2011-2019高考文科数学全国卷真题分类汇编(含详细答案)专题：第11章 导数及其应用

第11章 导数及其应用
1.（2012全国文13）曲线在点处的切线方程为________.
2. (2015全国I 文14)已知函数的图像在点处的切线过点，则
.
3. (2015全国II 文16) 已知曲线在点处的切线与曲线相切，
则.
5.（2013全国I 文20）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；
6.（2013全国II 文21）已知函数.（1）求的极小值和极大值；
7. (2015全国II 文21)已知函数.(1)讨论的单调性；
9. (2014全国I 文12)已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D. 10.（2014新课标Ⅱ文21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为
.
（1） 求；
11. (2015全国I 文21)设函数.（1）讨论的导函数零点的个数；
12.（2011全国文10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）.
A. B. C. D.
13.（2012全国文21）设函数满足.（1）求的单调区间；
()3ln 1y x x =+()1,1()3
1f x ax x =++()()
1,1f ()2,7a =ln y x x =+()11，()221y ax a x =+++a =()()2e 4x f x ax b x x =+--()y f x =()()00f ，44y x =+a b ，2()e x f x x -=()f x ()()=ln +1f x x a x -()f x 32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a (2,)+∞(1,)+∞(,2)-∞-(,1)-∞-()3232f x x x ax =-++()y f x =()0,2x 2-a ()2e ln x
f x a x =-()f x ()f x '()e 43x f x x =+-1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
()f x ()e 2x f x ax =--()f x
14.（2013全国II 文12）.若存在正数使成立，则的取值范围是（） .
A. B. C. D.
15. （2014新课标Ⅰ文21）（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线斜率为.（1）求；
16. （2014新课标Ⅱ文11）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D. 17.（2011全国文21）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求，的值；
18．（2016全国文21）本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
19.（2017全国文9）9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增
B ．()f x 在（0，2）单调递减
C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称
20.（2017全国文14）14．曲线21
y x x
=+在点（1，2）处的切线方程为______________．
21（2017全国文21）21．（12分）已知函数()f x =e x (e x −a )−a 2x ．
（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．
x 2()1x x a -<a (,)-∞+∞(2,)-+∞(0,)+∞(1,)-+∞()2
1ln 2
a f x a x x bx -=+-()1a ≠()y f x =()()1,1f 0
b ()ln f x kx x =-()1,+∞k (],2-∞-(],1-∞-[)2,+∞[)1,+∞ln ()1a x b
f x x x
=
++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b
22（2018全国文6）6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点
()00，处的切线方程为
A ．2y x =-
B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x =
23.（2018全国文21）21．（12分）已知函数()e ln 1x f x a x =--．
（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1
e
a ≥时，()0f x ≥．
24．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为
A ．10x y --π-=
B ．2210x y --π-=
C ．2210x y +-π+=
D ．10x y +-π+=
25．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则
A ．e 1a b ==-，
B ．a=e ，b =1
C ．1e 1a b -==，
D ．1e a -=，1b =-
26．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 27．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．
（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．
28．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：
（1）()f x 存在唯一的极值点；
（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 29．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．
高考真题详解
1.分析利用导数的几何意义先求得切线斜率. 解析因为，所以.所以，所以所求切线
的方程为，即.
2.解析由题意可得，，所以切线方程为. 又过点，即，解得.
3.解析根据题意，曲线在点处的切线斜率为，故切线方程为，与联立得，显然，所以由判别式得.
评注由导数的意义求函数问题是基本的研究方法，函数问题首先要考虑定义域的范围，含有参数一般要对参数进行分类讨论.
5.分析（1）利用函数值和导函数值列出方程（组）求解字母的值；（2）先求出函数的导数
极值点，进一步确定单调区间，再根据极值点左右两边的符号判断函数的极值.
解析：（1）.由已知得，.故，.从而
6.分析（1）先求出的导数，然后求出极值点，再求出极值，（2）设出切点，得出切线
方程，然后运用基本不等式求出截距的取值范围.
解析：（1）的定义域为，① 当或时，；当时，. 所以在，上单调递减，在上单调递增.
故当时，取得极小值，极小值为；当时，取得极大值，极大值为.
