一类扩散捕食食饵模型的非常数正稳态解
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u +d1 △u, x ∈ Ω,
t >0,
l
v
vt =rv 1+d2 △v,
u
∂nu =∂nv =0,
u(
x,
0)=u0(
x),
v(
x,
0)=v0(
x),
x ∈ Ω,
t >0,
x ∈∂Ω,
t >0,
(
2)
x ∈ Ω,
其中,d1 和 d2 分别代表食饵和捕食者的自扩散系数;Ω 是有界光滑区域;
n 表示边界 ∂Ω 的 单位外法向量 .
征值都具有 负 实 部,即 Mi 的 特 征 多 项 式 φi(
λ)=0 的 两 个 根 λi1 和 λi2 都 具 有 负 实 部,其 中,φi(
λ)=
*
λ -t
r(
Mi)
λ +de
t(
Mi).
下面将证明存 在 δ > 0 使 得 Reλij ⩽-δ(
i ⩾ 1,
2).设 λ =αiζ ,并 将 其 代 入 式 φi(
i ⩾1,
⩽- .设 -C =max1⩽i⩽i0 {
2
2
2
1
2).进而 E 是局部渐近稳定的 .
j =1,
-
i
2 非常数正稳态解的存在性与不存在性
与模型(
3)对应的稳态解方程为
m
μuv
, x ∈ Ω,
-d1Δu =u 1-u u +a
1+bu +c
v
v
,
-d2Δv =rv 1u
∂nu =∂nv =0,
*
高建平,张江洪,练文燕
(赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000)
摘
要:文章旨在具有 Bedd
i
ng
t
on
-DeAnge
l
i
s功能反应函数 的 Le
s
l
i
e
-Gowe
r型 扩 散 捕 食 食 饵 模 型 中 考 虑 组 分
Al
l
e
e效应,并研究该系统的非常数稳态解 .首先,结合空间分解及特征 值 理 论,给 出 了 系 统 常 数 稳 态 解 的 稳 定 性 结
u(
其中,u 和v 分别代表食饵,捕食者的 种 群 密 度;
r 表 示 捕 食 者 的 增 长 率;1/
l 表示捕食者捕食食饵的转化
率;p(
u,
v)是功能型反应函数,它刻画了捕食者捕食食饵的能力 .方程(
1)中的捕食者方程是第一次由 Le
s
[
]
6
)
和
在
年提出的
因此,
捕
食
系
统(
也
被
称
为
型
捕
食
食
饵
ϕij ∶j =1,…,
(
6)式在 W 处的雅可比 矩 阵 为JW =
ᴢ
i=1
i=1 j=1
am
μv +cμv
μu +bμu
2 2 2
(
u +a) (
1+bu +c
v) (
1+bu +c
v)
2
2
1-2u -
imE(
αi)
ᴢ d
,则 X = Xi = Xij .
,系 统(
O29
文献标志码:
A
文章编号:
2096-7659(
2023)
06-0039-07
0 引言
种群生态学中,两种群间的相互作用关系存在多种形式,其中,捕食关系 是 一 种 常 见 而 又 基 本 的 种 群 关
[
1-2]
系 .继 Lo
之后,越来越多的生物数学家通过建立微分方程模型来研究
t
ka和 Vo
l
t
e
u
假设条件(
5)成立且r < mi
n r,-σ .如果算子 -Δ 在 Ω 上具有纽曼边界条件的第一特征值α1
*
*
r
r
,则 E1 是局部渐近稳定的 .
