四川省成都市第七中学高2020届高2017级高三高中毕业班三诊模拟考试文科数学试题及参考答案解析

成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学(文科)
第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-,{}
2
|,B y y x x A ==∈,则A
B =( )
A.{}0,1,2
B.{}0,1,4
C.
1,0,1,2
D.{}1,0,1,4-
【参考答案】B 【试题解析】
根据集合A 求得集合B ,由此求得A
B .
【详细解答】由于{}1,0,1,2,3,4A =-,所以对于集合B ,y 的可能取值为
()
2
22222111,00,24,39,416-======,
即{}0,1,4,9,16B =. 所以{}0,1,4A B =.
故选:B
本小题主要考查集合交集的概念和运算,属于基础题. 2.已知复数1
1i
z =
+,则z =( ) A.
22
B.1
2
D.2
【参考答案】A 【试题解析】
首先利用复数除法运算化简z ,再求得z 的模.
【详细解答】依题意()()()11111122i z i i i ⋅-=
=-+⋅-,所以22
112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选:A
本小题主要考查复数除法运算,考查复数的模的运算,属于基础题. 3.设函数()f x 为奇函数,当0x >时,22f x
x ,则()()1f f =( )
A.-1
B.-2
C.1
D.2
【参考答案】C 【试题解析】
根据奇函数的性质以及函数()f x 的解析式,依次求得()1f ,()()1f f 的值.
【详细解答】函数()f x 为奇函数,()2
1121f =-=-,()()()()()11111f
f f f =-=-=--=.
故选:C
本小题主要考查奇函数的性质,属于基础题. 4.已知单位向量1e ,2e 的夹角为23
π
,则122e e -=( )
A.3
B.7
【参考答案】D 【试题解析】
利用平方再开方的方法,结合已知条件以及向量运算,求得122e e -.
【详细解答】依题意,(
)
2
22
1212
11212244e e e e e e e e -=-=-⋅+==故答案为:D
本小题主要考查平面向量模和数量积的运算,属于基础题.
5.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是( )
B.
3
C.10
D.
109
【参考答案】A 【试题解析】
由渐近线求得b a ,由双曲线的离心率c e a ==. 【详细解答】双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>
∴其焦点在x 轴上
根据焦点在x 轴上的渐近线为:b y x a
=± 又
该双曲线的渐近线方程为3y x =±, ∴
3b
a
=, ∴双曲线的离心率2
211310c b e a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭
故选:A.
本题考查求双曲线的离心率,涉及双曲线的渐近线方程,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.. 6.已知等比数列{}n a 中,10a >,则“14a a <”是“35a a <”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【参考答案】A 【试题解析】
结合等比数列通项公式可求得q 的范围,可验证充分性和必要性是否成立,由此得到结果. 【详细解答】设等比数列{}n a 的公比为q ,
由14a a <得:311a a q <,又10a >,3
1q ∴>,解得:1q >,
243115a a q a q a ∴=<=,充分性成立；
由35a a <得:2411a q a q <,又10a >,42
q q ∴>,解得:1q >或1q <-, 当1q <-时,3
410a a q =<,41a a ∴<,必要性不成立.
∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.
故选:A .
本题考查充分条件与必要条件的判定,涉及到等比数列通项公式的应用,属于基础题. 7.如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是( )
A.3?i ≤
B.4?i ≤
C.5?i ≤
D.6?i ≤
【参考答案】C 【试题解析】
根据程序框图的运行,循环算出当31S =时,结束运行,总结分析即可得出答案. 【详细解答】由题可知,程序框图的运行结果为31, 当1S =时,9i =； 当1910S =+=时,8i =； 当19818S =++=时,7i =； 当198725S =+++=时,6i =； 当1987631S =++++=时,5i =. 此时输出31S =. 故选:C.
本题考查根据程序框图的
循环结构,已知输出结果求条件框,属于基础题.
8.已知a ,b 为两条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,下列命题:①若//αβ,//αγ,则//βγ；②若
//a α,//a β,则//αβ；③若αγ⊥,βγ⊥,则αβ⊥；④若a α⊥,b α⊥,则//a b .其中正确命题序号为
( ) A.②③ B.②③④
C.①④
D.①②③
【参考答案】C 【试题解析】
根据直线与平面,平面与平面的位置关系进行判断即可.