7.分析 (1)由题意，先求出函数的定义域，再对函数进行求导，得，然后分，
两种情况来讨论；(2)由(1)知当时，在上无最大值；当时，最大值为，因此，故.令，则()3ln 1y x x =+3
'3ln 13ln 4y x x x x
=++⋅
=+1
'4x k y ===14(1)y x -=-43y x =-()12f a =+()131f a '=+()()()2311y a a x -+=+-()2,7()()723121a a --=+-1a =ln y x x =+()11，221y x =-()221y ax a x =+++202ax ax =++0a ≠28a a ∆=-=08a =()()e 24x f x ax a b x '=++--()04f =()04f '=4b =8a b +=()f x ()f x (),-∞+∞()()e 2.x f x x -'=--(),0x ∈-∞()2,x ∈+∞()0f x '<()0,2x ∈()0f x '>()f x (),0-∞()2,+∞()0,20x =()f x ()0f x =2x =()f x ()224e f -=()1f x a x
'=-0a …0a >0a …()f x ()0+∞，0a >()
f x 1ln 1f a a a ⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭122f a a ⎛⎫
>- ⎪⎝⎭
ln 10a a +-<()ln 1g a a a =+-
在上是增函数. 当时，；当时，.因此的取值范围是.
解析(1)的定义域为，. 若，则，所以在上单调递增. 若，则当时，；当时，，所以在上单
调递增，在上单调递减. 评注高考中对函数与导数的考查，主要体现用导数的工具性来解决函数性质问题，函数的性质是函数的终极内容，学习导数以后用导数这一工具可使求解更直接简单，特别要注意函数的定义域和对参数进行讨论.
9.解析时，不符合题意.时，，令，得，
.若，则由图像知有负数零点，不符合题意.
则，由图像结合知，此时必有，即，化简得，
又，所以，故选C.
评注本题考查导数在函数中的应用，同时考查分类讨论的思想及数形结合的思想，要求由较强的分析问题的能力及运算能力.
10.解析（1），，曲线在点处的切线方程为.由题设得，所以. 评注本题主要考查导数的几何意义及导数的应用，考查了分类讨论、函数与方程、等价转化等思想方法.把曲线与直线只有一个交点的问题转化为研究函数
在上有唯一实根问题是解决问题的关键. 11.解析（1），.
()g a ()0+∞，01a <<()0g a <1a >()0g a >a ()01，()f x ()0+∞，
()1
f x a x
'=-0a …()0f x '>()f x ()0+∞，
0a >10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<()f x 10a ⎛⎫
⎪⎝⎭，1+a ⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
，0a =0a ≠()236f x ax x '=-()0f x '=10x =22
x a
=0a >()f x 0a <()010f =>20f a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
3284310a a a ⨯-⨯+>24a >0a <2a <-()236f x x x a '=-+()0f a '=()y f x =()0,22y ax =+2
2a
-
=-1a =()y f x =2y kx =-()()32314g x x x k x =-+-+R ()()2e ln 0x f x a x x =->()22e x a
f x x
'=-
显然当时，恒成立，无零点.
当时，取，
则，即单调递增.令，即. 画出与的图像，如图所示.由图可知，必有零点，所以导函数存在唯一零点.
12.解析因为，由函数零点存在性定理，可知函数零点处于区间内．故选择C.
13.解析（1）的定义域为，.若，则，所以在
上单调递增.若，则当时，；当时，
.所以在上单调递减，在上单调递增.
14.分析把参数分离出来，利用导数知识进行求解. 解析：因为，所以.令，所以所以在上单调递增，所以，所以的取值范围为，故
选D.
15.解析(I).由题设知，解得. 评注本题考查导数的几何意义，导数在解函数问题中应用等知识，同时考查了转化和分类讨论的数学思想，对运算能力及推理能力的要求较高.
