新高三数学下期末模拟试卷(含答案)(2)

新高三数学下期末模拟试卷(含答案)(2)
一、选择题
1．已知2a i b i i
+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3
2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A ．10
B ．11
C ．12
D ．15
3．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）
A ．536
B ．29
C ．16
D ．19 4．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点
（ ）
A ．(4,0)
B ．(2,0)
C ．(0,2)
D ．(0,0)
5．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A ．4种
B ．10种
C ．18种
D ．20种
6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为
A ．2
B
C D
7．函数()f x =的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称 D ．直线y x =对称
8．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在
(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,)e +∞
B ．2(,2)e e
C ．2(2,)e +∞
D ．22(,2)(2,)e e e +∞U
9．设F 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为
A
B
C ．2
D
10．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是
X 0 a 1 P 13 13
13 则当a 在（0，1）内增大时（ ）
A ．()D X 增大
B ．()D X 减小
C ．()
D X 先增大后减小
D ．()D X 先减小后增大 11．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个
球的表面积是（ ）
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
12．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ）
A ．4
B ．16
C ．8
D ．32 二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3
α=，则cos()αβ-=___________. 14．若9()a
x x -的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
15．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
16．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30°，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则ACB =∠______________.
17．3
4
331654+log log 8145
-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 18．已知双曲线1C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．
19．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是
20．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x
π的值介于1
[0,]2
的概率为 ．
三、解答题
21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，BA BP =.
（1）求证：PA BD ⊥；
（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.
22．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．
23．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.
（1）证明：AE ⊥平面ECD ；
（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值.
24．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED V ，DCF V 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．
(1) 求证：MD EF ⊥；
(2) 求三棱锥M EFD -的体积．
25．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：
①；
②；
③.
判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.
（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.
①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；
②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.
26．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
+=”的概率；
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
-=+，再利用复数相等列方程求出,a b的
利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i
值，从而可得结果.
【详解】
因为
2
2
22
2
a i ai i
ai b i
i i
+--
==-=+
-
，,a b∈R，
所以
22
11
b b
a a
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
-==-
⎩⎩
，则+1
a b=，故选B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246
C=个；
第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有14C4
=个；
第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有04C1
=个，
由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111
++=个，
故选B．
3．D
解析：D
【解析】
掷骰子共有36个结果,而落在圆x2+y2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,
∴P=41 369
=.
故选D
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
设圆和x轴相交于M点，根据圆的定义得到CA＝CM＝R，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M点为焦点.
【详解】
圆心C在抛物线上，设与直线20
x+=相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA＝CM＝R，直线20
x+=为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点()
2,0．
故选B
【点睛】
这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可.
【详解】
在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =
， 则55tan BE a EAB AB ∠===故选C.
【点睛】
求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可．
【详解】
解：()2
3x f x x
+=Q 0x ∴≠解得0x ≠
()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞U ，D 关于原点对称.
任取x D ∈，都有()()
()2233x x f x f x x x
+-+-===-， ()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，
故选：C .
【点睛】
本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
求得函数的导数()(2)()x xe a f x x x
-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，
转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()x
g x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到
()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数()(3)(2ln 1)x
f x x e a x x =-+-+， 可得2()(3)(1)(2)()(2)()x x x