【详细解答】根据面面平行的性质以及判定定理可得,若//αβ,//αγ,则//βγ,故①正确； 若//a α,//a β,平面,αβ可能相交,故②错误； 若αγ⊥,βγ⊥,则,αβ可能平行,故③错误； 由线面垂直的性质可得,④正确； 故选:C
本题主要考查了判断直线与平面,平面与平面的位置关系,属于中档题.
9.南宋数学家杨辉在《【详细解答】九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,6l,95,则该数列的第8项为( ) A.99
B.131
C.139
D.141
【参考答案】D 【试题解析】
根据题中所给高阶等差数列定义,寻找数列的一般规律,即可求得该数列的第8项； 【详细解答】
所给数列为高阶等差数列
设该数列的第8项为x
根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列, 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列,如图:
根据图象可得:3412y -=,解得46y =
9546x y -==
解得:141x = 故选:D ．
本题主要考查了数列的新定义,解题关键是理解题意和掌握等差数列定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题．
10.已知2
log πa e =,ln ,πb e =2
ln e c π
=,则( )
A.a b c <<
B.b c a <<
C.b a c <<
D.c b a <<
【参考答案】B 【试题解析】
利用对数函数的单调性、作差法即可得出． 【详细解答】解:
e e
π
<,12
b ∴<
, 又1b c +=．c b ∴>．
22
πe 2log e ln (2)2220π2
a c ln ln ln ln ππππ
-=-=--=+->-=．
a c ∴>．
b c a ∴<<．
故选:B ．
本题考查了对数函数的单调性、作差法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．
11.已知一个四面体的每一个面都是以3,3,2为边长的锐角三角形,则这个四面体的外接球的表面积为( ) A.
11π
4
B.
112
π
C.11π
D.22π
【参考答案】C 【试题解析】
考虑一个长方体1111ABCD A B C D -,其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 恰好就是每个三角形边长为
3,3,2,则四面体的外接球即为长方体的外接球,进而计算出其外接球的直径,即可得外接球的表面积.
【详细解答】设长方体1111ABCD A B C D -的长宽高分别是,,a b c ,其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 满足每个面的边长为3,3,2,如图:
则四面体的外接球即为长方体的外接球,
因为229a b +=,229b c +=,224c a +=,所以22211a b c ++=, 所以,长方体的外接球直径211R =,
故外接球的表面积2411S R ππ==. 故选:C.
本题考查求一个几何体的外接球表面积,关键是求出外接球的半径,
将几何体补成一个长方体是解题的关键,考查数形结合思想,属于基础题．
12.已知P 是椭圆2
214
x y +=上一动点,()2,1A -,()2,1B ,则cos ,PA PB 的最大值是( )
A.
62
4
- B.
1717
C.
177
6
- D.
1414
【参考答案】A 【试题解析】
记,PA PB θ=,考虑θ90<,当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时tan 4AB
AP
θ=
=,当直线AP 、BP 斜率都存在时由tan 1AP BP
AP BP
k k k k θ-=
+⋅求出tan θ关于y 的表达式,利用换元法和基本不等式即可求得
tan θ的范围,再由21
cos 1tan θθ
=
+转化为cos θ的范围即可求得最大值.
【详细解答】记,PA PB θ=,若θ90>,则cos 0θ<；若90θ=,则cos =0θ；
考虑θ90<,当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时,不妨设P 点位于左顶点, 此时直线AP 斜率不存在,tan 4AB
AP
θ=
=； 当直线AP 、BP 斜率都存在时,设(,)P x y ,有2
214
x y +=,
2211
4(1)22tan 1114(1)122
AP BP AP BP
y y k k y x x y y k k x y x x θ---
--+-=
==--+⋅-+-+⋅
+-
2224(1)4(1)
444(1)321
y y y y y y --=
=--+---+,(11)y -≤≤
令1[0,2]t y =-∈,则24tan 384
t
t t θ=
-+-,
当0t =时,tan 0θ=(此时1,,cos 1y θπθ===-),
当(0,2]t ∈
,
44tan 24443883t t t t θ=
=≥=+⎛⎫--+-+ ⎪⎝
⎭,当且仅当43t t =
即t =时取等号,
则
cos 4
θ=
=
=
. 综上所述,cos ,PA PB
的最大值是. 故选:A
本题考查椭圆中的最值问题、椭圆的几何性质、直线的斜率,涉及换元法求函数的最值、基本不等式、同角三角函数的关系,属于较难题.
