2018-2019湖北省宜昌市高二上学期期中考试数学（理）试题

宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考
高二（理科）数学
（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1. 直线350x y +-=的倾斜角为（ ）
A. -30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
2.圆x 2
+y 2
-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为：（ ）
A. 2
B.
2 C. 1
D. 2
3.若直线x +（1+m ）y -2=0和直线mx +2y +4=0平行，则m 的值为（ ）
A. 1
B.
C. 1或-2
D.23
-
4.执行程序框图，该程序运行后输出的k 的值是（ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
5.直线y =kx +2被圆x 2
+y 2
-4y =0所截得的弦长是（ ）
A. 2
B. 4
C. 26
D. 6
6.在平面直角坐标系xOy 中，与原点位于直线3x +2y +5=0同一侧的点是（ ）
A.(-3，4)
B.(-3，-2)
C. (-3，-4)
D.(0，-3)
7.已知圆C ：（x -2）2+（y +1）2
=3，从点P （-1，-3）发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为（ ）
A.43
- B. 23
-
C.
43
D.
23
8.若直线l 1：x -2y +1=0与l 2：2x +ay -2=0平行，则l 1与l 2的距离为（ ）
A.
5
B.
5
C.
15
D.
25
9.已知圆2
2
4x y +=，直线:l y x b =+，若圆2
2
4x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为
A.(1,1)-
B.[1,1]-
C. [
D. (
10.经过点M （1，1）且在两轴上截距相等的直线是（ ）
A.2x y +=
B. 1x y +=
C.11x ==或y
D. 2x y += 或0x y -=
11.已知点A （2，-3）、B （-3，-2），直线l 过点P （1,1），且与线段AB 相交，则直线l 的斜率
k 的取值范围是( )
A.3(,4][,)4
-∞-⋃+∞ B. 13(,][,)44
-∞-⋃+∞ C.3[4,]4- D.3[,4]4
12.设x ，y 满足约束条件840
1040
x y x y y x --≤⎧⎪
++≥⎨⎪-≤⎩
，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则11a b +
的最小值为（ ）
A. 5
B.
52
C.
92
D. 9
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若直线(2)30a x y --+=的倾斜角为45°，则实数a 的值为______ ．
14.圆C 1：（x -m ）2
+（y +2）2
=9与圆C 2：（x +1）2
+（y -m ）2
=4内切，则m 的值为______ ．
15.已知两点(,0)A m -，(,0)B m （0m >），如果在直线34250x y ++=上存在点P ，使得
090APB ∠=，则m 的取值范围是______．
16.函数f （x ）______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题10分）已知直线l 经过直线2x +y -5=0与x -2y =0的交点P ． （1）若直线l 平行于直线l 1：4x -y +1=0，求l 的方程； （2）若直线l 垂直于直线l 1：4x -y +1=0，求l 的方程．
M，AB边所在直线的方程为18.（本小题12分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点(2,0)
--=, 点(1,1)
T-在AD边所在直线上．
x y
360
（1）求AD边所在直线方程的一般式；
（2）求矩形ABCD外接圆的方程.
