青岛版2020-2021学年度第一学期九年级数学期中综合复习培优提升训练题1(附答案详解)

青岛版2020-2021学年度第一学期九年级数学期中综合复习培优提升训练题
1（附答案详解）
1．一元二次方程2x 2﹣3x+1=0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根
2．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 A ．
B ．
C ．
且
D ．
且
3．在三角形纸片ABC 中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件：①∠APB＝∠EPC；②∠APE＝∠APB；③P 是BC 的中点；④BP∶BC＝2∶3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 6．下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．2
2
310x x
+
-= B ．25630x y --= C ．220ax x -+=
D ．22(1)0a x bx c +++=
7．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
8．如图，在⊙0中，若点C 是弧BD 的中点，则图中与∠BAC 相等的角（∠BAC 除外）有 A ．2个 B ．3个 C ．4个
D ．5个
9．如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=3，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为( )
A．1B．1
2
C．
1
3
D．
1
4
10．若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法判断
11．将方程x（x﹣1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式是（）
A．x2﹣x=5x+10 B．x2﹣6x﹣10=0 C．x2+6x﹣10=0 D．x2﹣4x﹣10=0
12．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，如果
1
2
AE
EC
=，DE=7，
那么BC的长为_________．
13．如图, 点C是⊙O的直径AB上一点, CD⊥AB, 交⊙O于D, 已知CD=2, OC=1, 则AB的长是____．
14．关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．15．如图，在⊙O中，60
AOB
∠=，3cm
AB=，则劣弧AB的长为________cm．
16．把一元二次方程(x －2)2＝5化为一般形式为______________.
17．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，2BC =．点P 是ABC △内部的一个动点，且满足PAC PCB =∠∠，则线段BP 长的最小值是__________．
18．如图，AB//CD ，AD 与BC 相交于点E ，如果AB=2，CD=6，AE=1，那么 DE= _________．
19．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C 为水平线），测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为_________（用含α的式子表示）。

20．如图，在⊙O 中，已知∠AOB ＝120°，则∠ACB ＝________．
21．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= °．
22．制作一个圆锥模型，已知圆锥底面圆的半径为3.5cm ，侧面母线长为6cm ，则此圆锥侧面展开图的扇形圆心角为______度．
23．用一个圆心角为150°、半径为6cm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为_____cm ．
24．某城市中心地带有一楼盘，开发商准备以每平方7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商决定下调售价，有两种方案： 方案一：经过连续两次下调售价，以每平方米5670元的价格销售； 方案二：先下调5%，再下调15%； （1）求方案一中平均每次下调的百分率； （2）请问哪种方案对购房者更优惠？为什么？
25．如图，AB 、CD 为两个建筑物，建筑物AB 的高度为60米，从建筑物AB 的顶点A 点测得建筑物CD 的顶点C 点的俯角∠EAC 为30°，测得建筑物CD 的底部D 点的俯角∠EAD 为45°．
（1）求两建筑物底部之间水平距离BD 的长度； （2）求建筑物CD 的高度（结果保留根号）．
26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
与y 轴交于点C ，与x 轴
交于A B ，两点，点B 的坐标为(30)，
，直线3y x =-+恰好经过B 、C 两点．
（1）写出点C 的坐标； （2）求出抛物线
的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A 的坐标；
（3）点P 在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D 且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标.
27．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．
28．解下列方程：
（1）2230
x x
--=；（2）2
3410
x x
--=.
29．解方程（每题5分，共20分）
（1）6x2—7x+1=0 （2）4x2—3x=52
（3）（x—2）（x—3）=12 （4）5x2—18=9x
30．解方程：
（1）x2+4x﹣1=0．
（2）x2﹣2x=4．
31．已知关于x的一元二次方程2a x-3b x-5=0，试写出满足要求的所有a，b的值．32．如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD 交AF于点G，连接DG.
（1）求证：△AGE≌△AGD
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=25，求BE的长.