x a xe a f x e x e a x e x x x x -'=+-+-=--=-⋅， 又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，
则()0f x '=，即(2)()0x xe a x x
--⋅=在(1,)+∞上有两解， 即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，
令()x g x xe =，则()(1)0,(1)x
g x x e x '=+>>， 所以函数()x
g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数， 所以()1a g e >=且()2
22a g e ≠=， 又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立， 即(2)()0x xe a x x
--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立， 即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，
又由函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2
(2)2a g e >=， 综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2
(2,)a e ∈+∞，故选C. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．
【详解】
设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==Q ，||,2c PA PA ∴
=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2
c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22
222,22c c a e a
=∴==． 2e ∴=，故选A ．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论；
【详解】
解：1111()013333
a E X a +=⨯+⨯+⨯=， 222111111()(
)()(1)333333a a a D X a +++=⨯+-⨯+-⨯ 2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926
a a a a a a =++-+-=-+=-+ 01a <<Q ，()D X ∴先减小后增大
故选：D ．
【点睛】
本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
11．B
解析：B
【解析】
【分析】 根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =
，再由球的表面积公式，即可求解．
【详解】
设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得
2R =2252R =，所以球的表面积为22544502
S R πππ==⨯=球. 故选：B
【点睛】
本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
12．B
解析：B
【解析】
等比数列的性质可知226416a a a ⋅==,故选B .
二、填空题
13．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边 解析：79
- 【解析】
试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么
1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3
βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19
αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对
称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈.
14．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二
解析：1 【解析】 【分析】
先求出二项式9
()a x x
-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得
展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】
9()a x x -展开式的的通项为()992199r
r r r r r
r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令9233r r -=⇒=，
9()a x x
-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，
故答案为1. 【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考
查二项展开式的通项公式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
15．390【解析】【分析】【详解】用2色涂格子有种方法用3色涂格子第一步选色有第二步涂色共有种所以涂色方法种方法故总共有390种方法故答案为:390 解析：390 【解析】 【分析】 【详解】
用2色涂格子有
种方法,
用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有
种,
所以涂色方法种方法,
故总共有390种方法.
故答案为:390
16．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析：30°
【解析】 【分析】
作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解
cos ACB ∠即可. 【详解】
如图所示,在Rt ACD V 中,∵10,45AC m DAC =∠=︒,∴10DC m = 在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=︒,∴103BC m =
. 在ABC V 中,)
2
2
2
10103103cos 2
210103
ACB +-∠=
=
⨯⨯,∴30ACB ∠=︒.
故答案为：30° 【点睛】
本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.
17．【解析】试题分析：原式=考点：1指对数运算性质 解析：
278
【解析】
试题分析：原式=34
4
332542727log log 134588
-⎡
⎤
⎛⎫+⨯=+=
⎢⎥ ⎪
⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
考点：1.指对数运算性质.
18．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点
为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即 解析：25+
【解析】 【分析】 由题意可得00b
y x a
=
，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：2
2(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率c
e a
=，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】
由题意，双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00b
y x a
=
，① 又12MF MF ⊥，可得
00001y y
x c x c
⋅=-+-， 即为222
00y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，
由F 为焦点的抛物线2C ：2
2(0)y px p =>经过点M ， 可得2
2b pa =，且2
p
c =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --= 由c
e a =
，可得2410e e --=，解得25e =+ 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范
围)．
19．2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152025
解析：20 25 【解析】 设这三个数：
、
、
（），则
、
、
成等比数列，则
或
（舍），则原三个数：15、20、25
20．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率
解析：1
3
【解析】
试题分析：由题意得
1220
cos
,[1,1]112232222333
x
x x x x x πππππππ≤≤∈-⇒≤≤-≤≤-⇒≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)
13.1(1)3-=--
考点：几何概型概率
三、解答题
21．(1)见解析；(2) 43
sin α= 【解析】
试题分析：.（1）取AP 中点M ，易证PA ⊥面DMB ，所以PA BD ⊥，（2）以
,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面DPC 的法向量
()
13,1,3n =--u v ，设平面PCB 的法向量2n u u v