19.（本小题12分）已知圆C：x2+y2+8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB2l的方程．
20.（本小题12分）已知4335251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，（本题不作图不得分）
（1）求2z x y =+的最大值和最小值； （2）求1
1
y z x +=
+的取值范围．
21.（本小题12分）已知直线方程为（2-m ）x +（2m +1）y +3m +4=0． （1）证明：直线恒过定点；
（2）m 为何值时，点Q （3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ．B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．
22.（本小题12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：
221214600x y x y +--+=及其上一点A （2,4）．
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；
（3）设点(,0)
T t满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值
范围．
宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联
考
高二（理科）数学答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A C B A C B D D A C 13、 3 14、 -2或-1 15、 [5,+∞） 16、13
17.解：联立
250
20
x y
x y
+-=
⎧
⎨
-=
⎩
，解得P（2，1）．.......（2分）
（Ⅰ）设直线l：4x-y+m=0，把（2，1）代入可得：4×2-1+m=0，m=-7． .......（4分）∴l的方程为：4x-y-7=0； .......（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，
把点P（2，1）代入上述方程可得：2+4+n=0，解得n=-6． .......（8分）
∴x+4y-6=0． .......（10分）
18.解：（Ⅰ）∵AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，
∴直线AD的斜率为-3， .......（3分）
又因为点T（-1,1）在直线AD上，
∴AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)，即3x+y+2=0 ........（6分）
（Ⅱ）由
360
320
x y
x y
--=
⎧
⎨
++=
⎩
，解得点A的坐标为（0，-2） .......（9分）
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=(2-0)2+(0+2)2=8，
∴22
AM=从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8........（12分）19.解：将圆C的方程x2+y2+8y+12=0配方得标准方程为x2+（y+4）2=4，
则此圆的圆心为（0，-4），半径为2． .......（2分） （1）若直线l 与圆C 相切，则有
24221
a a -+=+，∴3
4
a =
； .......（6分） （2）过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|CD |=
2
4221
a a -+=+，∴a =1或7 ....（10分）
故所求直线方程为7x +y +14=0或x +y +2=0． .......（12分） 20.解：（1）由已知得到平面区域如图： .......（4分）
z =2x +y 变形为y =-2x +z ，
当此直线经过图中A 时使得直线在y 轴的截距最小，z 最小，
经过图中B 时在y 轴 的截距最大，z 最大，A （1，1），B （5，2）， 所以z =2x +y 的最大值为2×5+2=12，最小值2×1+1=3； .......（8分） （2）1
1
y z x +=
+的几何意义表示区域内的点与（-1，-1）连接直线的斜率， 所以与B 的直线斜率最小，与C 连接的直线斜率最大， .......（10分）
所以11y z x +=+的最小值为
211512
+=+，最大值为22
1
2751110
+=+ 所以11y z x +=+的取值范围是[127
,210
]． .......（12分）
21.（1）证明：直线方程为（2-m ）x +（2m +1）y +3m +4=0，
可化为（2x +y +4）+m （-x +2y +3）=0，对任意m 都成立， .......（2分） 所以230240x y x y -++=⎧⎨
++=⎩，解得1
2x y =-⎧⎨=-⎩
，
所以直线恒过定点（-1，-2）； .......（4分）
（2）解：点Q （3，4）到直线的距离最大，可知点Q 与定点P （-1，-2）的连线的距离就是所求最大值，
即PQ==2． .......（6分）
k PQ =
423312+=+，则（2-m ）x +（2m +1）y +3m +4=0的斜率为23-， 可得32221m m --=-+，解得m =47
． .......（8分）
（3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A 、B 两点， 直线方程为y +2=k （x +1），k ＜0， .......（6分）
则A （
2
1k
-，0），B （0，k -2），S △AOB =12122k k -⋅- .......（8分） =
12(1)(2)2k k --=2+2()2
k
k -+-≥2+2=4， 当且仅当k =-2时取等号，面积的最小值为4． .......（10分） 此时直线的方程为2x +y +4=0． .......（12分） 22.解：（1）∵N 在直线x =6上，∴设N （6，n ），
∵圆N 与x 轴相切，∴圆N 为：（x -6）2
+（y -n ）2
=n 2
，n ＞0， .......（2分） 又圆N 与圆M 外切，圆M ：x 2
+y 2
-12x -14y +60=0，即圆M ：（x -6）2
+（x -7）2
=25， ∴|7-n |=|n |+5，解得n =1，
∴圆N 的标准方程为（x -6）2+（y -1）2=1． .......（4分） （2）由题意得OA =2，k OA =2，设l ：y =2x +b ， 则圆心M 到直线l
的距离：d =
=
， 则|BC
|==BC
=
= .......（6分）
解得b =5或b =-15，
∴直线l 的方程为：y =2x +5或y =2x -15． .......（8分） （3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
∵A （2，4），T （t ，0），，则2121
24x x t
y y =+-⎧⎨=+⎩，① .......（10分）
∵点Q 在圆M 上，∴（x 2-6）2
+（y 2-7）2
=25，② 将①代入②，得（x 1-t -4）2+（y 1-3）2=25，
∴点P （x 1，y 1）即在圆M 上，又在圆[x -（t +4）]2+（y -3）2=25上， 从而圆（x -6）2
+（y -7）2
=25与圆[x -（t +4）]2
+（y -3）2
=25有公共点， ∴5-
22t -≤≤+ ∴实数t
的取值范围是[22-+． .......（12分）。