2024年四川省绵阳市涪城区中考数学一诊试卷(含解析)

2024年四川省绵阳市涪城区中考数学一诊试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.4的相反数是( )
A. 1
4B. −1
4
C. 4
D. −4
2.下列图形中不是中心对称图形的是( )
A. 圆
B. 菱形
C. 矩形
D. 等腰三角形
3.在平面直角坐标系中，点P(m2+1,2)关于原点对称的点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4.若y=4−x+x−4+2，则x y的值为( )
A. 8
B. 16
C. −8
D. −16
5.已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是( )
A. 极差是5
B. 众数是8
C. 中位数是9
D. 方差是2.8
6.在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )
A. AB//CD
B. AD=BC
C. ∠A=∠B
D. ∠A=∠D
7.已知直线y=3x+a与直线y=−2x+b交于点P，若点P的横坐标为−5，则关于x的不等式3x+a<−2x+b的解集为( )
A. x<−5
B. x<3
C. x>−2
D. x>−5
8.如图，建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9m，在建筑物的顶端C
测得旗杆顶部A的仰角α为30°，旗杆底部B的俯角β为45°，则旗杆AB
的高度为( )
A. 32m
B. 33m
C. (32+9)m
D. (33+9)m
9.如图，A，B，C，D是⊙O上的点，AB=AD，AC与BD交于点E，AE=3，EC=5，BD=45，⊙O的半径为( )
A. 6
B. 55
2
C. 5
D. 26
10.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为8cm的⊙O中，连接CE，AC，AE，
沿直线CE折叠，使得点D与点O重合，则图中阴影部分的面积为( )
A. 323cm2
B. 83cm2
C. 8πcm2
+3π)cm2
D. (43
3
11.若关于x的不等式组{3−2x≤1
x−m<0的所有整数解的和是6，则m的取值范围是( )
A. 3<m<4
B. 3<m≤4
C. 3≤m<4
D. 3≤m≤4
12.如图，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，且边BC与y轴交于点
M，反比例函数y=k
(k≠0)的图象经过点A，若CM=2BM且
x
，则k的值为( )
S△OBM=13
5
A. −18
5
B. 16
5
C. 18
5
D. 36
5
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

13.因式分解：3m2−6m=______．
14.如图，AB//DE，AB⊥BC，∠1=20°，则∠D=______°.
15.大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是______．
16.如图，△ABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与△ABC的三边相
切，已知AB=10m，AC=8m，BC=6m.若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，
则落入水池的概率为.(π取3)
17.已知三点(a,m)、(b,n)和(c,t)在反比例函数y=k
x
(k>0)的图象上，若a<0<b<c，则m、n和t的大小关系是______.(用“<”连接)
三、解答题：本题共6小题，共78分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(本小题16分)
(1)计算：(−2)0−3tan30°−|3−2|．
(2)先化简，再求值：(x+2−12
x−2)÷4−x
x−2
，其中x=2−4．
19.(本小题12分)
某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A种零食进价为每件8元，B种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件B种零食共付款65元，顾客乙买了2件A种零食和3件B种零食共付款60元．
(1)求A、B两种零食每件的售价分别是多少元？
(2)若该零食店计划A、B两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进
A、B两种零食有多少种进货方案？
(3)在(2)的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
20.(本小题12分)
如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=a
x
(a≠0)的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标
为(m,6)，B点的坐标为(2,3)，连接OA，过B作BC⊥y轴，垂足为C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标．
21.(本小题12分)
如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF//AD交AB的延长线于点F，若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．
22.(本小题12分)
已知：如图所示，四边形ABCD中，∠B=∠D，AB=AD．
(1)求证：BC=CD；
(2)当∠B=90°时，若点E、F分别在边BC、CD上，且2∠EAF=∠BAD，求证：BE+DF=EF；
(3)在(2)的条件下，若∠C=α，△AEF是等腰三角形，使用含α的代数式表示∠CEF．
23.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+b与x轴交于A、B两点，A(−1,0)，B(4,0)，交y轴于点C．
