新课标高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)(十五)

新课标选修2-2高二数学理导
数测试题
一．选择题
(1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 ( D )
A ．),2(+∞
B ．)2,(-∞
C ．)0,(-∞
D ．（0，2） （2）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A ．34y x =-
B 。

32y x =-+
C 。

43y x =-+ D 。

45y x =- a
(3) 函数y ＝a x 2
＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( )
A ． 18
B ．41
C ．2
1
D ．1
(4) 函数,93)(2
3-++=x ax x x f 已知
3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 (5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的
倾斜角小于4
π
的点中，坐标为整数的点
的个数是 ( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
（6）函数3
()1f x ax x =++有极值的充要条件
是 （ ）
A ．0a >
B ．0a ≥
C ．0a <
D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大
值是（ ）
A ． 12
B ． -1
C ．0
D ．1
（8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ）
A 、0
B 、1002
C 、200
D 、
100！
（9）曲线313y x x =+在点413⎛⎫
⎪⎝⎭
，处的切线与
坐标轴围成的三角形面积为（ ）
Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13
Ｄ．2
3
二．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3
＋3x －5相切的直线方程是 。

（2）．设 f ( x ) = x 3－2
1x 2
－2x ＋5，当
]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 .
（3）．函数y = f ( x ) = x 3
＋ax 2
＋bx ＋a 2
，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。

（4）．已知函数32()45f x x bx ax =+++在3
,12x x ==-处有极值，那么a = ；b = （5）．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个
极值点，则实数a 的取值范围是 （6）．已知函数32()33(2)1f x x ax a x =++++
既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是
（7）．若函数32()1f x x x mx =+++ 是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是
（8）．设点P 是曲线3
2
33+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 。

三．解答题
1．已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方
程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的
解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.
2．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.
（Ⅰ）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程.
3．已知函数323
()(2)632f x ax a x x =-++-
（1）当2a >时，求函数()f x 极小值；（2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。

4
已
知
1x =是函数
32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值
点，其中,,0m n R m ∈<，
（I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；
（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.
5．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．
6．已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,
又.2
3)21(='f
(Ⅰ)求)(x f 的解析式;(Ⅱ)若在区间],0[m (m ＞0)上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围.
7．设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．
（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．
参考解答 一．BBDDD CDDA 二．1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、
18,3-- 5、(,0)-∞ 6、1
,)3
⎡+∞⎢⎣7、
(,1)(2,)-∞-⋃+∞ 8、),32[]2,0[ππ
π
三．1．解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2
）
，
知
d=2
，
所
以
,2)(23+++=cx bx x x f .
23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是
76=+-y x 知
.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,
32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .
233)(23+--=x x x x f （2）
.012,0363.363)(2
22=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当
;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当
.
0)(,2121<'+<<-x f x 时故
)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函
数，在)21,21(+-内是减函数，在
),21(+∞+内是增函数.
2．（Ⅰ）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即
⎩⎨
⎧=--=-+.
0323,
0323b a b a 解得0,1==b a .
∴
)
1)(1(333)(,3)(23-+=-='-=x x x x f x x x f .
令0)(='x f ，得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈ x ，则
0)(>'x f ，
故)(x f 在)1,(--∞上是增函数，
)(x f 在),1(∞+上是增函数.
若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故
)(x f 在)1,1(-上是减函数.
所以，2)1(=-f 是极大值；
2)1(-=f 是极小值.
（Ⅱ）解：曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上.
设切点为),(00y x M ，则点M 的
坐标满足03
03x x y -=. 因)1(3)(2
0-='x x f ，故切线的方程为))(1(302
00x x x y y --=-
注意到点A （0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030
x x x x --=-- 化简得83
-=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线
方程为0169=+-y x .
3．解：（1）
'22
()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a
=-++=--()f x 极小值为(1)2
a
f =- （2）①若0a =，则2()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02
a
f =-
>，()f x 的极小值为2
()0f a <，
()f x ∴的图像与x 轴有三个交点；
③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点；
④若2a =，则'2()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的
图像与x 轴只有一个交点；
⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为
22133
()4()044f a a =---<，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；
综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。

4．解(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,
所
以
(1)0
f '=,即
36(1)0m m n -++=，所以36n m =+
（II ）由（I ）知，2()36(1)36
f x mx m x m '=-+++=
23(1)1m x x m ⎡⎤
⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
当0m <时，有2
11m
>+
，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：
故有上表知，当0m <时，()f x 在
2,1m ⎛
⎫-∞+ ⎪⎝⎭
单调递减，
在2
(1,1)m +
单调递增，在(1,)+∞上单调递减.
（III ）由已知得()3f x m '>，即
22(1)20mx m x -++>
又0m <所以222
(1)0x m x m m
-
++<即[]222
(1)0,1,1x m x x m m
-
++<∈-① 设212
()2(1)g x x x m m
=-++，其函数
开口向上，由题意知①式恒成立，
所以22(1)0120(1)010g m m
g ⎧
-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得
4
3
m -<又0m < 所以4
03
m -<<
即m 的取值范围为4,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
5．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩
，．
解得3a =-，4b =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为
(3)98f c =+．
因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，
所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，． 6．解：（Ⅰ）2()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，
即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032
c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，
．
2()33f x ax ax '∴=-，1333
24
22a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，
2a ∴=-，32()23f x x x ∴=-+．
（Ⅱ）令()f x x ≤，即32230x x x -+-≤，
(21)(1)0x x x ∴--≥，1
02
x ∴≤≤或1x ≥．
又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，
1
02
m ∴<≤
7.（Ⅰ）∵()f x 为奇函数，
∴()()f x f x -=-
即33ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c =
∵2'()3f x ax b =+的最小值为12- ∴12b =-
又直线670x y --=的斜率为1
6
因此，'(1)36f a b =+=- ∴2a =，12b =-，0c =．
（Ⅱ）3()212f x x x =-．
2'()6126(f x x x x =-=+-，
)
(,-∞和)+∞
∵(1)10f -=，f =-，
(3)18f =
∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最
小值是f =-。