2022年高考数学试卷(理)(全国甲卷)(解析卷)

绝密★启用前
2022年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1
若1z =-+，则1z
zz =
-（ ）
A
1-+
B. 1-
C. 13-
+
D. 13-
-【答案】C 【解析】
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】1(1113 4.
z zz =-=-+-=+
=113z zz ==--故选 ：C
2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
.
.
则（ ）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B 【解析】
【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为
70%75%
70%2
+>,所以A 错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%20%-=，
讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错.故选:B.
3. 设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{
}
2
{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B È=ð（ ）
A. {1,3}
B. {0,3}
C. {2,1}
- D. {2,0}
-【答案】D
【解析】
【分析】解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，{}
{}2
=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B È=-,
所以(){}U 2,0A B È=-ð.故选：D.
4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
【答案】B 【解析】
【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，
则该直四棱柱的体积24
22122
V +=´´=.故选：B.
5. 函数(
)33
cos x x
y x -=-在区间ππ,22éù-êúë
û的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()(
)33
cos ,,22x
x
f x x x p p -éù=-Î-êúëû
，则()(
)()()()3
3cos 33cos x
x x x f x x x f x ---=--=--=-，
所以()f x 为奇函数，排除BD ；
又当0,2x p æöÎç÷èø
时，330,cos 0x x
x -->>，所以()0f x >，排除C.
故选：A.
6 当1x =时，函数()ln b
f x a x x
=+
取得最大值2-，则(2)f ¢=（ ）A. 1- B. 12
-
C.
12
D. 1
【答案】B 【解析】
【分析】根据题意可知()
12f =-，()10f ¢=即可解得,a b ，再根据()f x ¢即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,¥+，所以依题可知，()
12f =-，()10f ¢=
，而
.
()2a b
f x x x ¢=
-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x
¢=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+¥上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()11
2122
f ¢=-+
=-．故选：B.
7. 在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30°，则（ ）A. 2AB AD = B. AB 与平面11AB C D 所成的角为30°C. 1AC CB = D. 1B D 与平面11BB C C 所成的角为45°
【答案】D 【解析】
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：
不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角为
1B DB Ð，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A Ð，所以11sin 30c b B D B D
=
=o
，即b c =，
12B D c ==，解得a =．
对于A ，AB a =，AD b =，AB =
，A 错误；
对于B ，过B 作1BE AB ^于E ，易知BE ^平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE Ð，
因为tan c BAE a Ð=
=
30BAE йo ，B 错误；
对于C
，AC =
=
，1CB ==，1AC CB ¹，C 错误；
对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C Ð
，11sin 2CD a DB C B D c Ð=
==1090DB C <Ð<o ，所以145DB C Ð=o ．D 正确．
故选：D ．
8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ^．“会圆术”给出 AB 的弧
长的近似值s 的计算公式：2
CD s AB OA
=+．当2,60OA AOB =Ð=°时，s =（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ^，
又CD AB ^，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ===，又60AOB Ð=°，所以2AB OA OB ===
，
则OC =
2CD =所以
2
2CD s AB OA
=+==
故选：B .
9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为
V 甲和V 乙．若
=2S S 甲乙，则=V
V 甲乙
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
【分析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，根据圆锥的侧面积公式可得
122r r =，再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的
体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，则
1122
2S rl r
S r l r p p ===甲乙，所以122r r =，又
12
222r r l l
p p p
+=，
则
12
1r r l
+=，所以1221
,33
r l r l ==，
所以甲圆锥的高1h =
=，
乙圆锥的高2h =
=，
所以
211
222
1313r h V V r h p p ===甲乙故选：C.
10. 椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ
的斜率之积为
1
4
，则C 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
12
D.
13
【答案】A 【解析】
【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122
11
4
y x a =-+，再根据22
11221x y a b
+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解法1：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由1
4
AP AQ
k k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由22
11221x y a b +=，得()2221212
b a x y a
-=，
所以
()
22212
22
114
b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C
的离心率c e a === A.
解法2：第三定义
设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故1
4AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-
，由椭圆第三定义得：2
2PA AQ
b k k a
⋅=-，
故2214
b a =所以椭圆C
的离心率c e a === A.