16.解析依题意得在上恒成立，即在上恒成立，因为，
所以，所以，故选D. 0a …()0f x '>()f x '0a >()()22e x a
g x f x x
'==-()224e 0x a g x x '=+
>()f x '()()22e 0x
a g x f x x
'==-=22e x a x
=
22e x y =a
y x
=
()f x '()f x '11042f f ⎛⎫
⎛⎫⋅
< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
()f x (),-∞+∞'()e x f x a =-0a …'()0f x >()f x (),-∞+∞0a >(),ln x a ∈-∞'()0f x <()ln ,x a ∈+∞'()0f x >()f x (),ln a -∞()ln ,a +∞a ()21x x a -<12x a x -
>()12
x f x x =-()12ln 20.x
f x -'=+>()f x ()0,+∞()()0011f x f =-=->a ()1,-+∞()()1a
f x a x b x
'=
+--()10f '=1b =()10f x k x '=-…()1,+∞1
k x
…()1,+∞1x >1
01x
<
<1k …
17.解析（1），由于直线的斜率为，
且过点，故，即，解得，．
18．（2016全国文21）本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 解析：（Ⅰ）'()(2)(1)x f x e a x =+-
①当0a >时，'()0f x >解得1x >；'()0f x <解得1x <；
②当2e
a >-时，'()0f x >解得ln 2x a >或者1x <；'()0f x <解得1ln 2x a <<
③2e
a <-，'()0f x >解得1x >或者ln 2x a <；'()0f x <解得ln 21a x <<
④2
e
a =-，'()0f x ≥恒成立；
19.（2017全国文9）9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增
B ．()f x 在（0，2）单调递减
C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
20.（2017全国文14）14．曲线21
y x x
=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+
【解析】设()y f x =，则21
()2f x x x
'=-
，所以(1)211f '=-=， 所以曲线2
1
y x x
=+
在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 21（2017全国文21）21．（12分）
已知函数()f x =e x (e x −a )−a 2x ． （1）讨论()f x 的单调性；
()()
2
2
1
ln 1x a x x
b f x x
x ⎛⎫
⎪
⎝⎭+-=-'+230x y +-=12
-()1,1()()111
1
2f f ⎧⎪⎨⎪⎩
==-'11
2
2b a b ⎧⎪⎨⎪⎩=-=-1a =1b =
（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．
【解析】（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2e e (2e )(e )x x x x f x a a a a '=--=+-， ①若0a =，则2()e x f x =，在(,)-∞+∞单调递增． ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =．
当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．
③若0a <，则由()0f x '=得ln()2
a
x =-．
当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a
-∞-单
调递减，在(ln(),)2
a
-+∞单调递增．
（2）①若0a =，则2()e x f x =，所以()0f x ≥．
②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．
③若0a <，则由（1）得，当ln()2
a
x =-时，()f x 取得最小值，最小值为
23(ln())[ln()]242a a f a -=--．从而当且仅当23[ln()]042
a
a --≥，即3
42e a ≥-时()0f x ≥．
综上，a 的取值范围为3
4
[2e ,1]-．
22（2018全国文6）6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点
()00，处的切线方程为D
A ．2y x =-
B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x =
23.（2018全国文21）21．（12分）
已知函数()e ln 1x
f x a x =--．
（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1
e
a ≥时，()0f x ≥．
解：（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，
，f ′（x ）=a e x –1
x
． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =
2
1
2e ．
从而f （x ）=
21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x
-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．
所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1e
x
x --．
设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1
()e x g x x
'=-．
当0<x <1时，g ′（x ）<0；当x >1时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1e
a ≥时，()0f x ≥．
24．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为
A ．10x y --π-=
B ．2210x y --π-=
C ．2210x y +-π+=
D ．10x y +-π+=
【答案】C 【解析】
2cos sin ,y x x '=-π
2cos πsin π2,x y =∴=-=-'
则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ．
25．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则
A ．e 1a b ==-，
B ．a=e ，b =1
C ．1e 1a b -==，
D ．1e a -=，1b =-
【答案】D
【解析】∵e ln 1,x
y a x '=++
∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．
26．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．
【答案】30x y -=
【解析】2
2
3(21)e 3()e 3(31)e ,x
x
x
y x x x x x '=+++=++
所以切线的斜率0|3x k y ='==，
则曲线2
3()e x
y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．
27．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．
（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞.
【解析】（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.
当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，
所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减.
又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫
=>=- ⎪⎝⎭
，故()g x 在(0,π)存在唯一零点.
所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.
（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.
由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减. 又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈…时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.
28．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：
（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11
()ln 1ln x f x x x x x
-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1
y x
=
单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<， 1ln 41(2)ln 2022
f -'=-
=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.
又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=.由01x α>>得01
1x α<<. 又1111()1ln 10f f ααααα
α⎛⎫⎛⎫=---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 29．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．
【答案】（1）见详解；（2）8[,2)27
. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3a x =
． 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减； 若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；
若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减． （2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3
227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩
所以3
32,02,27,2 3.27
a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩ 当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 当23a ≤<时，327
a 单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27
． 综上，M m -的取值范围是8
[,2)27．。