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,()112n n a S n -=+≥,则4a =______. 【参考答案】8 【试题解析】
根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+,两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥,利用递推关系即可求解. 【详细解答】
()112n n a S n -=+≥①,
11n n a S +∴=+②,
②-①得,12n n a a +=(2)n ≥, 当2n =时,211112a S a =+=+=,
3224a a ∴==, 4328a a ∴==,
故答案为:8
本题主要考查了数列的项n a与前n项和n S的关系,考查了利用递推关系求数列的项,属于中档题. 14.已知实数x,y满足线性约束条件
1
1
7
x
y
x y
≥
⎧
⎪
≥-
⎨
⎪+≤
⎩
,则目标函数2
z x y
=+的最大值是______.
【参考答案】15
【试题解析】
先根据约束条件画出可行域,再利用直线2
y x z
=-+在y轴上截距的几何意义求最大值即可.
【详细解答】作出可行域如图,
由2
z x y
=+可得2
y x z
=-+,
平移直线2
y x
=-,
当直线过点A时,2
z x y
=+在y轴上截距最大,
由
1
7
y
x y
=-
⎧
⎨
+=
⎩
解得8,1
x y
==-,
即(8,1)
A-,
此时z的最大值为28115
z=⨯-=,
故答案为:15
本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,数形结合,属于中档题.
15.如图是一种圆内接六边形ABCDEF,其中BC CD DE EF FA
====且AB BC
⊥.则在圆内随机取
一点,则此点取自六边形ABCDEF内的概率是______.
【参考答案】
32
2π
【试题解析】
半径为1,利用三角形面积公式得出六边形ABCDEF,最后由几何概型概率公式计算即可. 【详细解答】连接AC,显然,AC中点O为ABC
∆的外接圆圆心,设半径为1
连接,,,
FO EO DO BO
由于BC CD DE EF FA
====,AC为直径,则
180
45
4
BOC
︒
∠==︒,135
AOB
∠=︒
该六边形的面积为A F EFO EDO DCO BCO AO
O B
S S S S S S
∆∆∆∆∆∆
=+++++
12132
55111
2
1
22
BCO AOB
S S
∆∆
=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
则此点取自六边形ABCDEF内的概率为
2
32
32
2
12
P
ππ
==
⋅
故答案为:
32
2π
本题主要考查了几何概型的概率计算,涉及了三角形面积公式的应用,属于中档题.
16.若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是_________. 【参考答案】1(1,)e
e 【试题解析】
根据题意可判断1a >,利用函数的导数,转化求解a 的最大值,从而求出a 的取值范围. 【详细解答】由题意,当0x ≤时,函数(0x
y a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象没有交点,
设当0x >时,指数函数(0x
y a
a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点,则
1a >,
设(0x
y a
a =>且)1a ≠与y x =相切于(),A m m ,则m a m =,ln x y a a '=,
所以,ln 1m a a =,解得m e =,此时1
e a e =.
即(0x
y a a =>且)1a ≠与y x =恰好有两个不同的交点时实数a 的取值范围为11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故答案为:11,e
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 本题考查了指数函数的性质,函数的导数的应用,切线方程的求法,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2tan sin a b
A B
=. (1)求角A 的大小；
(2)若a =
2b =,求ABC 的面积.
【参考答案】(1)3
A π
= 【试题解析】
(1)根据正弦定理sin sin a b A B =和2tan sin a b A B
=,得到2sin tan a a
A A =,然后利用同角三角函数基本关系式
化简求解.
(2)根据7a =
,2b =,3
A π
=
,利用余弦定理求得c ,再代入1
sin 2
ABC
S
bc A =求解. 【详细解答】(1)由正弦定理知
sin sin a b A B
=,又2tan sin a b
A B =, 所以
2sin tan a a
A A
=. 所以1
cos 2
A =,
因为0A π<<, 所以3
A π
=
.
(2)因为7a =
,2b =,3
A π
=
,
由余弦定理得2
2
2
7222cos 3
c c π
=+-⨯⨯,
即2230c c --=. 又0c >,所以3c =. 故ABC 的面积为1133
sin 23sin 223ABC
S
bc A π=
=⨯⨯⨯=
. 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
18.成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果:得分在[80,100]评定为“优”,奖励3面小红旗；得分在
[60,80)评定为“良”,奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”,奖励1面小红旗；得分在[20,40)
评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图:
(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数；
(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级,再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.
【参考答案】(1)70分；(2)1415
. 【试题解析】
(1)利用频率分布直方图,能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数．
(2)“良”、“中”的频率分别为0.4,0.2．又班级总数为40．从而“良”、“中”的班级个数分别为16,8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2．由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．
【详细解答】(1)得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；
所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4-++= 设班级得分的中位数为x 分,于是60
0.10.20.40.520
x -++
⨯=,解得70x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.
