桦甸市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

桦甸市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设a ∈R ，且（a ﹣i ）•2i （i 为虚数单位）为正实数，则a 等于（ ） A ．1 B ．0
C ．﹣1
D ．0或﹣1
2． 已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ）
A ．5
B ．3
C ．2
D ．
3． 执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -
【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 4． 下列说法正确的是（ ） A ．类比推理是由特殊到一般的推理 B ．演绎推理是特殊到一般的推理 C ．归纳推理是个别到一般的推理
D．合情推理可以作为证明的步骤
5．与函数y=x有相同的图象的函数是（）
A．B．C．D．
6．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）
的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（）
A．B．πC．D．
7．已知偶函数f（x）满足当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=，则f（﹣2）等于（）
A．B．C．D．
8．十进制数25对应的二进制数是（）
A．11001 B．10011 C．10101 D．10001
9．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．12 D．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
10．函数是（）
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数
11．若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，1] B．[0，1]
C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]
12．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．已知一个动圆与圆C ：（x+4）2+y 2
=100相内切，且过点A （4，0），则动圆圆心的轨迹方程 ．
14．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．
15．若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的通项公式为 .
16．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则
圆的方程为 ．
17．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.
18．1F ，2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，
若12PF F ∆______________.
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
三、解答题
19．已知等差数列
满足：=2，且，成等比数列。

（1） 求数列的通项公式。

（2）记为数列
的前n 项和，是否存在正整数n ，使得
若存在，求n 的最小
值；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分13分） 已知函数32()31f x ax x =-+， （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01(0,)2
x ∈．
21．已知集合A={x|x 2﹣5x ﹣6＜0}，集合B={x|6x 2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x ﹣m ）（m+9﹣x ）＞0} （1）求A ∩B
（2）若A ∪C=C ，求实数m 的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两
点．已知A ，B 的横坐标分别为，
．
（1）求tan （α+β）的值； （2）求2α+β的值．
23．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨
迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；111]
（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C交于A，B两点与曲线C交于E，F两点，
线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．
24．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=log a（x+3）在（0，+∞）上单调递减，q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．
桦甸市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵（a﹣i）•2i=2ai+2为正实数，
∴2a=0，
解得a=0．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．
2．【答案】D
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，
即|AM|min=．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．3．【答案】B
4．【答案】C
【解析】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤，
故选C．
【点评】本题考查合情推理与演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：A：y=的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误
B：与y=x的对应法则不一样，故B错误
C：=x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误
D：，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题6．【答案】C
【解析】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P（0，），
所以sinθ=，
又因为﹣＜θ＜，
所以θ=，
所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），
sin（﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，
或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ﹣，k∈Z，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档
7．【答案】D
【解析】解：∵当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=…①，
∴3f （）﹣2f （x ）==…②，
①×3+③×2得：
5f （x ）=，
故f （x ）=
，
又∵函数f （x ）为偶函数，
故f （﹣2）=f （2）=，
故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x ＞0时，函数f （x ）的解析式，是解答的关键．
8． 【答案】A
【解析】解：25÷2=12...1 12÷2=6...0 6÷2=3...0 3÷2=1...1 1÷2=0 (1)
故25（10）=11001（2）故选A ．
【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键．
9． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
123123
1
=⨯⨯，故选C. 10．【答案】B
【解析】解：因为
=
=cos （2x+
）=﹣sin2x ．
所以函数的周期为：
=π．
因为f （﹣x ）=﹣sin （﹣2x ）=sin2x=﹣f （x ），所以函数是奇函数．
故选B．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．
11．【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，
∴单调间区间为[a，+∞）
又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴a≤1
∵函数g（x）=在区间（﹣∞，﹣a）和（﹣a，+∞）上均为减函数，
∵g（x）=在区间[1，2]上是减函数，
∴﹣a＞2，或﹣a＜1，
即a＜﹣2，或a＞﹣1，
综上得a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]，
故选：D
【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．12．【答案】A
【解析】解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，
∵A⊊B，
故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．
故选A．
【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．
二、填空题
13．【答案】+=1．
【解析】解：设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，
∵圆C：（x+4）2+y2=100的圆心为C（﹣4，0），半径R=10，
∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|，
∵圆B经过点A（4，0），
∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10，∵|AC|=8＜10，
∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，
设方程为（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，
∴a=5，b2=a2﹣c2=9
，得该椭圆的方程为
+=1．
故答案为：
+=1．
14．【答案】30°．
【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则
EG DC=2，
GF AB=1，
故∠GEF即为EF与CD所成的角．
又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．
15．【答案】
6,1
2
,2,
n
n
a n
n n
n
*
=
⎧
⎪
=+
⎨
≥∈
⎪⎩N
【解析】【解析】()()12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
11:6n a ==；
()()()
123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
故2
2:n n n a n
+≥=
16．【答案】 （x ﹣1）2+（y+1）2=5 ．
【解析】解：设所求圆的圆心为（a ，b ），半径为r ， ∵点A （2，1）关于直线x+y=0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心（a ，b ）在直线x+y=0上， ∴a+b=0，①
且（2﹣a ）2+（1﹣b ）2=r 2
；②
又直线x ﹣y+1=0
截圆所得的弦长为，
且圆心（a ，b ）到直线x ﹣y+1=0的距离为
d=
=
，
根据垂径定理得：r 2﹣d 2
=
，
即r 2﹣（
）2
=③；
由方程①②③
组成方程组，解得；
∴所求圆的方程为（x ﹣1）2+（y+1）2
=5． 故答案为：（x ﹣1）2+（y+1）2
=5．
17．【答案】2300
【解析】111]
试题分析：根据题意设租赁甲设备，乙设备，则⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥+≥+≥≥140
20y 10x 506y 5x 0y 0x ，求目标函数300y 200x Z +=的
最小值.作出可行域如图所示，从图中可以看出，直线在可行域上移动时，当直线的截距最小时，取最小值2300.
1111]
考点：简单线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目，可以采用线性规划的知识进行求解；细查题意，设甲种设备需要生产天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为Z 元，则y x Z 300200+=，接下来列出满足条件的约束条件，结合目标函数，然后利用线性规划的应用，求出最优解，即可得出租赁费的最小值.
18．1 【
解
析
】
三、解答题
19．【答案】见解析。

