专题 反比例函数中的等腰直角三角形

专题02反比例函数中的等腰直角三角形
1．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将直线3y x =-向上平移3个单位，与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ．若反比例函数k y x
=(0)x >的图象经过点C ，则k 的值为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
2．（2022春·九年级课时练习）如图，点A 在反比例函数()20=
>y x x 的图像上，以OA 为一边作等腰直角三角形OAB ，其中∠OAB =90°，AO AB =，则线段OB 长的最小值是（）
A ．1B
C ．
D ．4
3．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，OAC 和BAD 都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数16y x =在第一象限的图象经过点B ，则OAC 与BAD 的面积差为（）．
A ．32
B ．16
C ．8
D ．4
4．（2022秋·湖南怀化·九年级溆浦县第一中学校考期中）如图，OAC 和BAD 都是等腰直角三角形，
90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数(0)k y k x
=≠在第一象限的图象经过点B ．若2212OA AB -=，则k 的值为（）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5．（2022秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）如图，OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数()30y x x
=>的图象上，则经过点A 的函数图象表达式为_________．
6．（2022春·九年级课时练习）如图，把一个等腰直角三角形ACB 放在平面直角坐标系中，∠ACB ＝90°，点C (﹣2,0)，点B 在反比例函数k y x
=的图象上，且y 轴平分∠BAC ，则k 的值是________．
7．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，且∠A ＝∠C ＝90°，点B 、D 都在x 轴上，点A 、C 都在反比例函数y ＝
1x
（x ＞0）的图象上，则点C 的横坐标为________．
8．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知点A 是一次函数()103
y x x =≥图象上一点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上一点(B 在A 上方)，在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，反比例函数(0)k y x x
=>的图象过点B ，C ，若OAB 的面积为12，则ABC 的面积是______．
9．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，已知点A 在反比例函数y ＝k x
（x ＜0）上，B ，C 两点在x 轴上，△ABC 是以AC 为底边的等腰直角三角形，过点B 作BD ⊥AC 交y 轴于点E ，交AC 于点D ，若△BCE 的面积为3，则k 的值为_____．
10．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC 的斜边AB x ⊥轴于点A ，经过点B 的反比例函数()0,0k y k x x
=>>的图象交边AC 于点D ，连接OB ，OC ．若点D 是AC 中点，OBC △的面积为1，则k 的值是______．
11．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO 的直角顶点A 在第二象限，以AB 为边在AB 的左侧作菱形ABCD ，满足BC x ∥轴，过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，12AE DE =，反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点E ，与BC 边交于点F ，分别连接EF ，OE ，OF ．若196EOF S =△，则k 的值为__________．
12．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3…是分别以A 1，A 2，A 3…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C 1，C 2，C 3…均在反比例函数y 1x
=
（x ＞0）的图象上，则点A 2021的坐标为________．
13．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线
1
2
y x b
=-+过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例函数在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形，请求出点P的坐标．
14．（2022春·河南新乡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点B ，D 分别在反比例函数()60y x x =-<和()0,0k y k x x
=>>的图象上，AB x ⊥轴于点A ，DC x ⊥轴于点C ，O 是线段AC 的中点，3AB =，2DC =．
(1)求反比例函数k y x
=的表达式；(2)连接BD ，OB ，OD ，求ODB △的面积；
(3)P 是线段AB 上的一个动点，Q 是线段OB 上的一个动点，试探究是否存在点P ，使得APQ △是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，AOB 为等腰直角三角形，斜边OB 在x 轴上，一次函数34y x =-的图像经过点A ，交y 轴于点C ，反比例函数k y x
=（0x >）的图像也经过点A ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过O 点作OD AC ⊥于D 点，求22CD AD -的值；
（3）若点P 是x 轴上的动点，点Q 在反比例函数的图像上使得PAQ △为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．
16．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图所示，反比例函数y
m
x
（m≠0）的图象与一次函数y＝kx＋b（k≠0）
的图象交于A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．
(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y
轴上，D 是BC 的中点，过点D 的反比例函数()0k
y x x =>的图象交AB 于点E ，连接DE ．若5OD =，3cos 5
COD ∠=．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P 在x 轴上，且以P ，A ，E 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P 点坐标．
18．（2022·山东泰安·统考二模）如图，正比例函数
1
2
y x
=的图象与反比例函数()0
k
y k
x
=≠的图象交于A(a，-2)、
B两点．
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标．
(2)点P为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果POC 的面积为3，求点P的坐标．
(3)点E在y轴上，反比例函数图象上是否存在一点F，使BEF是以∠F为直角的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．（河南省南阳市南召县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE．
【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝4
3
x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线
l2，求直线l2的函数表达式；
【拓展探究】（3）如图三，一次函数
48
3
y x
=+的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数(0)
k
y x
x
=<
的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值
．
11。