2022年沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专项测试试卷(精选)

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专项测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（）
A．5厘米B．4厘米C．13
2
厘米D．
13
4
厘米
2、如图，AB为O的直径，C为D外一点，过C作O的切线，切点为B，连接AC交O于D，
38
C
∠=︒，点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则AED
∠的大小是（）
A．19°B．38°C．52°D．76°
3、如图，O是正方形ABCD的外接圆，若O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）
A．4 B．8 C．D．
4、如图，在圆中半径OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（）
A．1
6
πB．1
3
πC．
2
3
πD．π
5、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（）
A ．弧AC ＝弧AD
B ．弧B
C ＝弧B
D C ．C
E ＝DE D ．OE ＝BE
6、如图，已知O 中，50AOB ∠=︒，则圆周角ACB ∠的度数是（ ）
A ．50°
B ．25°
C ．100°
D ．30°
7、如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是边AC 上一动点，连接BD ，以CD 为直径的圆交BD 于点E ．若AB 长为4，则线段AE 长的最小值为（ ）
A 1
B ．2
C ．D
8、如图，直线
3
3
4
y x
=--交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1
个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）
A．
7
(,0)
3
-B．
17
(,0)
3
-
C．
7
(,0)
3
-或
17
(,0)
3
-D．（﹣2，0）或（﹣5，0）
9、如图，在ABC中，90
ABC︒
∠=，30
BAC︒
∠=，8
AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后得到AB C''
△，则图中阴影部分面积为（）
A．4πB．8π-C．4π-D．
10、已知O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（）
A．点在圆内B．点在圆外C．点在圆上D．无法判断
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 ___度．
2、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________
3、边长为2的正三角形的外接圆的半径等于___．
4、如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别以A，C为圆心，AO，CO为半径画圆
弧，交菱形各边于点E，F，G，H．若AC=2
BD=，则图中阴影部分的面积是
_______．（结果保留π）
5、如图，点A（2，0），B（0，2），将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是_________
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点A在O上，点P在O内，给出如下定义：连接
=，则称点P是点A关于O的k倍特征点．
AP并延长交O于点B，若AP kAB
1,0．
（1）如图，点A的坐标为()
①若点P 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则点P 是点A 关于O 的_______倍特征点； ②在110,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，311,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭
这三个点中，点_________是点A 关于O 的12倍特征点； ③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，60DAO ∠=︒.点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于O 的12倍特征点，求点E 的坐标；
（2）若当k 取某个值时，对于函数()101y x x =-+<<的图象上任意一点M ，在O 上都存在点N ，使得点M 是点N 关于O 的k 倍特征点，直接写出k 的最大值和最小值．
2、如图，四边形ABCD 为平行四边形，以AD 为直径的⊙O 交AB 于点E ，连接DE ，DA ＝DE
DC ＝5．过点E 作直线l ．过点C 作CH ⊥l ，垂足为H ．
（1）若l ∥AD ，且l 与⊙O 交于另一点F ，连接DF ，求DF 的长；
（2）连接BH ，当直线l 绕点E 旋转时，求BH 的最大值；
（3）过点A 作AM ⊥l ，垂足为M ，当直线l 绕点E 旋转时，求CH ﹣4AM 的最大值．
3、如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，以点 A 为圆心，1为半径作圆，点 E 是⊙A 上的一动点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F ，接 AF ．
（1）求CF 长；
（2）当A 、E 、F 三点共线时，求EF 长；
（3） AF 的最大值是__________．
4、如图，抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ．
（1）求a的值；
（2）点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；
（3）点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．
5、（1）请画出ABC绕点B逆时针旋转90°后的A 1BC1．
（2）求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留根号和π）．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．
【详解】
解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，
∴AC=8-2=6厘米，
过点O作OB⊥AC于点B，
则AB=1
2AC=1
2
×6=3厘米，
设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中，
OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，
解得r=13
4
厘米．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2、B
【分析】
连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解
905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解：连接,BD AB 为O 的直径，
90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒
38,C ∠=︒
903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，
90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒
38,AED ABD ∴∠=∠=︒
故选B
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.