33．已知：关于的方程2
210
x kx
+-=．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1
2
，求另一个根及k值．
34．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
35．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）求证：B D2=AC•BQ；
（3）若AC、BQ的长是关于x的方程
4
x m
x
+=的两实根，且tan∠PCD=
1
3
，求⊙O
的半径．
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：对于一元二次方程，当△=时方程有两个不相等的实数根，当△=时方程有两个相等的实数根，当△=时方程没有实数根.根据题意可得：△=，则方程有两个不相等的实数根. 2．D
【解析】
试题分析：根据一元而次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，
解得a≥且a≠1．故选D．
考点：一元二次方程根的判别式
3．D
【解析】
解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．
A．
441
82
AB
==，对应边
631
842
AC
AB
==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC
不相似，故此选项错误；
B．
33
8
AB
=，对应边
633
848
AC
AB
==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相
似，故此选项错误；
C．
221
63
AC
==，对应边
631
843
AC
AB
==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC
不相似，故此选项错误；
D．
221
42
BC
==，对应边
411
822
BC
AB
===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC
相似，故此选项正确；
故选D．
点睛：此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
4．B
【解析】
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，
∵E为CD中点，
∴CD=2CE，即AB=BC=2CE，
①当∠APB=∠EPC时，结合∠B=∠C，可推出△ABP∽△ECP；
②当∠APE=∠APB≠60°时，则有∠APB≠∠EPC，所以不能推出△ABP∽△ECP；
③当P是BC中点时，则有BC=2PC，可知PC=CE，则△PCE为等腰直角三角形，而BP≠AB，即△ABP不是等腰直角三角形，故不能推出△ABP∽△ECP；④当BP：BC=2：3时，则有BP：PC=2：1，且AB：CE=2：1，结合∠B=∠C，可推出△ABP∽△ECP相似；
故选B．
5．B
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知：
①方程x2+3x+7=0的△=b2-4ac=9-28=-19＜0，∴没有实数根；
②、方程x2+4=0的△=b2-4ac=0-16=-16＜0，∴方程没有实数根；
③、x2+x-1=0的△=b2-4ac=1+4=5＞0，∴有实数根．
故选：B．
6．D
【解析】
A. 是分式方程，不合题意；
B. 含有2个未知数，不合题意；
C. 没有说明a的取值，不合题意；
D. 是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程，符合题意，
故选D.
7．B
【解析】试题分析：根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，这个多边形的边数是360÷72=5. 故选：B ．
考点：正多边形的中心角 8．B 【解析】
试题解析：∵点C 是弧BD 的中点，
.BC CD ∴=
∴∠BAC =∠CAD ， ∠BAC =∠BDC ， ∠CAD =∠CBD ，
∴∠CAD =∠BDC =∠CBD =∠BAC ， 于是图中与∠BAC 相等的角共有3个， 故选C. 9．C 【解析】
cos ∠BAE=
2
AB AE =
，∴∠BAE=30°，∴∠DAE=60°， ∴圆锥的侧面展开图的弧长为：6022
1803
π⨯=π， ∴圆锥的底面半径为2
3π÷2π=13
．故选C. 10．A
【解析】试题分析：∵5k+20＜0，即k ＜-4， ∴△="16+" 4k ＜0， 则方程没有实数根． 故选A ．
考点：根的判别式． 11．B
【解析】x （x ﹣1）=5（x+2）, x 2﹣x =5x +10,
x 2﹣6x ﹣10=0 . 所以选B. 12．21 【解析】
∵
1
2AE EC =， ∴
1
3
AE AC =. ∵DE ∥BC ∴
1
3
DE AE BC AC == ∴BC =3×7=21.
13．25 【解析】
解：连接OD ，∵CD =2，OC =1，在Rt △ODC 中，
∴OD =22OC CD +=2212+=5，∴AB =2OD =25，故答案为25．
14．1 【解析】
试题解析：∵关于x 的一元二次方程kx 2-2x -1=0有两个不相等的实数根， ∴k ≠0且△＞0，即（-2）2-4×k ×（-1）＞0， 解得k ＞-1且k ≠0．
∴k 的取值范围为k ＞-1且k ≠0． 故k 的最小整数值为1.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方
程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
15．π
【解析】
试题解析：∵∠AOB=60°
，AB=3cm ， ∴三角形OAB 是等边三角形，
∴圆的半径是3厘米，
则劣弧AB 的长为：603180
π⨯⨯=π（cm ）， 答：劣弧AB 的长为πcm ．
16．x 2-4x-1=0
【解析】方程可化为x 2-4x +4=5，移项合并同类项即可得x 2-4x -1=0.