(1)如图1，求抛物线解析式；
(2)如图2，直线y=x+m与x轴和抛物线分别交于点E、P，交CO于点D，P点的横坐标为t，CD的长用d表示，求d与t的函数关系式(不要求写出t取值范围)；
(3)如图3，在(2)问条件下，点M是OB上一点(点M的横坐标大于t)，连接PM，PD的垂直平分线交BM于点F，交PM于点N，当cos∠DPO=OF
，PN=3MN时，求m的值．
PM
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：4的相反数是−4，
故选：D．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】D
【解析】解：圆、菱形、矩形都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
等腰三角形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：∵m2≥0，
∴m2+1>0，
∴点P(m2+1,2)在第一象限，
∴点P(m2+1,2)关于原点对称的点在第三象限，
故选：C．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得：4−x≥0，x−4≥0，
解得：x=4，
则y=2，
∴x y=42=16，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组求出x，进而求出y，计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，
(8+5+x+8+10)=8，
∴1
5
解得x=9，
∴这组数据为：5，8，8，9，10，
∴极差为10−5=5，A正确；
众数是8，B正确；
中位数是8，故C错误；
[(5−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=2.8，故D正确．
方差为：1
5
故选：C．
先根据平均数求出x的值，然后分别根据极差、众数、中位数以及方差的定义求解即可．
本题主要考查极差、众数、中位数以及方差的定义，解题的关键是掌握算术平均数、众数、中位数及极差的定义并灵活运用．
6.【答案】C
【解析】解：A、∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB=CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD=BC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB=CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的长为AD与BC间的距离，
∵AB=CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，
∵∠A=∠D，
∴∠B=∠C，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意；
故选：C．
由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：当x<−5时，直线y=3x+a都在直线y=−2x+b的下方，
所以关于x的不等式3x+a<−2x+b的解集为x<−5．
故选：A．
由函数图象得到当x<−5时，直线y=3x+a都在直线y=−2x+b的下方，所以不等式3x+a<−2x+b 的解集为x<−5．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8.【答案】D
【解析】解：如图：
由题意得：CE⊥AB，CE=BD=9m，
在Rt△AEC中，∠ACE=30°，
=33(m)，
∴AE=CE⋅tan30⋅=9×3
3
在Rt△BCE中，∠BCE=45°，
∴BE=CE⋅tan45°=9(m)，
∴AB=AE+BE=(33+9)m，
故选：D．
根据题意可得：CE⊥AB，CE=BD=9m，然后分别在Rt△AEC和Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：连接DC，AO，OD，如图：
∵AB=AD，
∴∠ADE=∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴AE AD =AD AC ，即3AD =AD 8，
解得AD =2 6，
∵AB =AD ，即A 是BD 的中点，
∴AO ⊥BD ，BH =DH =2 5，
在Rt △ADH 中，AH 2=AD 2−DH 2，
∴AH = 24−20=2，
∴OH =OD−2，
在Rt △ODH 中，OD 2=OH 2+DH 2，
∴OD 2=(OD−2)2+(2 5)2，解得OD =6．
故选：A ．
连接DC ，易得△ADE ∽△ACD ，即可求出AD ，连接OA ，由垂径定理可得AO ⊥BD ，再根据勾股定理即可求解．
本题考查垂径定理，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正多边形和圆，翻折的性质以及直角三角形的边角关系，掌握正六边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
根据正六边形的性质，折叠的性质以及圆的对称性可得出OM =MD =1
2
OC =4cm ，再根据直角三角形的边角关系求出CM ，进而求出CE ，由图形中各个部分面积之间的关系可得S 阴影部分=2S △COE ，根据三角形的面积计算公式进行计算即可．
【解答】
解：如图，连接OD ，交CE 于点M ，则OD ⊥CE ，
由折叠可知OM =MD =12OD =12
OC =4(cm )，∠COM =360°6=60°，
在Rt △COM 中，
CM = 3OM =4 3(cm )，
∴CE =2CM =8 3(cm )，
由题意可知，
S 阴影部分=2S △COE
=2×12
×8 3×4=32 3(cm 2)，
故选A ．
11.【答案】B
【解析】解：不等式组整理得：{
x ≥1x <m ，
解得：1≤x <m ，
由所有整数解和是6，得到整数解为1，2，3，
