全等三角形证明判定方法分类总结材料44117

全等三角形（一）SSS
【知识要点】
1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：
（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等
3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如
DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆
（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．
（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．
（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．
如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪
⎨⎧===DF AC EF BC DE AB
ABC ∆∴
≌DEF ∆
【典型例题】
例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点
D 是对应点，
︒=∠26BAC ，
且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求
A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．
例
2．如图，
ABC ∆≌DEF
∆，
cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长．
例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠
例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：
（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EF
A D
例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；
（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）
【巩固练习】
1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）
A 、①④
B 、①②
C 、②③
D 、③④
2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）
A 、CD
B ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等
C 、CB
D C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC
3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果
︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）
A 、︒85
B 、︒35
C 、︒60
D 、︒80
4．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3
5．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC
6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，
点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．
7．如图，ABC ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠B A C C E
A B B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．
8
，AE=AD ，则A B E
∆ ACD ∆，所以
=∠
AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ．
D 第4题图
第5题图
B
第6题图
第7题图 第
8题图 第9题题图
9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠
C 、互余与E A ∠∠
D 、互余与D B ∠∠
10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．
11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆
全等三角形（一）作业
1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定
2．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）
A 、︒48
B 、︒38
C 、︒110
D 、︒62
3．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．
4．如图，ABE ∆≌ACD ∆，︒=∠︒=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．
5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD
A
B C
D
E
6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ∆≌FED ∆
②AB//EF
7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠
F
E
全等三角形（二）
【知识要点】
定义：SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示
如图，在ABC ∆和DEF ∆中，
ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆
【典型例题】
【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.
【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，
AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.
【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.
【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.
【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。

求证：BD ＋CD=AD 。

C A
D B
E C D
A
B
C
E
【巩固练习】
1．在△ABC 和△C B A '''中，若AB=B A ''，AC=C A ''，还要加一个角的条件，使△ABC ≌△C B A '''，那么你加的条件是（ ）
A ．∠A=∠A ' B.∠B=∠
B ' C.∠C=∠
C ' D.∠A=∠B ' 2．下列各组条件中，能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE ，BC=EF ；CA=C
D B.CA=CD ；∠C=∠F ；AC=EF
C ．CA=C
D ；∠B=∠
E D.AB=DE ；BC=E
F ，两个三角形周长相等 3．阅读理解题：
如图：已知AC ，BD 相交于O ，OA=OB ，OC=OD.
那么△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由.△ABC 与△BAD 全等吗？请说明理由.
小明的解答：
21∠=∠ AOD ≌△BOC
而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△ 所以△ABC ≌△BAD
（1）你认为小明的解答有无错误；
（2）如有错误给出正确解答；
4．如图，点C 是AB 中点，CD ∥BE ，且CD=BE ，试探究AD 与CE 的关系。

5．如图，AE 是，BAC 的平分线∠AB=AC
（1）若D 是AE 上任意一点，则△ABD ≌△ACD ，说明理由. （2）若D 是AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由. 6．如图，已知AB=AC ，EB=EC ，请说明BD=CD 的理由
D
OA=OB OD=OC
全等三角形（二）作业
1．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BF=CF ，求证：BDF ∆≌CEF ∆。

2．如图，△ABC ，△BDF 为等腰直角三角形。

求证：（1）CF=AD ；（2）CE ⊥AD 。

3．如图，AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F 。

求证：BF=FC 。

4．已知：如图1，AD ∥BC ，AE=CF ，AD=BC ，E 、F 在直线AC 上，求证：DE ∥BF 。

5. 如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC
，AD=AE ， 求证：（1
）BE=DC ，（2）BE ⊥DC.
6、已知，如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB//DE ，且AB=DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF （2）∠CBF=∠FEC
A
B C
E D F
A
D E O 1 2
D
C
A
B
E F
D A
B
Q
C
P
E
7、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE
8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，
（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。