3、D
【分析】
连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE =BE ，由垂径定理可知BC =2BE ，故可得出结论．
【详解】
解：连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，
∴OB =OC ，∠BOC =90°，
∴∠OBE =45°，45BOE ∠=︒
∴OE =BE ，
∵OE 2+BE 2=OB 2，
∴BE =
∴BC =2BE =ABCD 的边长是
故选：D
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
4、C
【分析】
连接OA ，OB ，根据平行线的性质确定OAB CAB S S =△△，再根据AB =CO 和圆的性质确定OAB 是等边三角形，进而得出60AOB ∠=︒，最后根据扇形面积公式即可求解．
解：如下图所示，连接OA ，OB ．
∵OC AB ∥，
∴OAB CAB S S =△△．
∴S 阴=S 扇形AOB ．
∵AO ，BO ，CO 都是O 的半径，
∴AO =BO =CO ．
∵AB =CO =2，
∴AO =BO =AB =2．
∴OAB 是等边三角形．
∴60AOB ∠=︒．
∴S 阴=S 扇形AOB =260223603
ππ⨯=． 故选：C
【点睛】
本题考查平行线的性质，等边三角形的判定定理，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
5、D
【分析】
根据垂径定理解答．
解：∵AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，
∴弧AC ＝弧AD ，弧BC ＝弧BD ，CE ＝DE ，
故选：D ．
【点睛】
此题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，熟记定理是解题的关键．
6、B
【分析】
根据圆周角定理，即可求解．
【详解】 解：∵1,502
ACB AOB AOB ∠=∠∠=︒ ， ∴25ACB ∠=︒ ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
7、D
【分析】
如图，连接,CE 由CD 为直径，证明E 在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，连接,AO 交O 于点,E 则此时AE
AO OE 最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解,AO OE ，即可得到
答案.
【详解】
解：如图，连接,CE 由CD 为直径，
90,CED BEC
E ∴在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，
连接,AO 交O 于点,E 则此时AE AO OE 最小，
90ACB ∠=︒，AC BC =，4,AB =
45,ABC BAC ∴∠=∠=︒
sin 4522,2,AC BC AB OB OC OE 2222210,AO
10 2.AE
故选D
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.
8、C
【分析】
由题意根据函数解析式求得A （-4，0），B （0．-3），得到OA =4，OB =3，根据勾股定理得到AB =5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，连接PD ，则PD ⊥AB ，PD =1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵直线
3
3
4
y x
=--交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，
∴PD AP OB AB
=，
∴1
35
AP =，
∴AP= 5
3
，
∴OP= 7
3
或OP=
17
3
，
∴P
7
(,0)
3
-或P
17
(,0)
3
-，
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．
9、B
【分析】
阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对
应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，
由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，
'AB AB ∴=，'8AC AC ==，
在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，
142
BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，
有勾股定理可知：AB
∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S
22908601
43603602
π⨯⨯=--⨯
8π=-
故选：B ．
【点睛】
本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．
10、A
【分析】
直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．
【详解】
解：∵⊙O 的半径为5cm ，点P 与圆心O 的距离为4cm ，5cm ＞4cm ，
∴点P 在圆内．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．
二、填空题
1、140
【分析】
作ABC ∆的外接圆，根据三角形内心的性质可得：12IBC ABC ∠=∠，12