则m 的范围为3<m ≤4．
故选：B ．
表示出不等式组的解集，由所有整数解和是6，确定出m 的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．12.【答案】D
【解析】解：∵CM =2BM ，S △OBM =
135
，∴S △COM =2S △OBM =2×135=265，
∴S △COB =S △COM +S △COM =395，
∴S 正方形OABC =785，
设BM =m ，则CM =2m ，
∴OC =OA =3m ，
∴(3m )2=785，
过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，则∠OCM =∠ODA =90°，
∵∠COM +∠AOM =90°，∠AOM +∠AOD =90°，
∴∠COM =∠AOD ，
∴△OCM ∽△ODA ，∴OC OD =CM AD ，即3m OD =2m AD ，∴OD AD =32，
设OD =3a ，AD =2a ，则A (3a ,2a )，
在Rt△OAD中，OD2+AD2=OA2，∴(3a)2+(2a)2=(3m)2，
∴13a2=78
5
，
∴a2=6
5
，
∴k=3a⋅2a=6a2=6×6
5=36
5
，
故选：D．
过点A作AD⊥x轴于点D，先由CM=2BM得到△COM的面积，然后得到正方形的面积，设BM=m，从而得到正方形的边长为3m，结合面积得到有关m的式子，然后通过“K型”相似得证△ODA∽△OCM，从而得到OD与OA的比值，进而设出点A的坐标，结合Rt△OAD，利用勾股定理得到点a的值，从而得到点A 的坐标，最后求出k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积、正方形的面积、相似三角形的判定与性质，准确设出对应量是解题的关键．
13.【答案】3m(m−2)
【解析】解：3m2−6m=3m(m−2)．
故答案为：3m(m−2)．
直接找出公因式进而提取公因式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14.【答案】110
【解析】解：∵AB//DE，
∴∠ABD+∠D=180°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵∠1=20°，
∴∠ABD=∠ABC−∠1=90°−20°=70°．
∴∠D=180°−∠ABD=180°−70°=110°．
故答案为：110．
根据平行线的性质得到∠ABD+∠D=180°，根据垂线的定义得到∠ABC=90°，由∠1=20°求出∠ABD，最后求出∠D的度数．
本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15.【答案】51人或59人
【解析】解：设八年级网络班级计划将全班同学分成x组，由题意得：
∵若每个小组8人，则还余3人，
∴该班人数为：8x+3，
∵若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，
根据题意得出不等式组：
{8x+3−9(x−1)>4
8x+3−9(x−1)<7，
解得：5<x<8，
∴该班可分为6组或7组，
∴该班有：6×8+3=51人，或7×8+3=59人，
故答案为：51人或59人．
设共分为x组，根据每个小组8人，则还余3人，每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，表示出该班人数以及不等式组，进而可求出班级人数．
此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据已知表示出该班人数进而得出不等式组是解决问题的关键．
16.【答案】1
2
【解析】解：如下图，设圆形水池与△ABC三边相切且切点分别为D，E，F，圆形水池的中心为O，
连接OD、OF、OE，
设CF=x m，则AD=AE=AC−DC=(8−x)m，BF=BE=BC−CF=(6−x)m，
由AB=AE+BE，得(6−x)+(8−x)=10，
解得x=2，
∵AC2+BC2=82+62=100，AB2=102=100，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∵D、F分别是圆O与AC和BC相切的切点，
∴∠ODC=∠OFC=90°，OD=OF，∴四边形DOFC是正方形，
即OD=CF=2m，
∴S△ABC=1
2AC×BC=1
2
×8×6=24(m2)，S圆O=π×22=12(m2)
∴落入水池的概率为12
24=1
2
，
故答案为：1
2
．
设圆形水池与△ABC三边相切且切点分别为D，E，F，圆形水池的中心为O，由切线长定理求出CF，再利用勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形，由圆的面积公式和直角三角形的面积公式可求出结果．本题主要考查勾股定理逆定理，切线长定理，熟练掌握勾股定理逆定理，切线长定理和圆的面积公式及三角形的面积公式是解题的关键．
17.【答案】m<t<n
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，
∵a<0<b<c，
∴点(a,m)在第三象限，点(b,n)和点(c,t)在第一象限，
∴m<t<n，
故答案为：m<t<n．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据a<0<b<c即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)(−2)0−3tan30°−|3−2|
=1−3×3
3
−(2−3)
=1−3−2+3
=3；
(2)(x+2−12
x−2)÷4−x
x−2
=x2−4−12
x−2⋅x−2 4−x
=(x+4)(x−4)
x−2⋅x−2 4−x
=−x−4，
当x=2−4时，原式=4−2−4=−2．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，
根据题意得：{3x+2y=65
2x+3y=60，
解得{x=15
y=10，
答：A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元；