满足α1 > max0, d1 d2
u
这里只给出 的证明 .注意到 JE1 =
证明
r
*
u
σ
r
-r
,由条件ru < mi
n r,-σ 易知,
t
r(
l
e
e效
m
[
22]
应 [19-21].在组分 Al
l
e
e效应方面,
Denn
i
s 在 1989 年通过 g(
u)=u 1-u u +a
作为种群的增长函数
m
来刻画组分 Al
为组分 Al
l
e
e效应,其中,
l
e
e项,m 和a 是 Al
l
e
e效应常量 .m >a 时为强 Al
l
e
e效应;
u +a
[
23-24]
3)在
2
rv
2
rv
r2
u
u
W 处的线性系统为 Wt =L (
W )=DΔ W +JW W ,由文献[
25]可知,当算子 L 的所有特征值的实部都小于 0
时,W 是渐近稳定的。如果有一个特征值的实部大于 0,则 W 是不稳定的 .值得注意的是,如果所有的特征
值 都有非正实部,且其中一些特征值的实部为0.则 W 的稳定性不能由线性系统确定 [21].注意到当i ⩾0时,
JE1 )<
*
0 ,de
t(
JE1 )>0.同时,对i ⩾1,
t
r(
Mi)=αi(
d1 +d2)+r
*
u
t(
Mi)=
αi d1d2αi -d2r
-r ,de
*
u
+d1r +
u
,显然,在假设条件下,对i ⩾1,都成立 de
r -σ -r
t(
Mi)>0>t
r(
Mi).于是,Mi =αiD +JE1 的特
Xi 在算子 L 下是不变的 .于是,
λ 是 L 的特征值当且仅当λ 是矩阵 Mi =-αiD +JW 的特征值 .
*
*2
*
*2
*
mu
bμu
*
μu +bμu
, ru = *
.
*
* 2
2 +
*
* 2 -u
(
(
1+bu +c
v )
u +a) (
1+bu +c
v )
定理 1 E0 总是不稳定的;
为了方便起见,记σ =-
r
r
a的两个开创性工作
捕食关系 [3-5].基于假设捕食者以l
og
i
s
t
i
c形式增长并且 其 环 境 容 纳 量 与 食 饵 的 种 群 数 量 成 正 比,给 出 如 下
捕食模型的一般形式:
ut =u 1-u -p(
u,
v)
u,
l
v
,
(
vt =rv 11)
u
0)=u0 ,
v(
0)=v0 ,
意到 a0 >0 和 a3 <0,于是,当下述条件成立时,方程(
4)具有唯一的正根:
b +c -μ -1
,
(
a > max{
m,
1}或者 max{
m }< a <1.
5)
b +c
1
*
*
因此,当条件(
5)满足时,模型(
3)具有唯一的内部正常数平衡点 E = (
u ,
u ).
下 面, 分 析 模 型 (3 ) 常 数 平 衡 点 的 稳 定 性 . 为 了 研 究 方 便, 将 (3 ) 改 写 成
φζ =
ζ1 ζ2
ζi ⩽-C(
C
某个正整数i0 ,使得当i ⩾i0 时,
i ⩾i0 ,
2).于是,max{
λi1 ,
j=1,
φi(
ζ)=0的两根ζi1 ,
ζi2 满足 Re
ζij ⩽- 2 (
αiC
- C
C
,则 Re
λi2}⩽Re(
λi1),
Re(
λi2)}.于是,令δ=mi
n C,
λij ⩽-δ(
0
注 意 到,当 0 < m < a 时,模 型 (
3)具 有 一 个 边 界 平 衡 点 E = (
u0 ,
0),其 中 u0 =
1-a +
2
(
a -1) -4(
m -a)
1
*
*
.假设 E = u ,
v
2
*
*
是模型(
3)的内部正常数平衡点,则u 和v 应该满
*
m
*
μv
, * v* .于是(
足 1-u* - *
[
11-12]
在这里,采用了齐次 Neumann 边界条件,即在区域边界 ∂Ω 上没有种群的进出 .
等给出了带有 Ra
Sh
i
t
i
-
DOI:
10.
13698/
cnk
i.
cn36-1346/c.
2023.
06.
007
j.
基金项目:江西省自然科学 基 金 (
20224BAB211004);江 西 省 教 育 厅 科 学 技 术 研 究 项 目 (
λ)中,得 到
j =1,
2
φi(
ζ) 2 (
2 2
(
r(
Mi)
αiζ+de
t(
Mi).注意到αi → ᴢ(
i → ᴢ),于是φ
imi→ ᴢ
∶
=l
=
φ(
ζ)=αiζ -t
ζ)
ζ + d1 +d2)
ζ+
2
αi
,使得 ( ) 0 的两根 , 满足 Re
i 1,
d1d2 .显然,存在正数 C
= 2).于是根据连续性可知,存在
2023 年
第六期
№.
