云南省昆明第一中学2018届高三第八次月考数学文试题

云南省昆明第一中学2018届高三第八次月考
文 科 数 学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
ln A x y x ==，集合{}
x
B y y e ==，则集合A 与集合B 的关系是（ ）
A ． A
B = B ．A B ≠
⊂ C ．B A ≠
⊂ D ．A B ∈
2.在复平面内，复数z 与复数
10
3i
+对应的点关于实轴对称，则z =（ ） A ．3i + B ．3i - C ．3i -+ D ．3i --
3.设一个线性回归方程3 1.2y x ∧
=+，当变量x 每增加一个单位时，则y 的变化情况正确的是（ ）
A ．y 平均增加约1.2个单位
B ．y 平均增加约3个单位
C ．y 平均减少约1.2个单位
D ．y 平均减少约3个单位
4. 若1sin 3α=
，则2cos 24απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ） A ．
23 B ．12 C. 1
3
D ．0 5.若,x y 满足约束条件0
2346x y x y x y -≤⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
，则函数2z x y =-的最小值为（ ）
A ． 5
B ．2 C. 2- D ．5-
6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2b a =，2
sin 2sin sin B A C =，则c
o s B =
（ ） A ．
18 B ．14 C. 1
2
D ．1 7. 函数()01x
y a
a a =>≠且与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称，则函数
()y f x =与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图像可能是（ ）
A ．
B ． C. D
． 8. 已知函数()f x x =，函数()2g x x =-，执行如图所示的程序框图，若输入的[]3,3x ∈-，则输出m 的值为()g x 的函数值的概率为（ ）
A ．
16 B ．14 C. 13 D ．1
2
9.已知定义在()0,+∞上的函数()()2
,6ln 4f x x m h x x x =-=-，设两曲线()y f x =与
()y h x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（ ）
A ．3-
B ．1 C. 3 D ．5
10. 已知三棱锥P ABC -中，,,4AC BC PC PB AB ⊥⊥=则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．8π C. 12π D ．16π
11. 过正方体1111ABCD A BC D -的顶点
A 的平面α与直线1AC 垂直，且平面α与平面
11ABB A 的交线为直线l ，平面α与平面11ADD A 的交线为直线m ，则直线l 与直线m 所成角
的大小为（ ）
A ．
6π B ．4π C. 3π D ．2
π 12.已知M 为函数8
y x
=的图像上任意一点，过M 作直线,MA MB 分别与圆221x y +=相切
于,A B 两点，则原点O 到直线AB 的距离的最大值为（ ）
A ．
18 B ．14 C. 2 D ．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量()()1,2,3,4a m b m =-=-，若//a b 且方向相反，则m = ．
14.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为y x =，若抛物线28y x
=的焦点与双曲线C 的焦点重合，则双曲线C 的方程为 15. 已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的部分图像如图所示，若图中在点,A D 处()f x 取得极大值，在点,B C 处()f x 取得极小值，且四边形ABCD 的面积为32，则ω的值
是 ．
16.设函数()2
266x
f x x x m e =++-⋅（m 为非零实数），若函数()f x 有且仅有一个零点，
则m 的取值范围为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若()12
log f x x =，设()()()12n n b f a f a f a =++
+，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
18.某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，询问了30名同学，得到如下的22⨯列联表：
（Ⅰ）根据以上22⨯列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？
（Ⅱ）从使用学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数X 的分布列及数学期望.智能手机的20名同学中，按分层抽样的方法选出5名同学，求所抽取的5名同学中“学习成绩优秀”和“学习成绩不优秀”的人数；
（Ⅲ）从问题（Ⅱ）中倍抽取的5名同学，再随机抽取3名同学，试求抽取3名同学中恰有2名同学为“学习成绩不优秀”的概率.
参考公式：()()()()()
2
2
=n ad bc a b c d a c b d κ-++++，其中=n a b c d +++
参考数据：
19.
如
图
，
在
三
棱
锥
111
ABC A B C -中
，
1
1
1
,
,2
,60A B B C A B
B B A B B
C B B
⊥⊥===∠=，点D 为边BC 的中点.
（Ⅰ）证明：平面1AB D ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱柱111ABC A B C -的体积.
20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b
+=>>和抛物线()2
2:20C x py p =>，在12,C C 上各取两
个点，这四个点的坐标为()()
()2,1,,,4,4⎛-
⎝⎭
． （Ⅰ）求12,C C 的方程；
（Ⅱ）设P 是2C 在第一象限上的点，2C 在点P 处的切线l 与1C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，过原点O 的直线OD 与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点Q ，证明：点Q 在定直线上．
21. 已知函数()2
ln f x mx x x =-+，
（Ⅰ）若在函数()f x 的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当1
02
m <≤
时，若曲线():C y f x =在点1x =处的切线L 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值或取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，已知=曲直线11cos :sin x C y α
α=+⎧⎨
=⎩
（α为参数）与曲线
12cos :22sin x C y β
β
=⎧⎨
=+⎩（β为参数），且曲线1C 与2C 交于,O A 两点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系
（Ⅰ）求曲线12,C C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线OA 绕点O 旋转2
π
后，与曲线12,C C 分别交于,P Q 两点，求PQ ． 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()()3,22f x x g x x =+=-．
（Ⅰ）若()()()h x f x g x =+，且()h x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若()
x ϕ=()x ϕ的最大值．
试卷答案
一、选择题
1-5:ABACD 6-10:BACDD 11、12：CB 二、填空题
13. 5- 14.