(2)设购进A种零食m件，则购进B种零食(100−m)件，
∵进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，
∴{8m+5(100−m)≤656
(15−8)m+(10−5)(100−m)≥600，
解得50≤m≤52，
∵m为整数，
∴m可取50，51，52，
∴购进A、B两种零食有3种进货方案：
①购进A种零食50件，购进B种零食50件；
②购进A种零食51件，购进B种零食49件；
③购进A种零食52件，购进B种零食48件；
(3)设获利w元，
购进A种零食50件，购进B种零食50件，w=(15−8)×50+(10−5)×50=600(元)，
购进A种零食51件，购进B种零食49件，w=(15−8)×51+(10−5)×49=602(元)，
购进A种零食52件，购进B种零食48件，w=(15−8)×52+(10−5)×48=604(元)，
∵600<602<604，
∴购进A种零食52件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润是604元．
【解析】(1)设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，可得：{3x+2y=65
2x+3y=60，即可解得A 种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元；
(2)设购进A种零食m件，由进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，得
{8m+5(100−m)≤656
(15−8)m+(10−5)(100−m)≥600，可解得购进A、B两种零食有3种进货方案；
(3)分别算出每种方案的利润，比较即得购进A种零食52件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润是604元．
本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式组．
20.【答案】解：(1)∵点B(2,3)在反比例函数y=a
x
的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y=6
x
，
∵点A的纵坐标为6，
∵点A在反比例函数y=6
x
图象上，
∴A(1,6)，
∴{2k+b=3
k+b=6，
∴{k=−3
b=9，
∴一次函数的表达式为y=−3x+9；
(2)如图，①当∠OD1A=90°时，
设BC与AO交于E，则E(1
2
,3)，
∴AE=OE=D1E=37
2
，
∵E(1
2
,3)，
∴D1的坐标为(1+37
2
,3)；
②当∠OAD2=90°时，
可得直线AD2的解析式为：y=−1
6x+37
6
，
当y=3时，x=19，
∴D2的坐标为(19,3)，
综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为(1+37
2
,3)或(19,3)
【解析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)分两种情形分别讨论求解即可解决问题．
此题主要考查了反比例函数综合题、待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定和性质，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
21.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°，
∴2(∠ABD+∠ADB)=180°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°−90°=90°；
(2)解：∵∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE=∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠AED=90°，
∵∠BAD=90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD=CD，
∵AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=1
∠ADC=30°，
2
∵CF//AD，
∴∠F+∠BAD=90°，
∴∠F=90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠FBC+∠ABC=180°，
∴∠FBC=∠ADC=60°，
∴BC=2BF=4，
∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，
BD，
∴BC=1
2
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【解析】(1)由圆周角定理得到∠BAC=∠CDB，而∠BAC=∠ADB，因此∠ADB=∠CDB，得到BD平分
∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB=90°，即可求出∠BAD=90°；
∠ADC=30°，由平(2)由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC=60°由BD⊥AC，得到∠BDC=1
2
行线的性质求出∠F=90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC=∠ADC=60°，得到BC=2BF=4，由直角
BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．
三角形的性质得到BC=1
2
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB=90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形．
22.【答案】解：(1)如图1，连接BD，
∵AB=AD，故∠ABD=∠ADB，
而∠ABC=ADC，