6
Nov.
2023
赣 南 师 范 大 学 学 报
J
ou
rna
lo
fGannan No
rma
lUn
i
ve
r
s
i
t
y
引文格式:高建平,张江洪,练文燕 .一类扩散捕食食饵模型的非常数正稳态解[
J].赣南师范大学学报,
2023,
43(
6):
39-45.
一类扩散捕食食饵模型的
非常数正稳态解
v
v
vt =rv 1+d2 △v,
u
∂nu =∂nv =0,
x ∈ Ω,
t >0,
x ∈ Ω,
t >0,
x ∈∂Ω,
t >0,
x ∈ Ω,
(
3)
u(
x,
0)=u0(
x),
v(
x,
0)=v0(
x),
这里本文假设 0< m < a 主要目的是研究(
3)在弱组分 Al
l
e
e情形下的非常数稳态解 .
1 常数平衡点的稳定性
GJ
J
201404,
GJ
J
2201205);国 家 自 然 科 学 基 金
* 收稿日期:
2023-09-14
(
12301190)
作者简介:高建平(
1989- ),男,江西吉安人,赣南师范大学数学与计算机科学学院讲师,博士,研究方向:微分方程及其应用 .
40
2023 年
赣南师范大学学报
o
-Depenen
[
17]
Al
l
e
e效应是由美国生态学家 Al
l
e
e于 1931 年通过对金鱼种 群 的 生 长 观 察 到 的 .该 效 应 表 明 种 群 都
具有最适密度 .过分稀疏或过分拥挤都不利于种群的生长,特别会影响濒临灭绝种群的生存,为了研究 Al
l
e
e
效应对生物种群生长的影响,许多生物 数 学 家 从 不 同 的 角 度 提 出 了 不 同 的 Al
2
2
W ∈ H (
Ω) ∶∂nW =0 在 ∂Ω . 定 义 E (
α) = ϕ∶-Δϕ =αϕ 在 Ω,
∂nϕ =0 在 ∂Ω ,
α ∈ R .设
第6期
高建平,张江洪,练文燕
41
一类扩散捕食食饵模型的非常数正稳态解
2
d
imE (
αi) 是 E (
αi)的标准正交基,Xij = cϕij ∶c ∈R
l
e
e 效 应 .主 要 分 为 两 类:统 计
[
18]
Al
l
e
e效应和组分 Al
l
e
e效应 .相比于l
og
i
s
t
i
c增长函数,研究工作者利用 g(
u)=u(
1-u)(
u -s),
s >0
作为种群的增长函 数 来 刻 画 统 计 Al
l
e
e 效 应,并 且 已 有 大 量 的 工 作 在 捕 食 食 饵 系 统 中 考 虑 统 计 Al
t功能反应和 Cr
owl
ey
-Ma
r
t
i
n 功能反应函 数 的 扩 散 捕 食 模 型(
2)的 时 空 斑 图 动 力 学 研 究 .
Sun
等在(
2)中考虑 Bedd
i
ng
t
on
-DeAnge
l
i
s功能反应函数,给出(
2)稳定性及 Tu
r
i
ng 不稳定性研究 .对(
2)还存在
[
13]
更多的研究工作 [14-16].
要研究模型(
3)的非常数稳态解等价于研究椭圆系统(
7)的非常数正解 .
2.
1 先验估计
x ∈ Ω,
x ∈∂Ω.
[
26]
给出(
7)的任意正解的上下界估计 .首先,运用极值原理 ,得到下面这个上界估计结果 .
引理 1 模型(
7)的任意正解 u,
v 满足 maxΩ
果;然后,利用先验估计的结论及能量积分法,得到了种群大扩散行为下系统非 常 数 稳 态 解 不 存 在 结 果;最 后,借 助
Le
r
ay
-Schaude
r度理论,获得了该系统非常数稳态解存在的理论结果 .