ICB ACB ∠=∠，再由三角形内角和定理得出：70A ∠=︒，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．
【详解】
解：如图所示，作ABC ∆的外接圆，
∵点I 是ABC ∆的内心，
∴BI ，CI 分别平分ABC ∠和ACB ∠， ∴12IBC ABC ∠=∠，12
ICB ACB ∠=∠，
∵125BIC ∠=︒，
∴18012555IBC ICB ∠+∠=︒-︒=︒，
∴()2110ABC ACB IBC ICB ∠+∠=∠+∠=︒，
∴70A ∠=︒，
∵点O 是ABC ∆的外心，
∴2140BOC A ∠=∠=︒，
故答案为：140．
【点睛】
题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．
2、
【分析】
1
22S l r rl =⋅=ππ即可得出圆锥侧面积为
．
【详解】
∵ABC 是一个圆锥在某平面上的正投影
∴ABC 为等腰三角形
∵AD ⊥BC ∴122
CD BD BC ===
在Rt ADC 中有A C =
即
AC
由圆锥侧面积公式有2S rl ==⨯=ππ．
故答案为：。

【点睛】
本题考查了计算圆锥的侧面积，若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2r π，圆锥的侧面积为122S l r rl =⋅=ππ．
3【分析】
过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．
【详解】
如图所示，ABC 是正三角形，故O 是ABC 的中心，60CAB ∠=︒，
∵正三角形的边长为2，OE ⊥AB ∴112AE AB ==，1302
OAE CAB ∠=∠=︒， ∴12
OE OA =， 由勾股定理得：222AO AE OE =+， ∴2221
()2
AO AE AO =+， ∴2314
AO =，
∴AO =负值舍去)．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．
4、π
【分析】
图中阴影部分的面积=菱形的面积-2×扇形的面积．根据题意分别求出菱形和扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】
解：菱形面积=12
⨯两条对角线的乘积122=⨯= 根据勾股定理得到边长2AB =，
△ABD 是等边三角形，
即∠BAD =60°，
因为1122
OA AC ==⨯ 则S 扇形AEH =
6033602ππ⨯=，
那么阴影部分的面积22π
π=⨯=．
故答案为：π
【点睛】
此题考查菱形性质以及扇形的面积的计算的综合运用．
5、（143π+，2）
【分析】
先求出AB 的长度，然后分别求出点1O 的坐标为（2，2），点2O 的坐标为（2π+，2），点3O 的坐标为（4π+，0），即可得到观察图形可知，O 点坐标变化三次后回到x 轴正半轴，每个回到x 轴横坐标增加4π+，由此求解即可．
【详解】
解：∵A （2，0），B （0，2），
∴OA =BA =2，∠AOB =90°，
∴AB 的长度902180
ππ⋅⨯==， ∵将扇形AOB 沿x 轴正方形做无滑动的滚动，
∴12O O π=,12AO AO ==，
∴点1O 的坐标为（2，2），
∴点2O 的坐标为（2π+，2），
∴点3O 的坐标为（4π+，0），
∴观察图形可知，O 点坐标变化三次后回到x 轴正半轴，每个回到x 轴横坐标增加4π+， ∵10÷3=3余3，
∴点10O 的坐标为（2123π++，2），即（143π+，2），
故答案为：（143π+，2）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标规律探索，求弧长，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．
三、解答题
1、（1）①34；②3C ；③（34；（2）k k 【分析】
（1）①先求出AP ，AB 的长，然后根据题目的定义求解即可；
②先求出112OC =
，1OA =，即可得到1AC ==，假设点1C 是点A 关于⊙O 的12倍特征
点，得到112AC AE =，则22AE OA =>=不符合题意，同理可以求出
3AC ==3C 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，得到312AC AF =，可求出点F 的坐标为（0，-1），由点2C 的坐标为（12，0），得到212AC =，则
214
AC AB =，则点2C 不是点A 关于⊙O 的12倍特征点；
③设直线AD 交圆O 于B ，连接OE ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，先求出E 是AB 的中点，从而推出
∠EOA =30°，再求出EF =34OF =，即可得到点E 的坐标为（34； （2）如图所示，设直线1y x =-+与x 轴，y 轴的交点分别为C 、D 过点N 作NP ⊥CD 交CD 于P ，交圆O 于B ，过点O 作直线EF ⊥CD 交圆O 于E ，F 即可得到MN NP ≥，AM BP ≤，由MN kAN =，可得
1111MN k AM k k ==-+--，可以推出当MN AN
的值越大，k 的值越大，则当AM =BP ，MN =NP 时，k 的值最小，即当A 与E 重合，N 于F 重合时，k 的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．
【详解】
解：（1）①∵A 点坐标为（1，0），P 点坐标为（12-，0）， ∴32AP =
，B 点坐标为（-1，0）， ∴2AB =，
∵AP kAB =， ∴34
AP k AB ==， 故答案为：34
； ②∵1C 的坐标为（0，12），A 点坐标为（1，0）， ∴112
OC =，1OA =，
∴1AC =假设点1C 是点A 关于⊙O 的12倍特征点， ∴112
AC AE =，
