复变函数 第讲

f
(z0
)

1 2π
i
C
f (z) z z0
d
z.
(3.5.1)
19
[证] 由于f(z)在z0连续, 任给e>0, 存在d(e)>0, 当|zz0|<d时, |f(z)f(z0)|<e. 设以z0为中心, R
为半径的圆周K:|zz0|=R全部在C的内部,
且R<d.
D R C z z0 K
K
6
zΔ z
F (z Δ z) F (z) z f ( ) d .
又因
zΔ z
zΔ z
f (z) d f (z) d f (z)Δ z
z
z
F(z
Δ z) Δz
F(z)

f
(z)

1
zΔ z
f ( ) d f (z)
Δz z
1
1 |Δ z
|

e

|Δ
z
|
e
这就是说
lim
Δ z0
F(z Δ z) F(z) Δz

f
(z)
0,
即 F(z) f (z)
8
定义 如果函数j(z)在区域D内的导数等于 f(z), 即j '(z)=f(z), 则称j(z)为f(z)在区域B内
的原函数.
定理二表明F(z) z f ( ) d是f (z)的 z0
复变函数
第8讲
1
§4 原函数与不定积分
2
定理一 如果函数f(z)在单连通域B内处处解
析, 则积分 f (z) d z 与连接起点及终点 C
的路线C无关.
C1
B z2
z1
C2
B C2
z2
C1 z1
3
由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积
分只与起点z0和终点z1有关, 如图所示, 我们
有 f (z) d z f (z) d z z1 f (z) d z z0
12
i
例1 求积分 z cos z d z 的值 0
[解] 函数zcos z在全平面内解析, 容易求得它 有一个原函数为zsin z+cos z. 所以
i 0
z
cos
z
d
z

z
sin
z

cos
z
i 0
i sin i cos i 1
i e1 e e1 e 1 e11.

2pi (cospz)(4)
(5 1)!
f (z)d z F(z) c
10
定理三 如果f(z)在单连通域B内处处解析,
G(z)为f(z)的一个原函数, 则
z1 z0
f
(z) d
z

G( z1 )

G(z0 ),
这里z0, z1为域B内的两点.
[证] 因为 z f (z) d z 也是f(z)的原函数, 所
以
z0
z
f (z) d z G(z) c. z0
11
z
f (z) d z G(z) c. z0
当z=z0时, 根据柯西-古萨基本定理, cG(z0)
z
z0 f (z) d z G(z) G(z0 ),
或
z1 z0
f
(z) d
z

G( z1 )
G(z0 ).
(3.4.2)
有了原函数, 不定积分和积分计算公式 (3.4.2), 复变函数的积分就可用微积分学 中类似的方法去计算.
I
|
1 2π
Δ zf (z) d z C (z z0 )2 (z z0 Δ z)
|Δ z || f (z) | d s

C
|
z

z0
|2|
z

z0
Δ
z
. |
C
z0
d
D
30
C
z0
d
D
f(z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上 有|f(z)|M. d为z0到C上各点的最短距离, 则 取|Dz|适当地小使其满足|Dz|<d/2,
1 2π
sin iz
|z|4
z
d z;
2)
|z|4
z
1 1

z
2
3

d
z.
[解] 由(3.5.1)得
| 1 sin z
1)
d z sin z 0;
2π i |z|4 z
z0
2) 1 2 d z 1 d z 2 d z
|z|4 z 1 z 3
2i
2
13
例2 试沿区域Im(z)0, Re(z)0内的圆弧|z|=1,
计算积分 i ln( z 1) d z的值 1 z 1
[解] 函数 ln( z 1) 在所设区域内解析. z 1
它的一个原函数为 1 ln 2 (z 1), 所以 2
| i ln( z 1) d z 1 ln 2 (z 1) i
31
因此,
|
z

z0
|
d,
|
z
1 z0
|

1 d
,
|
z

z0
Δ
z
||
z

z0
|

|Δ
z
|
d 2
,
1
2
| z z0 Δ z | d
1 |Δ z || f (z) | d s
ML
|
I
|
2π
C
|
z

z0
|2|
z

z0
Δ
z
|
|Δ
z
| π
d3
L是C的长度
32
这就证得了当Dz0时,I0, 也就证得了
1 z 1
2
1
14
| i
1
ln( z 1) z 1
d
z

1 2
ln
2(z
1)
i 1
1 [ln 2 (1 i) ln 2 (2)] 2

1 2

1 2
ln
2

π 4
i 2

ln
2
2

π 2 3 ln 2 2 π ln 2 i
32 8
17
既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相
同. 则取以z0为中心, 半径为d的很小的圆周 |zz0|=d(取其正向)作为积分曲线C. 由于f(z) 的连续性, 在C上的函数f(z)的值将随着d的缩
小而逐渐接近于它在圆心z0处的值, 从而使 我们
猜想积分
而接近于
C
f (z) z z0
d
z
C1
C2
C1
B z2
z1
C2
B C2
z2
C1 z1
4
固定z0, 让z1在B内变动, 令z1=z, 则积分
z f ( ) d 在B内确定了一个单值函数
z0
z
F(z) f ( ) d (3.4.1) z0
对这个函数我们有
定理二 如果f(z)在单连通域B内处处解析,
则函数F(z)必为B内的一个解析函数, 并且
一个原函数.
f(z)的任何两个原函数相差一个常数. 设G(z) 和H(z)是f(z)的两个原函数, 则 [G(z)H(z)]'=G '(z)H '(z)=f(z)f(z)=0. 所以 G(z)H(z)=c, c为任意常数.
9
因此, 如果函数f(z)在区域B内有一个原函数 F(z), 则它就有无穷多个原函数, 而且具有一 般表达式F(z)+c, c为任意常数. 跟在微积分学中一样, 定义: f(z)的原函数的 一般形式F(z)+c(其中c为任意常数.)为f(z)的 不定积分, 记作
K z z0
K | z z0 |