17．1
【解析】
∵Rt ABC 中90ACB ∠=︒，
∴90PCB ACP ∠+∠=︒，
∵PAC PCB ∠=∠，
∴90ACP PAC ∠+∠=︒，
∴APC 中90APC ∠=︒，
∴点P 在以AC 为直径，AC 中点O 为半径的圆上．
此题求BP 最小值转化成求圆外一点到圆上的最短距离，即为d OB r =-．
∵3AC =，2BC =， ∴1322
r AC ==，
Rt BCO 中，52BO ==， ∴53122
d =-=．
点睛：本题考查了相似三角形的判断的判定与性质. 利用∠PCA=∠PBC得
∠PBC+∠PCB=90°，则∠BPC=90°，根据圆周角定理的推论可判定点P在以BC为直角的O 上，连接OA交O于P，此时PA的长最小，然后利用勾股定理计算出OA即可得到PA长的最小值．
18．3
【解析】
由题意，AB∥CD，AD与BC相交于点E，易得△ABE∽△DCE，由相似三角形的性质列出比例式，求解即可．
解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE
∴，
∵AB=2，CD=6，AE=1，
∴DE=×1=3．
19．
1
1sin a
【解析】
试题解析：如图，
设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，sinα=PC PB'
，
∴
1
x
x
-
=sinα，
∴x-1=xsinα，
∴（1-sinα）x=1，
∴x=
1
1-sinα
．
20．60°【解析】
解：∵∠AOB=120°，∴∠ACB=1
2
∠AOB=60°．故答案为60．
21．215．
【解析】
试题分析：连接CE,
∵五边形ABCDE为内接五边形,
∴四边形ABCE为内接四边形,
∴∠B+∠AEC=180°,
又∵∠CAD＝35°
∴∠CED＝35°（同弧所对的圆周角相等）,
∴∠B+∠E=∠B+∠AEC+∠CED=180°+35°=215°.
考点：正多边形和圆.
22．210
【解析】
试题解析：圆锥底面圆的半径为3.5cm，
则圆锥底面周长是7π，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，
即扇形弧长是7π，
根据弧长公式l=
180n r π， 得到7π=·6180
n π， 解得：n=210°
． 圆锥侧面展开图的扇形圆心角为210度．
点睛：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
23．2.5
【解析】
扇形的弧长=1506180
π⋅⋅=5π， 设圆锥的底面半径为R ，则2πR=5π，
所以R=2.5.
故答案为：2.5.
24．（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）方案二对购房者更优惠．
【解析】（1）设平均每次下调的百分率为x ，由题意可得7000(1-x)2=5670，解此方程求出x 的值即可；
（2）由7000(1-5%)(1-15%)可得方案二优惠后的价格，和5670比较大小即可得到哪种方案对购房者更优惠；
（1）设平均每次下调的百分率是x ，根据题意列方程得，
7000（1-x ）2=5670，
解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）由题意可得，方案二优惠后的售价为：
7000（1-5%）×（1-15%）
=7000×95%×85%
=5652.5（元）
∵5652.5<5670,
∴方案二对购房者更优惠．
25．（1）两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；
（2）建筑物CD的高度为（60﹣
【解析】
【分析】
（1）由题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，再由BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；
（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长．
【详解】
（1）根据题意得：BD∥AE，
∴∠ADB=∠EAD=45°，
∵∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠ADB=45°，
∴BD=AB=60，
∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；
（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，
∴AF=BD=DF=60，
在Rt△AFC中，∠FAC=30°，
，
又∵FD=60，
∴CD=60﹣
∴建筑物CD的高度为（60﹣）米．
考点：解直角三角形的应用
26．（1）(03)C ，
（2）243y x x =-+，2x =(10)A ，（3）(22)，或(22)-， 【解析】
解：（1）(03)C ，
------------2分 （2）抛物线过点B C ，，
930{3b c c ++=∴=，．
解得4{3b c =-=，．
------------3分 ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．---------4分
∴对称轴为2x =------------5分
点(1
0)A ，------------6分 （3）由243y x x =-+．
可得(21)(10)D A -，
，，． 3OB ∴=，3OC =，1OA =，2AB =． 可得OBC 是等腰直角三角形．
45OBC ∴∠=，32CB =
如图，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，
112
AF AB ∴==． 过点A 作AE BC ⊥于点E ．
90AEB ∴∠=．
可得BE AE ==CE =------------8分
在AEC 与AFP 中，90AEC AFP ∠=∠=，ACE APF ∠=∠，
AEC AFP ∴∽．------------10分
AE CE AF PF ∴=，1PF
=． 解得2PF =．------------11分
或者直接证明ABC ADP ∽得出3PD =再得2PF =类似给分．
点P 在抛物线的对称轴上，
∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，．------------12分
（1）由直线y=-x+3可求出C 点坐标；
（2）由B ，C 两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A 点坐标；
（3）作出辅助线AE ，由三角形的两个角相等，证明△AEC ∽△AFP ，根据两边成比例，便可求出PF 的长度，从而求出P 点坐标
27．23
. 【解析】
试题分析：
根据相似三角形相似比的定义可知，要求△OAB 与△OCD 的相似比就是要求△OAB 与
△OCD 某一组对应边的比. 观察图形可知，根据点B 与点D 的坐标容易确定OB 与OD 这组对应边的长度，这组对应边的比即为这组相似三角形的相似比.
