三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体2020-2021学年高三上学期11月大联考数学试题(无答案)

三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体2020-2021学年高三上学期
11月大联考高三数学试卷
考生注意：
1．本试卷共150分，考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，解三角形，向量，数列，不等式，立体几何．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}ln(2)0A x x =-≥∣，{}22950B x
x x =--<∣，则A B =（ ） A ．()2,5 B ．[)2,5 C ．[)3,5 D ．()3,5
2．在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，已知139a a =，3210a q +=，则q =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 3．函数1()1f x x =+
的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为（ ） A ．4 B ．4- C ．2
D ．2- 4．设x ，y ∈R ，则“1x ≥且1y ≥”是“221x y +≥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是正方形11CDD C 的中心，点Q 在线段1AA 上，且113AQ AA =，E 是BC 的中点，则异面直线PQ ，DE 所成角的大小为（ ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒ 6．已知函数()
2()ln
12f x ax x =++是定义在R 上的奇函数，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器，秦始皇统一中国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡．经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积（不含上底面）为33平方寸，则该铜方升内口的容积为（ ）
A ．5.4立方寸
B ．8立方寸
C ．16立方寸
D ．16.2立方寸
8．已知ABC ∆所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP ∆与BCP ∆的面积之比为（ ）
A ．2:1
B ．3:1
C ．3:2
D ．4:3
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知函数()cos()0,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4
π，且直线12x π=是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为2π
B ．3182f π
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
C ．函数()f x 在区间,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增
D ．点7,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭
是函数()f x 图象的一个对称中心 10．下列函数有两个零点的是（ ）
A ．()1x f x e x =--
B ．1()|1|12f x x x =+--
C ．32()331f x x x x =++-
D ．()ln 2f x x x =-+
11．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩
形ABCD 12AB BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
中作正方形ABFE ，
以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线．记弧BE ，EG ，GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（ ）
A ．l m n =+
B ．2m l n =⋅
C ．2m l n =+
D ．111m l n
=+ 12．设0.3log 0.5a =，4log 0.5b =，则下列结论正确的是（ ）
A ．0ab <
B ．0a b +>
C ．()21ab a +<
D ．22116a b
+>
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知正数a ，b 满足1ab =，则49a b +的最小值为_______．
14．在ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，D 为BC 的中点，E ，F 都在线段AB 上，
且AE EF FB ==，
则DE CF ⋅=______．
15．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，P 是侧面11BCC B 内一动点，13HP =，则CP 的最小值为______．
16．如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，26BD =
，AB AC ⊥，2AC AB =，则CD 的最小值为_______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在①24n n a a +-=，26S =，②3516a a +=，3542S S +=，③222n n S a n =+这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin (cos 1)a B b A =+．
（1）证明：ABC ∆是直角三角形．
（2）若D 为BC 的中点，且6AD =，求ABC ∆面积的最大值．
19．某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从5道A 类题和3道B 类题共8道题中任选3道作答．
（1）求考生甲至少抽到2道B 类题的概率；
（2）若答对A 类题每道计1分，答对B 类题每道计2分，若不答或答错，则该题计0分．考生乙抽取的是1道A 类题，2道B 类题，且他答对每道A 类题的概率为23，答对每道B 类题的概率是12
，各题答对与否相互独立，用X 表示考生乙的得分，求X 的分布列和数学期望．
20．如图，在三棱锥A BCD -中，122AB AD CD BC ===
=，E 为BC 的中点，BD CD ⊥，且2AE =． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABD ．
（2）求平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值．
21．已知椭圆22
2:1(3)3
x y C a a +=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 为椭圆C 上异于1A ，2A 的一点，且直线1PA ，2PA 的斜率之积为34-
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 与1A 不重合），l 不与x 轴垂直，若11A M A N MN k k k +=-，求MN ．
22．已知函数2()x f x e ax =-．
（1）设函数()()g x f x '=，讨论()g x 的单调性；
（2）当()1,x ∈+∞时，()2e f x >恒成立，求a 的取值范围．。