圆内接正多边形课件

1. 用量角器等分圆：
知2－讲
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可
以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个
360 n
的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”，这
种方法简便，误差小，且可以画任意正多边形．
2. 用尺规等分圆：用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
⑤正n边形的中心角αn＝
360，且与每一个外角相等． n
其中正确命题有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知1－练
2 (202X·南京)已知正六边形的边长为2，则它的内切圆 的半径为( )
A．1
B. 3
C．2
D．2 3
3 一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是 ()
A．1∶ 2 B．1∶2 C．2∶3 D．2∶π
知1－练
4 (2015·青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O， 若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB等于( )
A．30° B．35° C．45° D．60°
知1－练
5 (202X·泸州)以半径为1的圆的内接正三角形、正方
各边相等 各角相等
⇒正多边形．(2)证明一个多边形是正多边形的方法：①
利用定义，证出各边相等，各角相等；②利用圆内接多
边形，证明各边所对的弧相等，即把圆n等分，依次连
接各等分点，所得多边形即为正多边形．
知1－练
1 给出下列五个命题：
①各多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
知识点 2 圆内接正多边形的画法
知2－导
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形. 由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆 的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦， 就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.
知2－导
为了减少累积误差，通常像如图那样，作⊙O的 任意一条直 径FC,分别以F，C为圆心，以⊙O的半 径R为半径作弧，与 ⊙O相交于点E，A和D，B则A, B,C，D，E，F是⊙O的六等 分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六 边形ABCDEF.
形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三
角形的面积是( )
A. 3
8
B. 3

C. 2
4
D. 2
8
知1－练
6 (2015·随州)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， 这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则 下列关系式错误的是( ) A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin 36° C．a＝2rtan 36° D．r＝Rcos 36°
边心距是圆心到正多边形一边的距离，此时的边心 距也可以看作正多边形的外接圆中，圆心到多边形的边 (即外接圆的弦)的距离，即边心距也是弦心距；但弦心 距不一定是边心距．
拓展：正多边形的有关计算：
知1－讲
名称
公式
说明
中心角
边心距、 边长、半径 间的关系式
周长
面积
α＝ 360
n
R2＝r2＋ 1 a2 4
上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形
都能用此法作图．从理论上讲这是一种准确方法，但在作图时较
复杂，同样存在作图的误差．
3. 易错警示：作图时由于忽视累积误差的影响，导致作图不准，
应减少累积误差．
例3 作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.
知1－讲
例2 如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C ＝∠D＝∠E. 求证：五边形ABCDE是正五边形．
导引：根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出 BDE CDA， 利用等式的性质，两边同时减去 CDE，即可得到 BC AE ，根据等弧所对的弦相等，得出BC＝AE.
知1－讲
解： ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，圆周角∠A对 BDE ， 圆周角∠B对 CDA ，
解： 连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴
∠
COD
360
=6
=
60°
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG=
1
2BC=
1 ×4=2,
2
∴ OG = OC2 CG2 42 22 2 3.
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为 2 3 .
∴ BDE CDA . ∴ BDE CDE CDA CDE ，即 BC AE . ∴BC＝AE.同理可证其余各边都相等． ∴五边形ABCDE是正五边形．
总结
知1－讲
(1)证正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦
等，利用同(等)弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解
答．其证明思路如下：角相等⇒弧相等⇒弦相等⇒
P＝na
S＝ 1 Pr 2
α为中心角，n为边数
R为半径，r为边心距，a为边长
P为正n边形的周长，a为边长 S为正多边形的面积，P为正多边形
的周长，r为边心距
知1－讲
例1 如图,在圆内接正六边形ABCDEF中，半 径OC = 4, OG丄BC，垂足为G，求这个正六边形的中 心角、 边长和边心距.
知1－讲
第三章 圆
第8节 圆内接正多边形
1 课堂讲授 圆内接正多边形及相关定义
圆内接正多边形的画法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
请视察下列图形：
知识点 1 圆内接正多边形及相关定义
知1－导
• 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形. •这个圆叫做该正多边 形的外接圆.
知1－导
把一个圆n等分(n≥3 ),依次连接各分点，我们 就可 以作出一个圆内接正多边形.
如图,五边形ABCDE是⊙O的内接 正五边 形，圆心O叫做这个正五边形 的中心；OA是这个正五边 形的半径； ∠ AOB是这个正五边形的中心角；OM丄BC，垂足 为M，OM是这个正五边形圆心距.
知1－讲
1．圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆 内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆．
2．与正多边形有关的概念： (1)正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做这个正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的 边心距．
知1－讲
要点精析： 边心距与弦心距的关系：