2
213
x y -= 15. 4π 16. ()()0,26,e +∞
三、解答题 17. 解：（1）由1n
n S a =-+ 得 111n n S a ++=-+，
两式相减得：11n n n n S S a a ++-=-+， 即11n n n a a a ++=-+， 即
11
2
n n a a += ()1n ≥，
所以数列{}n a 是公比为
1
2
的等比数列， 又由111a a =-+得 11
2
a =，
所以1
112n
n n a a q
-⎛⎫== ⎪⎝⎭
；
（2）因为()()()()121122
n
n n n b f a f a f a n +=+++=++
+=，
所以()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以11111112221=1223
1+11n n T n n n n ⎛⎫⎛
⎫=-+-+
+
-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
． 18. 解：（1）由列联表可得
()
()()()()
()2
2
23042816107.87912182010
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=
=>++++⨯⨯⨯
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响． （2）根据题意，所抽取的5名同学中“学习成绩优秀”有1名同学，“学习成绩不优秀”有4名同学．
（3）学习成绩不优秀的4名同学分别记为A ，B ，C ，D ；“学习成绩优秀”有1名同学记为E ．
则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：(),,A B C ，(),,A B D ，(),,A B E ，(),,A C D ，(),,A C E ，(),,A D E ，(),,B C D ，(),,B C E ，(),,B D E ，(),,C D E ，共有10种；抽取3人中恰
有2名同学为“学习成绩不优秀”所含基本事件为：(),,A B E ，(),,A C E ，(),,A D E ，(),,B C E ，(),,B D E ，(),,C D E 共有6种，所求为63
105
P =
=． 19. 解：（1）由题意，⊥AB 平面C C BB 11，⊂D B 1平面C C BB 11，可得D B AB 1⊥，又△BC
B 1为等边三角形，点D 为B
C 边的中点，可得
D B BC 1⊥，AB 与BC 相交于点B ，则D B 1⊥平面ABC ，⊂D B 1平面D AB 1，所以，平面D AB 1⊥平面ABC ．
（2）因为△ABC 为直角三角形，2==BC AB ， 所以2=∆ABC S ，
由（1）可知，在直角三角形D BB 1中， 0160=∠BC B ，221==BB BD ， 可得31=D B ，
故D B S V ABC 1⋅=∆32=，
所以，三棱柱111ABC A B C -的体积为32． 20. 解：解：（1）由已知，
点(,0)
，(1,
2在椭圆1C 上，所以 22
1 a
=，2211
1 2a b
+=， 解得：22a =，21b =，所以1C ：2
2 1 2
x y +=； 点(2
,1)， (4,4)-在抛物线2C 上，所以2p =，所以2C ：24x y =．
（2）设2(,)4m P m （0m >），由2
4x y =得12
y x '=， 所以切线l 的方程为：2()42
m m
y x m -=-， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由222()4212m m y x m x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：4223
(2)404m m x m x +-+
-=， 由0∆>，31222
m x x m +=+得3
22(2)D m x m =+，代入2()42m m y x m -=-得222(2)D m y m -=+，
所以1D OD D y k x m =
=-，所以OD l ：1
y x m
=-， ………10分 由1x m y x m =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
得1y =-，所以点Q 在定直线1y =-上． 21. 解：（1）因为()()2121210mx x f x mx x x x
-+'=-+=>，
依题意知2210mx x -+<在()0,+∞上有解． 当0m ≤时显然成立；
当0m >时，由于函数221y mx x =-+的图象的对称轴1
04x m
=
>， 故需且只需0∆>，即180m ->，解得18m <，故1
08
m <<．
综上所述，实数m 的取值范围为1,8⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭．
（2）因为()11f m =-，()12f m '=，故切线L 的方程为()121y m m x -+=-， 即
21y mx m =--．
从而方程2
ln 21mx x x mx m -+=--在()0,+∞上有且只有一解．
设()()2
ln 21g x mx x x mx m =-+---，
则()g x 在()0,+∞上有且只有一个零点． 又()10g =，故函数()g
x 有零点1x =．
则()()()()222112111
212mx m x mx x g x mx m x x x
-++--'=-+-==．
当1
2
m =
时，()0g x '≥，又()g x 不是常数函数，故()g x 在()0,+∞上单调递增． 所以函数()g x 有且只有一个零点1x =，满足题意．
当102m <<
时，由()0g x '=，得12x m =或1x =，且
1
12m
>． 由()0g x '>，得01x <<或12x m
>； 由()0g x '<，得1
12x m
<<
． 所以当x 在()0,+∞上变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：
根据上表知02g m ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
．
而函数()12ln 1g x mx x m x m ⎡⎤
⎛⎫=-++++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦．
所以120g m ⎛
⎫+> ⎪⎝
⎭，故在1,2m ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上，函数()g x 又存在一个零点，不满足题意．
综上所述，1
2
m =
． 22. 解：（1）曲线1C 是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，其极坐标方程为2cos ρθ=， 曲线2C 是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，其极坐标方程为4sin ρθ=．
（2）由2c o s 4s i n θθ=得1tan 2θ=，即直线OA 的斜率为12
，
从而sin θ=
，cos θ=，
由已知，设1,2P πρθ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
，2,2Q πρθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
将1,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝
⎭代入2cos ρθ=
，得12cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 同理，将2,2Q πρθ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
代入4sin ρ
θ
=
，得24sin 4cos 2πρθθ⎛⎫
=+
== ⎪⎝
⎭，
所以，12PQ ρρ=+=+
=．
23. 解：（1）
31, 3
()3225, 31
31, 1x x h x x x x x x x --<-⎧⎪
=++-=-+-≤≤⎨⎪+>⎩
， 所以，min
()(1)4h x h ==，只需4a ≤，
故实数a 的取值范围为(],4-∞．
（2）由柯西不等式，
()1x ϕ=+≤
=53
x =-时，等号成立，故()x ϕ
的最大值为．。