11. 设函数π()sin 3f x x w æö
=+
ç÷è
ø
在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则w 的取值范围是（ ）A. 513,36ö
é÷êëø B. 519,36éö
÷êëø
C. 138,63æù
ç
úè
û D. 1319,66æù
ç
úè
û【答案】C 【解析】
【分析】由x 的取值范围得到3
x p
w +
的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得0>w ，因为()0,x p Î，所以,333x p
p
p w wp æö+
Î+ç÷èø
，要使函数在区间()0,p 恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x p p æö
Îç
÷èø
的图象如下所示：
则
5323p p wp p <+£，解得13863w <£，即138,63w æùÎçúèû
．故选：C ．
12. 已知3111
,cos ,4sin 3244
a b c ===，则（ ）A. c b a >> B. b a c
>> C. a b c
>> D. a c b
>>【答案】A 【解析】
【分析】由
14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数()()21
cos 1,0,2
f x x x x ¥=+-Î+,利用导数可得b a >,即可得解.【详解】解法1：构造函数因为当π0,,tan 2x x x æö
Î<ç÷è
ø
故
14tan 14
c b =>，故1c
b >，所以
c b >；
设2
1()cos 1,(0,)2
f x x x x =+
-Î+¥，()sin 0f x x x ¢=-+>，所以()f x 在(0,)+¥单调递增，故1(0)=04f f æö
>ç÷èø
，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A 解法2：不等式放缩
因为当π0,,sin 2x x x æ
öÎ<ç÷èø
，取18x =得：2211131cos 12sin 1248832
æö=->-=ç÷èø，故b a
>1114sin cos 444ϕæö+=+ç÷èø，其中0,2p ϕæöÎç÷èø
，且sin ϕϕ==
当114sin cos 44+=142p ϕ+=，及124
p ϕ=-
此时1sin cos 4ϕ==
，1cos sin 4ϕ==
故1cos 4
=11sin 4sin 44<=<，故b c <所以b a >，所以c b a >>，故选A
解法3：泰勒展开
设0.25x =，则2310.251322a ==-，24
10.250.25cos 1424!
b =»-+，241sin 10.250.2544sin
1143!5!
4c ==»-+，计算得c b a >>，故选A.解法4：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x æöÎ<<ç÷èø，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2
f x x x x =+-Î+¥，()sin 0f x x x ¢=-+>，所以()f x 在(0,)+¥单调递增，则1(0)=04f f æö>ç÷èø
,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．
解法5：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x æöÎ<<ç÷èø，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x æöÎ<ç÷èø，取18x =得2211131cos 12sin 1248832
æö=->-=ç÷èø，故b a >，所以c b a >>．
故选：A ．
【整体点评】法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x æ
öÎ<<ç÷èø
放缩，即可得出大小关系，属于最优解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设向量a r ，b r 的夹角的余弦值为13，且1a =r ，3b =r ，则()
2a b b +⋅=r r r _________．【答案】11
【解析】
【分析】设a r 与b r 的夹角为q ，依题意可得1cos 3
q =，再根据数量积的定义求出a b ⋅r r ，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设a r 与b r 的夹角为q ，因为a r 与b r 的夹角的余弦值为13，即1cos 3q =，又1a =r ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b q ⋅=⋅=´´=r r r r ，所以()
22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=´+=r r r r r r r r ．故答案为：11．
14. 若双曲线2
2
21(0)x y m m -=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．
【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()2
2
210x y m m -=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2
221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=
的距离1d ==，
解得m =
或m =．
．15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】
635
.【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035
m P n ===．故答案为：635
．16. 已知ABC V 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD Ð=°==．当AC AB
取得最小值时，BD =________．
1-
##-【解析】
【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出2
2AC AB
后，结合基本不等式即可得解.【详解】方法1：（余弦定理）
设220CD BD m ==>，
则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅Ð=++，
在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅Ð=+-，所以()()()2222224421214441243424211
m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++
44
³=-
，
当且仅当
3
1
1
m
m
+=
+
即1
m=-时，等号成立，
所以当
AC
AB
取最小值时，1
m=.
1.