关键词:扩散捕食食饵模型;组分 Al
l
e
e效应;非常数稳态解;
Le
r
ay
-Schaude
t >0,
l
v
vt =rv 1+d2 △v,
u
∂nu =∂nv =0,
u(
x,
0)=u0(
x),
v(
x,
0)=v0(
x),
x ∈ Ω,
t >0,
x ∈∂Ω,
t >0,
(
2)
x ∈ Ω,
其中,d1 和 d2 分别代表食饵和捕食者的自扩散系数;Ω 是有界光滑区域;
n 表示边界 ∂Ω 的 单位外法向量 .
征值都具有 负 实 部,即 Mi 的 特 征 多 项 式 φi(
λ)=0 的 两 个 根 λi1 和 λi2 都 具 有 负 实 部,其 中,φi(
λ)=
*
λ -t
r(
Mi)
λ +de
t(
Mi).
下面将证明存 在 δ > 0 使 得 Reλij ⩽-δ(
i ⩾ 1,
2).设 λ =αiζ ,并 将 其 代 入 式 φi(
i ⩾1,
⩽- .设 -C =max1⩽i⩽i0 {
2
2
2
1
2).进而 E 是局部渐近稳定的 .
j =1,
-
i
2 非常数正稳态解的存在性与不存在性
与模型(
3)对应的稳态解方程为
m
μuv
, x ∈ Ω,
-d1Δu =u 1-u u +a
1+bu +c
v
v
,
-d2Δv =rv 1u
∂nu =∂nv =0,
*
高建平,张江洪,练文燕
(赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000)
摘
要:文章旨在具有 Bedd
i
ng
t
on
-DeAnge
l
i
s功能反应函数 的 Le
s
l
i
e
-Gowe
r型 扩 散 捕 食 食 饵 模 型 中 考 虑 组 分
Al
l
e
e效应,并研究该系统的非常数稳态解 .首先,结合空间分解及特征 值 理 论,给 出 了 系 统 常 数 稳 态 解 的 稳 定 性 结
u(
其中,u 和v 分别代表食饵,捕食者的 种 群 密 度;
r 表 示 捕 食 者 的 增 长 率;1/
l 表示捕食者捕食食饵的转化
率;p(
u,
v)是功能型反应函数,它刻画了捕食者捕食食饵的能力 .方程(
1)中的捕食者方程是第一次由 Le
s
[
]
6
)
和
在
年提出的
因此,
捕
食
系
统(
也
被
称
为
型
捕
食
食
饵
ϕij ∶j =1,…,
(
6)式在 W 处的雅可比 矩 阵 为JW =
ᴢ
i=1
i=1 j=1
am
μv +cμv
μu +bμu
2 2 2
(
u +a) (
1+bu +c
v) (
1+bu +c
v)
2
2
1-2u -
imE(
αi)
ᴢ d
,则 X = Xi = Xij .
,系 统(
O29
文献标志码:
A
文章编号:
2096-7659(
2023)
06-0039-07
0 引言
种群生态学中,两种群间的相互作用关系存在多种形式,其中,捕食关系 是 一 种 常 见 而 又 基 本 的 种 群 关
[
1-2]
系 .继 Lo
之后,越来越多的生物数学家通过建立微分方程模型来研究
t
ka和 Vo
l
t
e
u
假设条件(
5)成立且r < mi
n r,-σ .如果算子 -Δ 在 Ω 上具有纽曼边界条件的第一特征值α1
*
*
r
r
,则 E1 是局部渐近稳定的 .