∴∠CBD=∠CBA−∠ABD=∠ADC−∠ADB=∠CDB，
∴BC=CD；
(2)将△ABE围绕点A旋转到ADEG的位置(点G、E为对应点)，
则AE=AG，∠GAD=∠BAE，BE=GD，
∵2∠EAF=∠BAD，则∠DAF+∠BAE=∠FAE，
∴∠GAF=∠GAD+∠DAF=BAE+∠DAF=∠FAE，∵AF=AF，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=GF=FD+GD=FD+BE；
(3)在四边形ABCD中，∠BAD=180°−α，
∵2∠EAF=∠BAD，则∠EAF=1
2(180°−α)=90°−1
2
α，
∴△AFE≌△AFG知，∠GFA=∠EFA，∠G=∠AEF，①当AE=EF时，
则∠AEF=∠AFE=1
2(180°−∠EAF)=1
2
(180°−90°+1
2
α)=45°+α
4
=∠GFA，
则∠GFE=2∠GFA=2(45°+α
4
)=∠C+∠CEF=α+∠CEF，
∴∠CEF=90°−1
2
α；
②当AE=EF时，
则∠AFE=∠EAF=90°−1
2α=1
2
∠GFE=1
2
(∠C+∠FEC)，
∴∠FEC=180°−α；
③当AF=EF时，
则∠AEF=∠EAF=90°−1
2
α，
则∠EAF=180°−2∠AEF=180°−2(90°−1
2α)=α=1
2
∠GFE=1
2
(∠C+∠FEC)=1
2
(α+∠FEC)，
∴∠FEC=α，
综上，∠CEF为90°−1
2
α或180°−α或α．
【解析】(1)AB=AD，故∠ABD=∠ADB，而∠ABC=ADC，故
∠CBD=∠CBA−∠ABD=∠ADC−∠ADC=∠CDB，即可求解；
(2)证明△AFE≌△AFG(SAS)，即可求解；
(3)分AE=EF、AE=EF、AF=EF三种情况，利用等腰三角形的性质和外角的性质即可求解．
本题是四边形综合题，考查了三角形全等、等腰三角形的性质、外角的性质、图象的旋转等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．
23.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(4,0)代入y=ax2+2x+b，
∴{a−2+b=0
16a+8+b=0，
解得{a=−23b=83，
∴y=−2
3x2+2x+8
3
；
(2)令x=0，则y=m，∴D(0,m)，
∵P点的横坐标为t，
∴P(t,−2
3t2+2t+8
3
)，
令y=0，则x=8
3
，
∴C(0,8
3
)，
∴d=8
3
−m，
设直线PD的解析式为y=kx+b，∴{tk+b=−23t2+2t+83
b=m
，解得{k=−23t+2+83−m t
b=m
，
∴y=(−2
3t+2+
8
3
−m
t
)x+m，
∴−2
3t+2+
8
3
−m
t
=1，
∴m=−2
3t2+t+8
3
，
∴d=2
3
t2−t；
(3)如图，
设PD的垂直平分线交y轴于Q，连接PQ，作PG⊥OF于G，过N点作NH⊥QP，交QP的延长线于H，HN交x 轴于R，连接ON，作DT⊥OP于T，
∴PQ=DQ，
∵y=x+m与y轴所成的锐角∠PDQ=45°，
∴∠QPD=∠PDQ=45°，
∴∠PQD=90°，
∴PQ//x轴，
∵QF⊥PD，
∴∠DQF=∠PDF=1
2
∠PQD=45°，
∵∠QOF=90°，
∴OF
OQ
=tan∠DQF=tan45°=1，
∴OQ=OF，
∵∠PQO=∠PGO=∠QOG=90°，
∴四边形PQOG是矩形，
∴PG=OQ，
∴PG=OF，
∵PG//OQ，
∴∠DPG=∠PDQ=45°，
∵cos∠GPM=PG
PM =OF
PM
，cos∠OPD=OF
PM 
，
∴∠GPM=∠OPD，
∴∠GPM+∠OPG=∠OPD+∠OPG，
∴∠OPM=∠DPG=45°，
∴∠OPM=OQF=45°，
∴点Q、O、N、P共圆，
∴∠ONP+∠PQO=180°，
∵∠PQO=90°，
∴∠ONP=90°，
∴△PON是等腰直角三角形，∠PNH+∠ONR=90°，∴PN=ON，
∵∠H=∠NRO=90°，
∴∠PNH+∠NPH=90°，
∴∠NPH=∠ONR，
∴△PNH≌△NOR(AAS)，
∴PH=NR，
∵PQ//OF，
∴△PHN∽△MRN，
∴RM PH =MN
PN
，
∵PN=3MN，
∴RM PH =1
3
，
∴RM NR =1
3
，
即tan∠MNR=1
3
，
∵RN//PG，
∴∠MPG=∠MNR，∴∠OPD=∠MNR，
∴tan∠OPD=1
3
，
∵DT 
PT =tan∠OPD=1
3
，
设DT=n，PT=3n，
∴PD=DT2+PT2=10n，
∴PQ=DQ=2
2PD=2
2
×10n=5n，
设OT=k，则OD=DT2+OT2=n2+k2，由△ODT∽△OPQ得，
OT OQ =DT
PQ
，
∴
k
5n+n2+k2
=
n
5n
，
∴k=2n，
∴PQ OQ =DT 
OT
=1
2
，
∴y P
x P
=2，
∴−2
3x2+2x+8
3
=2x，
∴x1=2，x2=−2(舍去)，
∴P(2,4)，
把x=2，y=4代入y=x+m得，
m=2．
【解析】(1)将点A(−1,0)，B(4,0)代入y=ax2+2x+b，即可求解；
(2)由题意可得t+m=−2
3t2+2t+8
3
，则y=x−2
3
t2+t+8
3
，求出D(0,−2
3
t2+t+8
3
)，即可求解；
(3)设PD的垂直平分线交y轴于Q，连接PQ，作PG⊥OF于G，过N点作NH⊥QP，交QP的延长线于H，HN 交x轴于R，连接ON，作DT⊥OP于T，可证得△QPD和△FOQ是等腰直角三角形，可证得
∠MPG=∠OPD，进而得出∠OPM=∠OQN=45°，从而得出点P、Q、O、N共圆，从而得出∠PNO=90°，从而得出△PON是等腰直角三角形，进而证得△PNH≌△NOR，△PNH∽△MNR，进一步得出
RM NR =1
3
，进而得出tan∠POQ=1
2
，进一步得出结果．
本题考查了求二次函数及一次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，确定圆的条件，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是通过角的转化，确定四点共圆，从而发现等腰直角三角形．。