9、已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证：（1）AM=BN
（2）求∠AFN大小。

11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB
的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，求∠AGC的度数.
12、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.
(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.
C
N
M
B
A
E
D
F
F
D
A
C
E B
F
D
A
C
G
E
B
全等三角形（三）ASA
【知识要点】
ASA
如图，在ABC
∆与DEF ∆中
E
B DE AB D A ∠=∠=∠=∠ ∴)(ASA DEF AB
C ∆≅∆
ASA 公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
【典型例题】 【例1】下列条件不可推得ABC ∆
和'
''C B A ∆全等的条件是（ ） A 、 AB=A 'B '，'
A A ∠=∠，'C C ∠=∠
B 、 AB= A 'B '，AC=A '
C '
，BC='B C ' C 、 AB= A 'B '，AC=A 'C '，'
B B ∠=∠ D 、 AB= A 'B '，'A A ∠=∠，'
B B ∠=∠ 【
例
2
】
已
知
如
图
，
DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF
【例3】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE
【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？试
证明之．
【例5】如图，321∠=∠=∠，AC=AE ，求证：DE=BC
A
D A B
【例6】如图，21,∠=∠∠=∠D A ，AC ，BD 相交于O ， 求证：①AB=CD ②OA=OD
【巩固练习】
1．如图，AB//CD ，AF//DE ，BE=CF ，求证：AB=CD
2．如图，AD//BC ，O 为AC 中点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ，求证：AM=CN
3．求证：两个全等三角形ABC 与A 'B 'C '
的角平分线AD 、A 'D '
相等
4．如图，AB ，CD 相交于O ，E ，F 分别在AD ，BC 上，若FOB EOD ∆≅∆，求证：
COF AOE ∆≅∆
5．如图，AB//CD ，AD//BC ，求证：AB=CD
6．已知，如图AB=DB ，21,∠=∠∠=∠E C ，求证：AC=DE
A
D
'
B D
'
C '
C
B
A B
D
全等三角形（三）作业
1．已知，如图，CD AF D A =∠=∠∠=∠,21,，求证：AB=DE
2．如图，已知CAD BAE ADE AED ∠=∠∠=∠,，求证：BE=CD
3．已知如图，AB=AD ，CAE BAD D B ∠=∠∠=∠,，求证：AC=AE
4．已知如图，在ABC ∆中，AD 平分BC AD BAC ⊥∠,，求证：ABD ACD ∆≅∆
5．已知如图，cm AC ABD DCA DBC ACB 10,,=∠=∠∠=∠，求BD 的长（要求写出完整的过程）
6、如图ABC △中，∠B ＝∠C ，D ，E ，F 分别在AB,BC,AC 上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EF
C
E
A D E
C
B
F
7、 (1)如图１，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．
(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？
8、已知：如图 , AD为CE的垂直平分线 , EF∥BC.求证：△EDN≌△CDN≌△EMN．
9、已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD≌△OCE 10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O为BD中点 , 过O作直线分别与DA、BC 的延长线交于E、F．求证：OE=OF
11、如图在△ABC和△DBC中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , P是BC上任意一点．求证：PA=PD.
12、已知：如图 , 四边形 ABCD中 , AD∥BC , F是AB的中点 , DF交CB延长线于E , CE=CD．
求证：∠ADE=∠EDC．
13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA与BE
交于C , AB和EF交于O ,求证：∠1=∠2．
F
B
D
（图１）
全等三角形（四）
强化训练
1、如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上
的点，
（1）若AD BE CF ==，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD BE CF ==成立吗？试证明你的结论．
2、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）
3、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC
、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．
4、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．
（1）求证：BF AC =；（2）求证：1
2
CE BF =；
5、 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将B O C △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ． （1）求证：COD △是等边三角形；
（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理
由；
（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？
B
D
A E F C H G
B A B
C
D
O
110 α
7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求证：CD=CE。

8、Rt△ABC，AB=AC,BM是中线，AD⊥BM交BC于D，求证：∠AMB=∠CMD。

9、如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120º，说明AD=BD+CD的理由。

10、已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、
EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数。

11、等边三角形ABC和等边三角形DEC，D在AC边上。

延长BD交CE延长线于N，
延长AE交BC延长线于M。

求证：CM=CN
易证△BCD≌△ACE 所以∠DBC=∠EAC
再证△BCN≌△ACM (ASA)
∴ CM=CN
12、操作：如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明．
13、如图等边△ABC 和等边△CDE ，点P 为射线BC 一动点，角APK=60°，PK 交直线CD 于K 。

（1） 试探索AP 、PK 之间的数量关系；
（2） 当点P 运动到BC 延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。

14、（涉及相似三角形）若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点. 如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′。

求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′=PA PB PC ++.
15、如图,ABC ∆是等腰直角三角形,∠C ＝900
,点M,N 分别是边AC 和BC 的中点,点D 在射线BM 上,且BD ＝2BM, 点E 在射线NA
上,且NE ＝2NA.求证:BD ⊥DE.
A
B B '
M
N
E
D
C
B
A
第五章 全等三角形 拓展延伸
分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。

例1：已知AE 既是∠BAC 的平分线，也是∠BDC 的平分线，试说明AB=AC
思路：AB 在△ABD 中，AC 在△ACD 中，要说明AB=AC ，尝试说明△ABD 与△ACD 全等。

1． 观察图形发现两个三角形存在公共边AD
2． 题目所给条件可以得到两组角相等，
3． 再根据三个条件的位置，利用ASA ，可得三角形全等 4． 再利用全等三角形的对应边相等，得到AB=AC
例2：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，如果CE=5，BD=11，请你求出DE 的长度。

思路：抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC 进行分析，对它们的位置进行分析，发现AB 、AC 分别位于一个Rt △中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt △全等。

那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC ，直角=直角.可以求证△ABD ≌△ACE 。

D C
E
A
B
练习1. 小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等。

”你认为小明的话有道理吗？为什么？
分析：如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢? _______＝_______
∴我们只需要说明 ________≌________
解：
练习2．在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，△ADC≌△CEB，且 DE=AD+BE。

你能说出其中的道理吗？
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时， DE =AD-BE。

说说你的理由。

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。

B
A
图
1 图3。