方法二2：（建系法）
令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0）
，A（1），B（-t,0）
()
(
)(
)
2
22
2
22
21344412
44
3
24
131
1
11
t
AC t t
AB t t
t t
t
t BD
-+-+
\===-³-
++
++++
+
+==-
当且仅当即时等号成立。

方法三3：（余弦定理）
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
22
22
42
444
c x x
b x x
ì=++
í
=+-
î
，222
2126
c b x
\+=+，
22
22
42
444
c x x
b x x
ì=++
í
=+-
î
，222
2126
c b x
\+=+，
令
AC t AB
=，则22222126c t c x +=+，(
)222221261262261632411x x t c x x x x æöç÷++\+===-³-ç÷++ç÷+++èø
，24t \³-当且仅当311
x x +=+
，即1x =时等号成立.解法4：基本不等式
设BD x =，则2CD x
=在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB x x =+-⋅Ð=++，
在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC x x =+-⋅Ð=+-，
所以()()()2222224421214441243424211
x x x AC x x AB x x x x x x ++-++-===-+++++++
44³=-，
当且仅当311x
x +=
+即1x =-时，等号成立，
所以当AC AB
取最小值时，
1x =-，即1BD =.解法5：判别式法
设BD x =，则2CD x
=在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB x x =+-⋅Ð=++，
在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC x x =+-⋅Ð=+-，
所以222244442AC x x AB x x +-=++，记2244442x x t x x
+-=++，则()()()2
442440t x t x t --++-=由方程有解得：()()()2
4244440
t t t ∆=+---³即2840t t
-+£
，解得：44t -££+
所以min 4t =-
，此时214t x t +=
=--所以当AC AB
取最小值时，1x =-
，即1BD =.解法6：
设220CD BD m ==>，
则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅Ð=++，
在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅Ð=+-，所以()()()2222224421214441243424211
m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++
44³=-，
当且仅当311m m
+=
+即1m =-时，等号成立，
所以当AC AB
取最小值时，1
m =.1.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分．
17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知
221n n S n a n
+=+．
（1）证明：{}n a 是等差数列；
（2）若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）78-．
【解析】
【分析】（1）依题意可得2
22n n S n na n +=+，根据11,1,2n n n S n a S S n -=ì=í-³î，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【小问1详解】因为221n n S n a n
+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ³时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，
①-②得，()()()2
2112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，
即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，
即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ³且N*n Î，
所以{}n a 是以1为公差的等差数列．
【小问2详解】
[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，
又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，
即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()2
2112512562512222228n n n S n n n n -æö=-+=-=--ç÷èø，所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，
的
又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2
749a a a =⋅，
即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，
所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=L .
则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
18. 在四棱锥P ABCD -中，PD ^底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．
（1）证明：BD PA ^；
（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2.【解析】
【分析】（1）作DE AB ^于E ，CF AB ^于F ，利用勾股定理证明AD BD ^，根据线面垂直的性质可得PD BD ^，从而可得BD ^平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【小问1详解】
证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ^于E ，CF AB ^于F ，
因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====，
所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12
AE BF ==，
故DE =
，BD ==所以222AD BD AB +=，
所以AD BD ^，
因为PD ^平面ABCD ，BD Ì平面ABCD ，
所以PD BD ^，
又PD AD D Ç=，
所以BD ^平面PAD ，
又因为PA Ì平面PAD ，
所以BD PA ^；
【小问2详解】
解：如图，以点D
为原点建立空间直角坐标系，
BD =，
则(
)(
)(1,0,0,,A B P ，
则(
(
(,0,,AP BP DP =-==uuu r uuu r uuu r ，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =r ，
则有
{n AP n BP ⋅⋅uuu r r uuu r r
，可取
)n =r ，则cos ,n r uuu 所以PD 与平面PAB
19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】（1）0.6；
E X=.
（2）分布列见解析，()13
【解析】
A B C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,,
利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．【小问1详解】
A B C，所以甲学校获得冠军的概率为
设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,,
()()()()
P P ABC P ABC P ABC P ABC
=+++
=´´+´´+´´+´´
0.50.40.80.50.40.80.50.60.80.50.40.2
=+++=．
0.160.160.240.040.6
【小问2详解】
依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，
()00.50.40.80.16
P X==´´=,
()100.50.40.80.50.60.80.50.40.20.44P X ==´´+´´+´´=，()200.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34P X ==´´+´´+´´=，()300.50.60.20.06P X ==´´=.
即X 的分布列为
X
0102030P
0.16
0.44
0.34
0.06
期望()00.16100.44200.34300.0613E X =´+´+´+´=.
20. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．（1）求C 的方程；
（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,a b ．当a b -取得最大值时，求直线AB 的方程．【答案】（1）24y x =；
（2）:4AB x =+.