(2)由(1)知题意 “良”、“中”的频率分别为0.4,0.2又班级总数为40 于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8.
分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2 因为评定为“良”,奖励2面小红旗,评定为“中”,奖励1面小红旗.
所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为A 则A 为两个评定为“中”的班级.
把4个评定为“良”班级标记为1,2,3,4. 2个评定为“中”的班级标记为5,6
从这6个班级中随机抽取2个班级用点(,)i j 表示,其中16i j ≤<≤.这些点恰好为66⨯方格格点上半部分(不含i j =对角线上的点),于是有
366
152
-=种. 事件A 仅有(5,6)一个基本事件.所以114()1()11515P A P A =-=-
= 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为14
15
.
本题考查中位数、概率的求法,考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．
19.如图,在四棱锥M ABCD -中,AB AD ⊥,2AB AM AD ===,22MB =,23MD =.
(1)证明:AB ⊥平面ADM ； (2)若//CD AB 且2
3
CD AB =
,E 为线段BM 上一点,且2BE EM =,求三棱锥A CEM -的体积. 【参考答案】(1)证明见解析；23
【试题解析】
(1)推导出AB AM ⊥,AB AD ⊥,由此能证明AB ⊥平面ADM ．
(2)推导出13C AEM C ABM V V --=,111333
A CEM C AEM C ABM D ABM
B ADM V V V V V -----====,由此能求出三棱锥
A CEM -的体积．
【详细解答】(1)因为2AB AM ==,22MB =所以222AM AB MB +=,于是AB AM ⊥
又AB AD ⊥且,AM AD A AM ⋂=⊂平面ABD ,AD ⊂平面ADM , 所以AB ⊥平面ADM
(2)因为2,3AM AD MD ===,所以3ADM S =△因为2BE EM =,所以13
C AEM C ABM V V --= 又,CD//AB AB ⊥平面ADM
所以111333
A CEM C AEM C ABM D ABM
B ADM V V V V V -----====
11
11232333
339
ADM S AB =⨯⋅⋅=⨯=所以三棱锥A CEM -23
本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题．
20.已知函数22
(),(,)ln x x e f x x e x x
++=∈+∞.
(1)证明:当(e,)x ∈+∞时,3ln x e
x x e
->+； (2)证明:()f x 在1
[2,)2
e +
+∞单调递增.(其中e 2.71828=是自然对数的底数).
【参考答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【试题解析】
(1)构造函数3()ln x e
g x x x e
-=-
+,利用导数研究函数单调性及最值即可证明不等式；(2)求出函数()f x 的导数,利用(1)中所证不等式判断()f x 的导数中分母的符号即可确定导数的符号,从而确定()f x 的单调性.
【详细解答】(1)令3()ln ,(,)x e
g x x x e x e
-=-
∈+∞+,则22214()()0()()e x e g x x x e x x e -'=-=>++ 于
是
()g x 在(,)e +∞单调递增,所以()()0g x g e >=
即3ln ,(,)x e
x x e x e
->
∈+∞+ (2)2222222
2
(21)ln ()(ln 1)()ln ()
()(ln )(ln )x x x x x e x x e x x x e f x x x x x +-+++--++'== 令2
2
2
2
()()ln (),(,)h x x e x x x e x e =--++∈+∞ 当(,)x e ∈+∞时,由(1)知3ln x e
x x e
->+ 则2
2
22231
()()()2(41)2[(2)]2
x e h x x e x x e x e x x x e x e ->--++=-+=-++ 当1
[2,)2x e ∈+
+∞时,()0h x >,从而()0f x '> 故()f x 在1
[2,)2
e ++∞单调递增.
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、证明不等式,属于中档题. 21.已知点P 是抛物线C :2
12
y x =
上的一点,其焦点为点F ,且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆O :221x y +=于不同的两点A ,B .
(1)若点()2,2P ,求AB 的值；
(2)设点M 为弦AB 的中点,焦点F 关于圆心O 的对称点为'F ,求'
F M 的取值范围.