∴22AE OA =>=不符合题意，
∴点1C 不是点A 关于⊙O 的12倍特征点，
同理可以求出3AC == 假设点3C 是点A 关于⊙O 的12倍特征点， ∴312
AC AF =， ∴3C 即为AF 的中点，
∴点F 的坐标为（0，-1），
∵点F （0，-1）在圆上，
∴点3C 是点A 关于⊙O 的1
2倍特征点，
∵点2C 的坐标为（12，0）， ∴212AC =， ∴214
AC AB =， ∴点2C 不是点A 关于⊙O 的12倍特征点，
故答案为：3C ；
③如图所示，设直线AD 交圆O 于B ，连接OE ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，
∵点E 是点A 关于⊙O 的1
2倍的特征点， ∴12AE AB =， ∴E 是AB 的中点，
∴OE ⊥AB ，
∵∠EAO =60°，
∴∠EOA =30°， ∴1122AE OA ==，12
EF OE =，
∴OE ==
∴EF =
∴34
OF ==，
∴点E 的坐标为（34；
（2）如图所示，设直线1y x =-+与x 轴，y 轴的交点分别为C 、D 过点N 作NP ⊥CD 交CD 于P ，交圆
O 于B ，过点O 作直线EF ⊥CD 交圆O 于E ，F
∴MN NP ≥，AM BP ≤，
∵MN kAN =，
∴()1AM AN MN k AN =-=-， ∴
1111MN k AM k k ==-+--， ∵当k 越大时，1k -的值越小， ∴111k
-+-的值越大， ∴当MN AN
的值越大，k 的值越大， ∴当AM =BP ，MN =NP 时，k 的值最小，
∴当A 与E 重合，N 于F 重合时，k 的值最小，
∵C 、D 是直线1y x =-+与x 轴，y 轴的交点，
∴C （1，0），D 点坐标为（0，1），
∴OC =OD =1，
∴
CD =
∵OG ⊥CD ，
∴CG DG ==
∴OG ==，
∴12FG OF OG =-=-
∴122FG k EF ===，
∴k
∴当N 在E 点，A 在F 点时，k
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确理解题意进行求解．
2、（1）；（2
）2+；（3
）【分析】
（1）由平行线的性质可得∠ADE =∠DEF ，则AE =DF ，由AD 是圆O 的直径，得到∠AED
=90°，则1DF AE ===；
（2）连接CE ，取CE 中点K ，过点K 作KM ⊥BE 于M ，由题意可知H 在以K 为圆心，以CE 为直径的圆上，如图所示，当H 运动到H '的位置时，即此时H '，B ，K 三点共线，BH 有最大值BH '，由此求解即可；
（3）如图3-1所示，过点B 作BN ⊥l 于N ，过点B 作BT ∥l 交CH 于T ，先证四边形BCHN 是平行四边形，得到HT =BN ，再证△AME ∽△BNE ，得到BN =4AM ，即可推出CH -4AM =CH -HT =CT ，又由CT BC ≤ 即可得到当直线l 与直线BC 垂直时，=CT BC ，如图3-2所示，即此时CH -4AM 的最大值即为BC
，由此求
解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，连接DF，
∵AD∥l，
∴∠ADE=∠DEF，
∴AE=DF，
∵AD是圆O的直径，
∴∠AED=90°，
∴1
DF AE
===；
（2）如图所示，连接CE，取CE中点K，过点K作KM⊥BE于M，
∵CH⊥EH，
∴∠CHE=90°，
∴H在以K为圆心，以CE为直径的圆上，
≤+，
∵BH HK BK
∴如图所示，当H运动到H'的位置时，即此时H'，B，K三点共线，BH有最大值BH'，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB =CD =5，AB ∥CD ，
∴BE =AB -AE =4，∠CDE =∠AED =90°，∠DCE =∠MEK ，
∴
CE KE ===
∴12
KH CE '==， ∵∠CDE =∠EMK =90°，
∴△CDE ∽△EMK ， ∴12
KM EK EM DE CE CD ===，
∴12KM DE =
=，1522EM CD ==， ∴32
BM AB AE EM =--=，
∴2BK =，
∴2BH '=+
∴BH 的最大值为2+；
（3）如图3-1所示，过点B 作BN ⊥l 于N ，过点B 作BT ∥l 交CH 于T ，
∵BN ⊥l ，CH ⊥l ，
∴BN∥CH ，
∴四边形BCHN 是平行四边形， ∴HT =BN ，
同理可证AM ∥BN ，
∴△AME ∽△BNE ， ∴4BN BE AM AE
==， ∴BN =4AM ，
∴HT =4AM ，
∴CH -4AM =CH -HT =CT ，
又∵CT BC ≤
∴当直线l 与直线BC 垂直时，=CT BC ，如图3-2所示，即此时CH -4AM 的最大值即为BC ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC AD ==
∴CH -4AM 的最大值为
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，弧、弦，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，圆内一点到圆上一点的最大距离，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3、（1）1；（211；（3）1
【分析】
（1）连接AE ，根据同角的余角相等可得：EDA FDC ∠=∠，利用全等三角形的判定定理可得：EDA FDC ∆≅∆，再由其性质即可得解；
（2）分两种情况讨论：①当点E 在正方形内部时，点A 、E 、F 三点共线时，AF 与圆C 相切；②当点E 在正方形外部时，点A 、1E 、1F 三点共线时，1AF 与圆C 相切；两种情况分别利用勾股定理进行求解即可得；