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义可得=2
p
MF p +
，即可得解；（2）法一：设点的坐标及直线:1MN x my =+，由韦达定理及斜率公式可得2MN AB k k =，再由差角的正
切公式及基本不等式可得AB k =，设直线:AB x n =+，结合韦达定理可解.【小问1详解】抛物线的准线为2
p
x =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32
p
MF p +
=，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；【小问2详解】
[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设2222
31241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y æöæöæöæö
ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøè
øèø，直线:1MN x my =+，
由214x my y x
=+ìí=î可得2440y my --=，120,4y y ∆>=-，由斜率公式可得
12221212444MN y y k y y y y -=
=+-，3422
34344
44
AB y y k y y y y -==+-，直线11
2:2x MD x y y -=
⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=，
130,8y y ∆>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，
所以()341244
22
MN
AB k k y y y y =
==++又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,a b ，所以tan tan 22
MN AB k k a
b ===，若要使a b -最大，则0,
2p b æö
Îç÷èø
，设220MN AB k k k ==>，则(
)2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k a b a b a b --=
==£=
+++，当且仅当
12k k =
即k =所以当a b -
最大时，AB k =
，设直线:AB x n =+，
代入抛物线方程可得240y n --=，
34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =，
所以直线:4AB x =
+.
[方法二]：直线方程点斜式由题可知，直线MN 的斜率存在.
设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y A x y B x y ,直线():1MN y k x =-由 2
(1)4y k x y x
=-ìí
=î得：()2222
4440k x k x k -++=，124x x =,同理，124y y =-.
直线MD :1
1(2)2
y y x x =
--,代入抛物线方程可得：134x x =，同理，244x x =.代入抛物线方程可得:138y y =-,所以322y y =，同理可得412y y =，
由斜率公式可得：
()()21432143212121
.22
114AB MN y y y y y y k k x x x x x x ---=
===--æö-ç÷èø
（下同方法一）若要使a b -最大，则0,
2p b æö
Îç÷èø
，设220MN AB k k k ==>，则
(
)2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k a b a b a b --=
==£=
+++当且仅当
12k k =
即k =所以当a b -
最大时，AB k =
，设直线:AB x n =+，
代入抛物线方程可得240y n --=，34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =
，所以直线
:4AB x =+.
[方法三]：三点共线
设2222
31241234,,,,,,,4444
y y y y M y N y A y B y æöæöæöæö
ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，
设(),0P t ,若 P 、M 、N 三点共线，由221
212,,44y y t y t PM PN y æöæö=-=-ç÷ç÷èøèøuuuu r uuu r ，所以22
122144y y t y t y æöæö
-=-ç÷ç÷èøèø
，化简得124y y t =-，反之，若124y y t =-,可得MN 过定点(),0t 因此，由M 、N 、F 三点共线，得124y y =-， 由M 、D 、A 三点共线，得138y y =-， 由N 、D 、B 三点共线，得248y y =-，则3412416y y y y ==-，AB 过定点（4,0）
（下同方法一）若要使a b -最大，则0,
2p b æö
Îç÷èø
，设220MN AB k k k ==>，则
(
)2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k a b a b a b --=
==£=
+++当且仅当
12k k =
即k =所以当a b -
最大时，AB k =
，所以直线:4AB x =+.【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线,MN AB 的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
21. 已知函数()ln x f x x a x
x e -=+-．
（1）若()0f x ³，求a 的取值范围；
（2）证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．【答案】（1）(,1]e -¥+ （2）证明见的解析【解析】
【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为1
e 11e 2ln 02x x x x x x x éù
æö---->ç÷êúèøë
û，再利用导数即可得证.【小问1详解】解法1：常规求导
()f x 的定义域为(0,)+¥，则
2111()1x f x e x x x æ
ö¢=--+ç÷èø1111111x x x e e x x x x x æö-æöæö=-+-=+ç÷
ç÷ç÷èøèøèø
令()0f x =,得1
x =当(0,1),()0,()x f x f x ¢Î<单调递减
当(1,),()0,()x f x f x >¢Î+¥单调递增()(1)1f x f e a ³=+-，若()0f x ³,则10e a +-³,即1a e £+所以a 的取值范围为(,1]e -¥+解法2：同构处理
由()0f x ³得：ln ln 0
x x e x x a -++--³令ln ,1t x x t -=³，则()0t
f t e t a =+-³即t a e t
£+令()[),1,t
g t e t t =+Î+¥，则()'10
t
g t e =+>故()t
g t e t =+在区间[)1,+¥上是增函数
故()()min 11g t g e ==+，即1a e £+所以a 的取值范围为(,1]