【参考答案】
(1)AB =
(2)12⎫
⎪⎪⎢⎣⎭
【试题解析】
(1)利用导数求出过点()2,2P 的抛物线的切线,切线与圆相交,根据弦心距、半径、弦长的关系求解即可； (2)设点()00,P x y ,联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程,由韦达定理求出中点M 的坐标,由两点
间距离公式表示出'
F M =
,令2
01t x =+换元,利用函数的单调性即可求出取值范围. 【详细解答】设点()00,P x y ,其中20012
y x =
. 因为'
y x =,所以切线l 的斜率为0x ,于是切线l :20012
y x x x =-
. (1)因为()2,2P ,于是切线l :22y x =-. 故圆心O 到切线l
的距离为d =
于是AB ===. (2)联立22200
1
12x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩
得()223
400
011104x x x x x +-+-=. 设()11,A x y ,()22,B x y ,(),M x y .则3
012201x x x x +=+,()()232
4000141104x x x ⎛⎫∆=--+-> ⎪⎝⎭
.
解得2
022x -<<+又2
00x ≥,
于是2002x ≤<+于是()301220221x x x x x +==+,()
2
2
0002
01221x y x x x x =-=-+. 又C
焦点10,
2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,于是'10,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 故
'F M =
==
令2
1t x =+,
则13t ≤<+
于是'
F M ==因为3t t
+
在⎡
⎣单调递减,
在+单调递增.
又当1t =时,'
1
2F M =
；当t =时
,'F M =
当3t =+时
,'11
22
F M =
>. 所以'
F M
的取值范围为12⎫
⎪⎪⎢⎣⎭
. 本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力,属于难题.
请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑. 选修44-:坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C
的参数方程为2x y α
α
⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数,0απ≤≤).在以坐标
原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线l 的极坐标方程是6
π
θ=.
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)若射线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求OA OB ⋅的值. 【参考答案】(1)2
4cos 1003πρρθθ⎛
⎫
-+=≤≤ ⎪⎝
⎭
；(2)1 【试题解析】
(1)先将曲线C 的参数方程通过消去参数α得出其普通方程,再将普通方程转化为极坐标方程；(2)设
1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,6B πρ⎛
⎫ ⎪⎝⎭,联立射线l 与曲线C 的极坐标方程,得出121ρρ=,根据极坐标的定义即可求解
OA OB ⋅的值.
【详细解答】(1)消去参数α得()()2
2230x y y -+=≥,将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入得
22(cos 2)(sin )3ρθρθ-+=,即24cos 10ρρθ-+=.
所以曲线C 的极坐标方程为2
4cos 1003πρρθθ⎛⎫
-+=≤≤
⎪⎝
⎭
. (2)将6
π
θ=
代入2
4cos 1003πρρθθ⎛⎫
-+=≤≤
⎪⎝
⎭
得2
10ρ-+=, 设1,
6A πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
,2,
6B πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
,则121ρρ=,于是121OA OB ρρ⋅==. 本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化,以及对极坐标的定义的理解. 选修45-:不等式选讲
23.己知0a >,0b >,且24a b +=,函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为m . (1)求m 的值；
(2)若22a mb tab +≥恒成立,求实数t
的
最大值.
【参考答案】(1)2(2)最大值为【试题解析】
(1)去绝对值把函数()f x 写成分段函数,再利用函数()f x 的单调性确定当2
a
x =-时函数()f x 取到最小值m ,代入计算即可求出m 的值；
(2)由已知不等式2
2
a m
b tab +≥可转化为22a mb t ab +≤,即要求出22
a m
b ab +的最小值,利用基本不等式
可求出22
a m
b ab
+的最小值为,即t ≤,从而求出实数t 的最大值.
【详细解答】解:(1)()3,,22,,23,(,)a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧⎛⎫--+∈-∞- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤
=++-=++∈-⎨⎢⎥⎣⎦⎪
⎪+-∈+∞⎪⎩
. 当,2a x ⎛⎫
∈-∞-
⎪⎝⎭
时,函数()f x 单调递减,
当,2a x b ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时,函数()f x 单调递增, 当(),x b ∈+∞时,函数()f x 单调递增, 所以当2
a
x =-
时函数()f x 取到最小值, 所以2422222a a a b m f a b +⎛⎫=-
=-++=== ⎪
⎝⎭
. (2)因为22a mb tab +≥恒成立,且0a >,0b >,
所以22
a m
b t ab
+≤恒成立即min a mb t b a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,
由(1)知2m =,
于是
a m
b b a +≥==当且仅当
2a b
b a
=
时等号成立即)410a =>
,(220b =>,
所以t ≤,故实数t
的最大值为本题考查了含两个绝对值的分段函数的最值,考查了利用基本不等式求最小值,属于一般题.。