【解析】（1）设数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2+d ，2+4d 成比数列，故有（2+d ）2=2（2+4d ）， 化简得d 2﹣4d=0，解得d=0或4，
当d=0时，a n =2，
当d=4时，a n =2+（n ﹣1）•4=4n ﹣2。

（2）当a n =2时，S n =2n ，显然2n ＜60n+800， 此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立， 当a n =4n ﹣2时，S n =
=2n 2，
令2n 2＞60n+800，即n 2﹣30n ﹣400＞0，
解得n ＞40，或n ＜﹣10（舍去），
此时存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，n 的最小值为41， 综上，当a n =2时，不存在满足题意的正整数n ， 当a n =4n ﹣2时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41 20．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-， （1分）
①当0a >时，解()0f x '>得2x a >
或0x <，解()0f x '<得20x a <<， ∴()f x 的递增区间为(,0)-∞和2(,)a
+∞，()f x 的递减区间为2
(0,)a ． （4分）
②当0a =时，()f x 的递增区间为(,0)-∞，递减区间为(0,)+∞． （5分）
③当0a <时，解()0f x '>得20x a
<<，解()0f x '<得0x >或2
x a <
∴()f x 的递增区间为2(,0)a ，()f x 的递减区间为2
(,)a
-∞和(0,)+∞． （7分）
（Ⅱ）当2a <-时，由（Ⅰ）知2(,)a -∞上递减，在2
(,0)a
上递增，在(0,)+∞上递减．
∵2
2
240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，∴()f x 在(,0)-∞没有零点． （9分） ∵()010f =>，11
(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞上递减，
∴在(0,)+∞上，存在唯一的0x ，使得()00f x =．且01
(0,)2x ∈ （12分）
综上所述，当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01
(0,)2
x ∈． （13分）
21．【答案】
【解析】解：由合A={x|x 2﹣5x ﹣6＜0}，集合B={x|6x 2
﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x ﹣m ）（m+9﹣x ）＞0}．
∴A={x|﹣1＜x ＜6}，
，C={x|m ＜x ＜m+9}．
（1）
，
（2）由A ∪C=C ，可得A ⊆C ．
即
，解得﹣3≤m ≤﹣1．
22．【答案】
【解析】解：（1）由已知得：
．∵α，β为锐角，∴
．
∴．∴．
（2）∵
，∴．
∵α，β为锐角，∴，
∴
．
23．【答案】（１） 2
4y x =；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则直线：(1)y k x =-，1212
(
,)22
x x y y M ++， 由24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222
(24)0k x k x k -++=，
2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当)(x f 不含参数时，可通过解不等式)0)((0)(''<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件
),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意
参数的取值是)('
x f 不恒等于的参数的范围．
24．【答案】
【解析】解：由题意得 命题P 真时0＜a ＜1，
命题q 真时由（2a ﹣3）2
﹣4＞0解得a ＞或a ＜，
由p ∨q 真，p ∧q 假，得，p ，q 一真一假
即：
或
，
解得≤a ＜1或a ＞．
【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数，二次函数的性质，是一道基础题．。