试题解析：
∵点B 的坐标是(4, 0)，点D 的坐标是(6, 0)，
∴OB =4，OD =6，
∴4263
OB OD ==， ∵△OAB 与△OCD 关于点O 位似，
∴△OAB ∽△OCD ，
∵相似三角形的对应边的比是相似三角形的相似比，
又∵OB 与OD 为一组对应边，
∴△OAB 与△OCD 的相似比为
23. 点睛：
本题考查了位似图形与相似图形的相关知识. 应当准确理解位似图形与相似图形的联系和区别，分清位似图形中边的对应关系以及熟练掌握相似三角形相似比的定义. 要注意，位似图形一定是相似图形，但是位似图形是对应顶点连线所在直线相交于一点，对应边互相平行的特殊相似图形.
28．（1）121,3x x =-=；（2）12x x =
=【解析】
试题分析：
解一元二次方程时可直接利用分解因式法求得原方程的解.
解一元二次方程时可直接利用公式法求得原方程的解.
试题解析：
2230x x --=
分解因式，得()()310x x -+=，
解得1231x x ==-，.
23410x x --=
由题，341a b c ==-=-，， ，则0∆====，方程有两个不相等的实数根.
所以42263
b x a -±±±=== ，解得12x x == . 29．（1）116x =，21x = ；（2）1134
x =-，24x =；（3）11x =-，26x = ；（4）
165
x =-，23x =． 【解析】
试题分析：整理方程后，用因式分解法解方程即可．
试题解析：解：（1）（6x -1）（x -1）=0，∴116
x =
，21x = ； （2）4x 2-3x -52=0，∴(4x +13)(x -4)=0，∴1134x =-，24x =； （3）x 2-5x -6=0，∴（x +1）（x -6）=0，∴11x =-，26x = ；
（4）5x 2-9x -18=0，∴（5x +6）（x -3）=0，∴165
x =-，23x =．
30．（1）x 1=﹣x 2=﹣22）x 1x 2=1【解析】
试题分析：（1）利用配方法即可解决；
（2）利用配方法即可解决．
试题解析：解：（1）∵x 2+4x ﹣1=0
∴x 2+4x =1
∴x 2+4x +4=1+4
∴（x +2）2=5
∴x =﹣
∴x 1=﹣x 2=﹣2
（2）配方x 2﹣2x +1=4+1
∴（x ﹣1）2=5
∴x
∴x 1x 2=1．
点睛：本题考查一元二次方程的解法，记住配方法的解题步骤是解题的关键，属于中考常考题型．
31．a =2，b =2或a =2，b =1或a =2，b =0，或a =1，b =2或a =0，b =2
【解析】
【试题分析】
根据一元二次方程的定义，要求未知数的最高次数为2次，分类讨论：
若a=2,b=2,则方程化简为2-350x -= ；
若a=2,b=0,则方程化简为2280x -= ；
若a=2,b=1,则方程化简为22350x x --= ；
若a=0,b=2,则方程化简为2-33=0x -；
若a=1,b=2,则方程化简为2-325=0x x +-；
【试题解析】
根据题意，若a=2,b=2,则方程化简为2-350x -= ；若a=2,b=0,则方程化简为2280x -= ；若a=2,b=1,则方程化简为22350x x --= ；若a=0,b=2,则方程化简为2-33=0x -；若a=1,b=2,则方程化简为2-325=0x x +-；故答案为a =2，b =2或a =2，b =1或a =2，b =0，或a =1，b =2或a =0，b =2.