满足α1 > max0, d1 d2
u
这里只给出 的证明 .注意到 JE1 =
证明
r
*
u
σ
r
-r
,由条件ru < mi
n r,-σ 易知,
t
r(
l
e
e效
m
[
22]
应 [19-21].在组分 Al
l
e
e效应方面,
Denn
i
s 在 1989 年通过 g(
u)=u 1-u u +a
作为种群的增长函数
m
来刻画组分 Al
为组分 Al
l
e
e效应,其中,
l
e
e项,m 和a 是 Al
l
e
e效应常量 .m >a 时为强 Al
l
e
e效应;
u +a
[
23-24]
3)在
2
rv
2
rv
r2
u
u
W 处的线性系统为 Wt =L (
W )=DΔ W +JW W ,由文献[
25]可知,当算子 L 的所有特征值的实部都小于 0
时,W 是渐近稳定的。如果有一个特征值的实部大于 0,则 W 是不稳定的 .值得注意的是,如果所有的特征
值 都有非正实部,且其中一些特征值的实部为0.则 W 的稳定性不能由线性系统确定 [21].注意到当i ⩾0时,
JE1 )<
*
0 ,de
t(
JE1 )>0.同时,对i ⩾1,
t
r(
Mi)=αi(
d1 +d2)+r
*
u
t(
Mi)=
αi d1d2αi -d2r
-r ,de
*
u
+d1r +
u
,显然,在假设条件下,对i ⩾1,都成立 de
r -σ -r
t(
Mi)>0>t
r(
Mi).于是,Mi =αiD +JE1 的特
Xi 在算子 L 下是不变的 .于是,
λ 是 L 的特征值当且仅当λ 是矩阵 Mi =-αiD +JW 的特征值 .
*
*2
*
*2
*
mu
bμu
*
μu +bμu
, ru = *
.
*
* 2
2 +
*
* 2 -u
(
(
1+bu +c
v )
u +a) (
1+bu +c
v )
定理 1 E0 总是不稳定的;
为了方便起见,记σ =-
r
r
a的两个开创性工作
捕食关系 [3-5].基于假设捕食者以l
og
i
s
t
i
c形式增长并且 其 环 境 容 纳 量 与 食 饵 的 种 群 数 量 成 正 比,给 出 如 下
捕食模型的一般形式:
ut =u 1-u -p(
u,
v)
u,
l
v
,
(
vt =rv 11)
u
0)=u0 ,
v(
0)=v0 ,
意到 a0 >0 和 a3 <0,于是,当下述条件成立时,方程(
4)具有唯一的正根:
b +c -μ -1
,
(
a > max{
m,
1}或者 max{
m }< a <1.
5)
b +c
1
*
*
因此,当条件(
5)满足时,模型(
3)具有唯一的内部正常数平衡点 E = (
u ,
u ).
下 面, 分 析 模 型 (3 ) 常 数 平 衡 点 的 稳 定 性 . 为 了 研 究 方 便, 将 (3 ) 改 写 成
φζ =
ζ1 ζ2
ζi ⩽-C(
C
某个正整数i0 ,使得当i ⩾i0 时,
i ⩾i0 ,
2).于是,max{
λi1 ,
j=1,
φi(
ζ)=0的两根ζi1 ,
ζi2 满足 Re
ζij ⩽- 2 (
αiC
- C
C
,则 Re
λi2}⩽Re(
λi1),
Re(
λi2)}.于是,令δ=mi
n C,
λij ⩽-δ(
0
注 意 到,当 0 < m < a 时,模 型 (
3)具 有 一 个 边 界 平 衡 点 E = (
u0 ,
0),其 中 u0 =
1-a +
2
(
a -1) -4(
m -a)
1
*
*
.假设 E = u ,
v
2
*
*
是模型(
3)的内部正常数平衡点,则u 和v 应该满
*
m
*
μv
, * v* .于是(
足 1-u* - *
[
11-12]
在这里,采用了齐次 Neumann 边界条件,即在区域边界 ∂Ω 上没有种群的进出 .
等给出了带有 Ra
Sh
i
t
i
-
DOI:
10.
13698/
cnk
i.
cn36-1346/c.
2023.
06.
007
j.
基金项目:江西省自然科学 基 金 (
20224BAB211004);江 西 省 教 育 厅 科 学 技 术 研 究 项 目 (
λ)中,得 到
j =1,
2
φi(
ζ) 2 (
2 2
(
r(
Mi)
αiζ+de
t(
Mi).注意到αi → ᴢ(
i → ᴢ),于是φ
imi→ ᴢ
∶
=l
=
φ(
ζ)=αiζ -t
ζ)
ζ + d1 +d2)
ζ+
2
αi
,使得 ( ) 0 的两根 , 满足 Re
i 1,
d1d2 .显然,存在正数 C
= 2).于是根据连续性可知,存在
2023 年
第六期
№.