e -¥+小问2详解】解法1：构造函数
由题知,()f x 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设121x x <<要证121x x <,即证12
1x x <
因为12
1
,
(0,1)x x Î,即证()121f x f x æö>ç÷èø
又因为()()12f x f x =,故只需证()221f x f x æö
>ç
÷èø
即证1
1ln ln 0,(1,)
x x e x x xe x x x x -+--->Î+¥即证1
112ln 02x x e xe x x x x éù
æö---->ç÷êúèøë
û【
下面证明1x >时，1
110,ln 02x x e xe x x x x æö->--<ç÷èø
设1
1(,)x
x e g xe x
x x =>-，
则111
22111111()11x x x x
x g x e e xe e e x x x x x x æöæöæöæöæö¢=--+⋅-=---ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèøèø11111x x
x x
e x e e e x x x x æöæö-æö=--=-ç÷ç÷
ç÷èøèøèø
设()()()221111,0
x x x
e x x x x e e x x x x ϕϕ-æö=>=-=>ç÷¢èø
所以()()1x e ϕϕ>=,而1
x e e
<所以1
0x
x e e x
->,所以()0
g x ¢>所以()g x 在(1,)+¥单调递增
即()(1)0g x g >=,所以1
x
x e xe x
->令11()ln ,12h x x x x x æö=-
->ç÷èø
22
222
11121(1)()10222x x x h x x x x x
----æö¢=-+==<ç÷èø所以()h x 在(1,)+¥单调递减即()(1)0h x h <=,所以11ln 02x x x æö
-
-<ç÷èø
；综上, 1
112ln 02x x e xe x x x x éù
æö---->ç÷êúèøë
û,所以121x x <.解法2：对数平均不等式
由题意得：()ln x x
e e
f x a
x x
=+-令1x
e t x
=>，则()ln f t t t a =+-，()1'10
f t t =+>
所以()ln f t t t a =+-在()1,+¥上单调递增，故()0f t =只有1个解
又因为()ln x x
e e
f x a x x
=+-有两个零点12,x x ，故1212x x e e t x x ==两边取对数得：1122ln ln x x x x -=-，即
12
12
1
ln ln x x x x -=-
()12
12
*ln ln x x x x -<
-
1<，即121
x x <
()
12
12
*ln ln x x x x -<
-
12112122ln ln ln ln ln x x x
x x x x x -<
⇔-<⇔<
--
不妨设1t =
>，则只需证1
2ln t t t <-构造()12ln ,1h t t t t t =-+>，则()2
2211'110
h t t t t æö=--=--<ç÷èø
故()12ln h t t t t
=-+在()1,+¥上单调递减故()()10h t h <=，即1
2ln t t t
<-得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
11()ln 2h x x x x æö
=--ç÷èø
这个函数经常出现，需要掌握
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为x y ì
=ï
íï=î（t 为参数），曲线2C
的参数方程为
x y ì=ï
í
ï=î
s 为参数）．
（1）写出1C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0q q -=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．
【答案】（1）()2
620y x y =-³；
（2）31,C C 的交点坐标为1,12æö
ç÷èø，()1,2，32,C C 的交点坐标为1,12æö--ç÷èø
，()1,2--．【解析】
【分析】(1)消去t ，即可得到1C 的普通方程；
(2)将曲线23,C C 的方程化成普通方程，联立求解即解出．【小问1详解】
因为26t x +=
，y =，所以226
y x +=，即1C 的普通方程为()2
620y x y =-³．
【小问2详解】
因为2,6
s
x y +=-
=，所以262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--£，由2cos sin 02cos sin 0q q r q r q -=Þ-=，即3C 的普通方程为20x y -=．
联立()262020y x y x y ì=-³í-=î，解得：121x y ì
=ïíï=î
或12x y =ìí
=î，即交点坐标为1,12æöç÷èø，()1,2；联立()262020y x y x y ì=--£í-=î，解得：121x y ì
=-ïíï=-î
或12x y =-ìí
=-î，即交点坐标为1,12æö--ç÷èø，()1,2--．[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：（1）23a b c ++£；（2）若2b c =，则
11
3a c
+³．【答案】（1）见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）方法一：根据()2
2
2
2
2
2
42a b c a b c ++=++，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得043a c <+£，即可得到11
43
a c ³+，再根据权方和不等式即可得证.
【小问1详解】
[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有()(
)
()2222222
21112a b c a b c éù++++³++ë
û，
所以23a b c ++£，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++£.[方法二]：基本不等式
由222a b ab +³，2244b c bc +³，2244a c ac +³，
()
()
2
22222224244349a b c a b c ab bc ac a b c ++=+++++£++=，
当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++£.【小问2详解】
证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由（1）得243a b c a c ++=+£，即043a c <+£，所以
11
43
a c ³+，
由权方和不等式知()2
22
12111293444a c a c a c a c
++=+³
=³++，当且仅当
12
4a c =，即1a =，12
c =时取等号，所以
11
3a c
+³.【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；
方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．。