32．（1）证明见解析；
（2）AF ·GF=2EG 2，证明见解析；
（3）BE 的长为
1255
. 【解析】
(1)证明：∵△AEF 是由△ADF 折叠得到的
∴AD=AE，∠DAG=∠EAG
又∵AG=AG
∴△AGE≌△AGD
（2）AF×GF=2EG 2 证明如下：
连接DE 交GF 于点O
∵△AEF 是由△ADF 折叠得到的
∠DAG=∠EAG，DF=EF ∵△AGE≌△AGD
∴GD=GE，∠ AGD=∠AGE ∴∠ FGD=∠FGE
∵EG∥CD
∴∠DFG=∠FGE
∴∠ FGD=∠DFG
∴GD=DF
∴GD=EG=EF=DF
∴四边形DGEF是菱形
AF⊥DE，OF=1
2
GF
∴∠ADF=∠DOF =90°又∵∠DFO=∠DFA
∴△DFO∽△AFD
∴OF DF DF AF
∴OF×AF=DF2
∵OF=1
2
GF, DF=EG
∴1
2
GF×AF= EG2
即：AF×GF=2EG2
（2）过点G作GH⊥CD于H
则四边形CHGE是矩形，
∴CE=GH
设GF=x，则AF=6+x
∵AF×GF=2EG25
∴x(6+x)=40
解得：x=4
∴GF=4,
∴ AF=6+4=10
在Rt△AEF 中
==
∵GH∥AD
∴△FGH∽△FAD
∴GF GH AF AD
= ∴4
10=
∴BE=BC 33．（1）证明见解析；
（2）方程的另一个根为 x=-1．
【解析】
试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明>0∆即
可．()22
4218k k ∆=-⨯⨯-=+，因为20k ≥，可以得到>0∆从而得出答案． （2）把方程的一根代入原方程求出k 的值，然后把k 的值代入原方程求出方程的另一个根．
(1)∵()22
4218k k ∆=-⨯⨯-=+，又∵20k ≥， 280k ∴+>，
0.∴∆> ∴方程有两个不相等的实数根；
(2)把12
x =代入方程得：111022k +-=，解得k =1， 把k =1代入方程得：2210x x +-=，
()224142190b ac ∆=-=-⨯⨯-=>，
13.4
x -±∴== 111, 1.2
x x ==- ∴方程的另一个根为1x =-．
34【解析】
【分析】
将特殊角的三角函数值代入tan30°cos60°+tan45°cos30°即可计算出结果．
【详解】
tan30°cos60°+tan45°cos30°
112+
=
3．
35．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD =∠BDQ =∠ACD ，连接OB ，OD ，交AB 于E ，根据圆周角定理得到∠OBD =∠ODB ，∠O =2∠DCB =2∠BDQ ，根据三角形的内角和得到2∠ODB +2∠O =180°，于是得到∠ODB +∠O =90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）证明：连接AD ，根据等腰三角形的判定得到AD =BD ，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据题意得到AC •BQ =4，得到BD =2，由（1）知PQ 是⊙O 的切线，由切线的性质得到OD ⊥PQ ，根据平行线的性质得到OD ⊥AB ，根据三角函数的定义得到BE =3DE ，根据勾股定理得到BE 的长，设OB =OD =R ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：∵PQ∥AB，
∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠BDQ=∠ACD，
如图1，连接OB，OD，交AB于E，
则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，
∴∠ODB+∠O=90°，
∴PQ是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，
∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，
∴AD=BD，
∵∠DBQ=∠ACD，
∴△BDQ∽△ACD，
∴AD AC BQ BD
=，
∴BD2=AC•BQ；
（3）解：方程
4
x m
x
+=可化为x2﹣mx+4=0，
∵AC、BQ的长是关于x的方程
4
x m
x
+=的两实根，
∴AC•BQ=4，
由（2）得BD2=AC•BQ，
∴BD2=4，
∴BD=2，
由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，
∵PQ∥AB，
∴OD⊥AB，
由（1）得∠PCD=∠ABD，
∵tan∠PCD=1
3
，
∴tan∠ABD=1
3
，
∴BE=3DE，
∴DE2+（3DE）2=BD2=4，
∴DE=210
，
∴BE=610
，
设OB=OD=R，
∴OE=R﹣210
5
，
∵OB2=OE2+BE2，
∴R2=（R﹣210
5
）2+（
610
）2，
解得：R=210，
∴⊙O的半径为210．。