=()
3,1,3-，1212
12•1cos ,7
n n n n n n ==u v u u v
u v u u v u v u u v ，即43
sin α=
. 试题解析：
（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ， ∵DA DP =，BA BP =
∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ⋂= ∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ⊂面DMB ，∴PA BD ⊥
（2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=
∴DAP ∆是等腰三角形，ABP ∆是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，
3BM =.
∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥
以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A -
，()
B ，()1,0,0P ，()0,0,1D
从而得()1,0,1DP =-u u u v
，()DC AB ==u u u v u u u u u v
，()
1,BP =u u u v ，()1,0,1BC AD ==u u u v u u u v
设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =u v
则11•0•0n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u v u u u v
u v u u u v
，即11110
x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩
，∴(1n =u v ， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =u u v
，
由22•0•0n BC n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u v u u u v
u u v u u u v
，得22220
x z x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩
，∴2n =u u v ∴121212•1
cos ,7
n n n n n n ==u v u u v
u v u u v u
v u u v 设二面角D PC B --为α
，∴sin α==
点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 22．（1）1
3
； （2）()1E X =. 【解析】 【分析】
（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；
（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】
（1）由已知有1123432
101
()3
C C C P A C ⋅+==， 所以事件A 的发生的概率为
13
； （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；
2223342104(0)15C C C P X C ++===；1
1
1
1
33342107
(1)15
C C C C P X C ⋅+⋅===； 11
342
104
(2)15
C C P X C ⋅===； 所以随机变量X 的分布列为：
X
0 1 2
P
415 715 415
数学期望为()
0121151515
E X =???. 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题． 23．（1）证明见解析；（2）6
． 【解析】 【分析】
（1）证明1AA CD ⊥，CD AD ⊥，推出CD ⊥平面11AA D D ，得到CD AE ⊥，证明
AE ED ⊥，即可证明AE ⊥平面ECD ；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：∵四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， ∴1AA ⊥平面ABCD ，而CD ⊂平面ABCD ，则1AA CD ⊥， 又CD AD ⊥，1AA AD A =I ，
∴CD ⊥平面11AA D D ，因为平面11AA D D ，∴CD AE ⊥， ∵1AA AD ⊥，1AA AD =， ∴11AA D D 是正方形，∴AE ED ⊥， 又CD ED D =I ，∴AE ⊥平面ECD .
（2）解：建立如图所示的坐标系，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===，
则()()()()10,0,0,0,0,4,2,4,0,0,4,0A A C D ，
∴()0,2,2E ， ∴()()
()12,4,4,2,4,0,0,2,2A C AC AE =-==u u u u r u u u r u u u r ， 设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =r ，则·0·0n AC n AE ⎧=⎨=⎩
u u u v v u u u v v ，即240
220x y y z +=⎧⎨+=⎩，
不妨取()2,1,1n =--r
，
则直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为4446
=636
66n AC n AC
-+-==r u u u r g r u u u r g ．
【点睛】
本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 24．（1）见解析；（2）1
3
【解析】 【分析】
（1）在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，CD BC ⊥，在三棱锥M DEF -中，可得
MD MF ⊥，MD ME ⊥，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD EF ⊥； （2）由E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，可得1BE BF ==，求出三角形MEF 的面积，结
合()1及棱锥体积公式求解． 【详解】
（1）证明：Q 在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，
∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ⋂=，
MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；
（2）解：E Q 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点， 1BE BF ∴==，
11
1122MEF BEF S S V V ∴==⨯⨯=，
由（1）知，1111
23323
M DEF MEF V S MD -=⋅=⨯⨯=V ．
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题． 25．（I ）丙级；（Ⅱ）①
；②
.
【解析】 【分析】
（I ）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。

（Ⅱ）先根据题意将次品件数求出。

①根据题意知，这种抽取实验是服从二项分布的，根据二项分布的期望公式可求出。

②根据古典概型求概率的公式，可以求出的每种取
值的概率，进而求出。

【详解】 （I ）
，
，
，
，
，
，
由图表知，
，
，，
所以该设备的级别为丙级.
（Ⅱ）①从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率是，
依题意，～
，故
.
②从100件样品中任取2件，次品数的可能取值为0，1，2，
，
，
，
故.
【点睛】
对于（Ⅱ）问题①是二项分布（次独立重复试验中，事件A 发生的次数 ，其
期望为）利用公式得出。

26．（1）19；（2）89
. 【解析】
试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的
(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；
（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．
试题解析：（1） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种， 而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个
故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为
31279
= （2） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种
满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个
故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为
31279
= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率为18199
-= 考点：独立事件的概率．
【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．。