( )
7、如图4-8,∠2和∠8是对顶⾓. ( )
8、直线外⼀点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离. ( )
9、相交直线构成的四个⾓中若有⼀个⾓是直⾓,就称这两条直线互相垂直. ( )
10、顶点相同并且相等的两个⾓是对顶⾓. ( )
四、训练平台:
1、如图所⽰,AB,CD,EF交于点O,∠1=20°,∠BOC=80°,求∠2的度数.
2、如图所⽰,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.
五、提⾼训练:
1.如图所⽰,AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE?的度数.
2. 如图所⽰,直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD 的度数.
3. 如图所⽰,直线a,b,c 两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数.
六、探索发现:
1. 若4条不同的直线相交于⼀点,则图中共有⼏对对顶⾓?若n 条不同的直线相交于⼀
点呢?
2. 在⼀个平⾯任意画出6条直线,最多可以把平⾯分成⼏个部分?n 条直线呢??
（三）课后练习：
1、如图1,AC ⊥BC,CD ⊥AB, 垂⾜为D,图中共有___个直⾓,它们是__________________,图中线段_______的长表⽰点C 到AB
的距离，线段________的长表⽰点A 到BC 的距离. 2、如图2，请你写出⼀组错⾓： _____ ；；
45
2
1l 1l 2
3
(1) （2）（3） 3、如图3，当剪⼦⼝∠AOB 增⼤15°时，∠COD 增⼤____________。

4、如图4，计划把河⽔引到⽔池A 中，先引AB ⊥CD ，垂⾜为B ，然后沿AB 开渠，能使所开
的渠道最短，这样设计的依据是_________________________________________。

5、如图5有⼀个与地⾯成30°⾓的斜坡，，现要在斜坡上竖⼀电线杆，当电线杆与斜坡所成的⾓α=＿＿度⾓时，电线杆与地⾯垂直。

D
C B
A
（5） (6)
6、观察图形(6)，下列说确的个数是（）①过点A 有且只有⼀条直线AC 垂直于直线l ；②线段AC 的长是点A 到直线l 的距离。

③线段AB 、AC 、AD 中，线段AC 最短，根据是垂线段最短；
④线段AB 、AC 、AD 中，线段AC 最短，根据是两点之间线段最短； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
7、⼀辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B ⾏驶，M 、N 分别是位于AB 两侧的村庄，设汽车⾏驶到公路AB 上点P 位置时，距离村庄M 最近，⾏驶到公路AB 上Q 点时，距离村庄N 最
近，请在图15中标出点P、Q的位置（保留作图痕迹）
8、如图所⽰,村庄A要从河流L引⽔⼊庄,需修筑⼀⽔渠,请你画出修筑⽔渠的路线图.
9、如图所⽰,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,?求∠DOG的度数.
10、如图6所⽰,O为直线AB上⼀点,∠AOC=1
3
∠BOC,OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数;(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.。