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Nov.
2023
赣 南 师 范 大 学 学 报
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lUn
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引文格式:高建平,张江洪,练文燕 .一类扩散捕食食饵模型的非常数正稳态解[
J].赣南师范大学学报,
2023,
43(
6):
39-45.
一类扩散捕食食饵模型的
非常数正稳态解
v
v
vt =rv 1+d2 △v,
u
∂nu =∂nv =0,
x ∈ Ω,
t >0,
x ∈ Ω,
t >0,
x ∈∂Ω,
t >0,
x ∈ Ω,
(
3)
u(
x,
0)=u0(
x),
v(
x,
0)=v0(
x),
这里本文假设 0< m < a 主要目的是研究(
3)在弱组分 Al
l
e
e情形下的非常数稳态解 .
1 常数平衡点的稳定性
GJ
J
201404,
GJ
J
2201205);国 家 自 然 科 学 基 金
* 收稿日期:
2023-09-14
(
12301190)
作者简介:高建平(
1989- ),男,江西吉安人,赣南师范大学数学与计算机科学学院讲师,博士,研究方向:微分方程及其应用 .
40
2023 年
赣南师范大学学报
o
-Depenen
[
17]
Al
l
e
e效应是由美国生态学家 Al
l
e
e于 1931 年通过对金鱼种 群 的 生 长 观 察 到 的 .该 效 应 表 明 种 群 都
具有最适密度 .过分稀疏或过分拥挤都不利于种群的生长,特别会影响濒临灭绝种群的生存,为了研究 Al
l
e
e
效应对生物种群生长的影响,许多生物 数 学 家 从 不 同 的 角 度 提 出 了 不 同 的 Al
2
2
W ∈ H (
Ω) ∶∂nW =0 在 ∂Ω . 定 义 E (
α) = ϕ∶-Δϕ =αϕ 在 Ω,
∂nϕ =0 在 ∂Ω ,
α ∈ R .设
第6期
高建平,张江洪,练文燕
41
一类扩散捕食食饵模型的非常数正稳态解
2
d
imE (
αi) 是 E (
αi)的标准正交基,Xij = cϕij ∶c ∈R
l
e
e 效 应 .主 要 分 为 两 类:统 计
[
18]
Al
l
e
e效应和组分 Al
l
e
e效应 .相比于l
og
i
s
t
i
c增长函数,研究工作者利用 g(
u)=u(
1-u)(
u -s),
s >0
作为种群的增长函 数 来 刻 画 统 计 Al
l
e
e 效 应,并 且 已 有 大 量 的 工 作 在 捕 食 食 饵 系 统 中 考 虑 统 计 Al
t功能反应和 Cr
owl
ey
-Ma
r
t
i
n 功能反应函 数 的 扩 散 捕 食 模 型(
2)的 时 空 斑 图 动 力 学 研 究 .
Sun
等在(
2)中考虑 Bedd
i
ng
t
on
-DeAnge
l
i
s功能反应函数,给出(
2)稳定性及 Tu
r
i
ng 不稳定性研究 .对(
2)还存在
[
13]
更多的研究工作 [14-16].
要研究模型(
3)的非常数稳态解等价于研究椭圆系统(
7)的非常数正解 .
2.
1 先验估计
x ∈ Ω,
x ∈∂Ω.
[
26]
给出(
7)的任意正解的上下界估计 .首先,运用极值原理 ,得到下面这个上界估计结果 .
引理 1 模型(
7)的任意正解 u,
v 满足 maxΩ
果;然后,利用先验估计的结论及能量积分法,得到了种群大扩散行为下系统非 常 数 稳 态 解 不 存 在 结 果;最 后,借 助
Le
r
ay
-Schaude
r度理论,获得了该系统非常数稳态解存在的理论结果 .
关键词:扩散捕食食饵模型;组分 Al
l
e
e效应;非常数稳态解;
Le
r
ay
-Schaude