（3）根据题意判断出AF 最大时，点C 在AF 上，根据正方形的性质求出AC ，从而得出AF 的最大值．
【详解】
解：（1）连接AE ，如图所示：
∵90EDF ADC ∠=∠=︒，
即：90EDA ADF ADF FDC ∠+∠=∠+∠=︒，
∴EDA FDC ∠=∠，
在EDA ∆与FDC ∆中，
ED FD EDA FDC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴EDA FDC ∆≅∆，
∴1CF AE ==；
（2）①如图所示：当点A 、E 、F 三点共线时，AF 与圆C 相切，
则90AFC ∠=︒，
AC ==
1CF =，
∴AF =，
∴1EF AF AE =-=；
②如图所示：当点A 、1E 、1F 三点共线时，1AF 与圆C 相切，
则1
90AFC ∠=︒，
AC =
11CF =，
∴1AF =
∴111EF AF AE =+；
综合可得：当点A 、E 、F 三点共线时，EF 11；
（3）如图所示，点C 在线段AF 上，AF 取得最大值，
AF AC CF =+，
∵AC =
∴1AF =，
即：AF 的最大值是1，
故答案为：1．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质，切线及旋转的性质，勾股定理等，理解题意，画出相应辅助图形是解题关键．
4、
（1）1-
（2）43-
（3）K 【分析】
（1）先求得,A B ,C 点的坐标，进而根据OB OC =即可求得a 的值；
（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，证明BCD △是直角三角形，进而BCD BEP ∽，根据相似的性质列出比例式进而代入点P 的坐标解方程即可；
（3）接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,根据题意，点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得AD 的解析式为2233y x =+，根据AM DK ∥,设直线DK 的解析式为23y x b =+，将点D 代入求得b ，进而设210(,)33
K m m +，根据2DK =，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．
（1）
223y ax ax a =--()()2(23)31a x x a x x =--=-+
令0y =，解得121,3x x =-=
令0x =，3y a =-
抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，
∴抛物线与x 轴的交点为(1,0),(3,0)A B -(0,3)C a -
3OB ∴=
OB OC =
3OC ∴=
(0,3)C ∴
33a ∴-=
解得1a =-
（2）
如图，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，
2223(1)4y x x x =-++=--+
(1,4)D ∴
()()3,0,3,0B C
CD BC BD ∴====22220,20CD BC BD ∴+==
222CD BC BD ∴+=
BCD ∴△是直角三角形，且90BCD ∠=︒
PE AB ⊥
90PEB PCD ∴∠=∠=︒ 又PBA CBD ∠=∠
BCD BEP ∴∽
CD BC PE BE
∴=
()P m n ,在抛物线2y x 2x 3=-++上，
223n m m =-++∴
223,3PE n m m BE m ∴=-=--=-
=整理得()()3430m m +-= 解得124
,33m m =-=（舍）
()P m n ,在第三象限，
0m ∴<
43
m ∴=- （3）
如图，连接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,
QM ∴是BDK 的中位线
112
QM DK ∴== 根据题意点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，
则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，
当,,A Q M 三点共线，且M 在AQ 的延长线上时，AM 最大，如图，
(3,0),(1,4)B D
1340(,)22
Q ++∴即()2,2Q (1,0),(2,2)A Q -
设直线AM 的解析式为y kx d =+，代入点(1,0),(2,2)A Q -，
即022k d k d
=-+⎧⎨=+⎩ 解得2323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线AM 的解析式为2233
y x =+ DK QM ∥
设直线DK 的解析式为23
y x b =
+ (1,4)D
243b ∴=+ 解得103
b = 则DK 的解析式为21033y x =
+ 设点2
10(,)33
K m m +()0m >， (1,4)D ，2DK =
()22
221014233m m ⎛⎫∴-++-= ⎪⎝⎭
解得12m m ==
m ∴=
21033m ∴+=21033+=
K ∴ 【点睛】
本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．
5、（1）见解析；（2
【分析】
（1）由题意分别作出点A 、C 绕点B 逆时针旋转90°后得到的对应点，再与点B 首尾顺次连接即
可；
（2）由题意可知C点旋转到C1点所经过的路径为圆弧，进而根据弧长公式求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求．
（2）∵BC CBC1＝90°，
∴C点旋转到C1．
【点睛】
本题主要考查作图-轴对称变换和旋转变换，解题的关键是根据轴对称变换和旋转变换得到变换后的对应点及弧长公式．。