e
R
d
s

2π
e
K
这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只
要R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该
积分的值与R无关, 所以只有在对所有的R
积分为值为零才有可能, 因此, 由(3.5.2)即
得要证的(3.5.1)式.
22
f
(z0 )

1 2π
i
C
f (z) z z0
按柯西积分公式有
f
(z0 )Fra bibliotek1 2π
i
C
f (z) z z0
d
z.
f
(z0
Δ
z)

1 2π
i
C
z

f (z) z0 Δ
z
d
z
f (z0 Δ z) f (z0) Δz

1 2π
i
C
(z

f (z) z0 )(z z0
Δ
z)
d
z
28
因此
1
2π i C
f (z) (z z0 )2
dz
f (z0
Δ z) Δz
f
(z0 )

1 2π
i
C
(z
f (z) z0 )2
d
z

1
f (z)
dz
2π i C (z z0 )(z z0 Δ z)

1 2π
i
C
(z

Δ zf z0 )2 (z
(z) z0
Δ
z)
d
z

I
29
现要证当Dz0时I0, 而
|
8
15
§5 柯西积分公式
16
设B为一单连通域, z0为B中一点.如果f (z)在B
内解析, 则函数
f (z) z z0
在z0不解析.所以在B内围
绕z0的一条闭曲线C的积分
C
f (z) z z0
d
z一般不为
零.又根据闭路变形原理, 这积分的值沿任何一
条围绕z0的简单闭曲线都是相同的.现在来求这 个积分的值.
依此类推, 用数学归纳法可以证明:
f
(n) (z0 )

n! 2π i
C
(z
f
(z) z0 )n1
d
z
此公式可以这样记忆: 把柯西积分公式
(3.5.1)的两边对z0求导数, 右边求导在积分 号下进行, 求导时把被积函数看作是z0的函 数, 而把z看作常数.
高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求 导, 而在于通过求导来求积分.
|z|4 z 1
|z|4 z 3
2π i 1 2π i 2 6π i.
24
§6 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高 阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通 过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数 在这区间上是否连续也不一定,更不要说它 有高阶导数存在了.
F '(z)=f(z).
5
[证] 从导数的定义出发来证. 设z为B内任意
一点, 以z为中心作一含于B内的小圆K, 取|Dz|
充分小使z+Dz在K内. 于是由(3.4.1)得
zΔ z
z
F(z Δ z) F(z) f ( ) d f ( ) d
z0
z0

z0
z+Dz z
zΔ z
f
(
)
f
(z)d
.
Δz z
7
则任给e>0, 存在d>0, 当|z|<d即|Dz|<d时, 总
有 |f()f(z)|<e, 因此
1
|Δ z |
zΔ z
[ f ( ) f (z)]d
z

1 |Δ z
|
zΔ z
|
z
f ( )
f (z) | d s

20
C
f (z) z z0
d
z

K
f (z) z z0
d
z
f (z0 ) d z f (z) f (z0 ) d z
K z z0
K z z0
2π
if
(z0)
K
f (z) f (z0) d z z z0
(3.5.2)
21
f (z) f (z0 ) d z | f (z) f (z0 ) | d s
25
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它 的n阶导数为:
f
(n)
(z0
)

n! 2π i
C
(z
f
(z) z0 )n1
d
z
(n

1,2,)
(3.6.1)
其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0 的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部 全含于D.
26
[证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形,
即
f
(z0 )

1 2π
i
C
(z
f (z) z0 )2
d
z
先按定义有
f
(
z0
)

lim
Δ z0
f (z0 Δ z) Δz
f (z0) ,
因此就是要证
1
2π i C
f (z) (z z0 )2
dz
f (z0
Δ z) Δz
f (z0)
在Δ z 0时也趋向于零.
27
34
例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周:
|z|=r>1. cospz
ez
1)
C
(z
1)5
d
z;
2)
C
(z2
1) 2
d
z
[解] 1) 函数
cospz
(z 1)5
在C内的z=1处不解析,
但cospz在C内却是处处解析的. 根据(3.6.1)有
| C
cospz
(z 1)5
d
z
的值也将随着d的缩小
C
f (z0) d z z z0

f
( z0 )
C
1 z z0
dz
2π
if
(z0 ).
18
其实两者是相等的, 即
C
f (z) z z0
d
z

2π
if
(z0
)
我们有下面的定理.
定理(柯西积分公式) 如果f(z)在区域D内处处 解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则
f
(z0 )

1 2π
i
C
(z
f (z) z0 )2
d
z
再利用同样的方法去求极限:
(3.6.2)
lim
Δ z0
f (z0
Δ z) Δz