黑龙江省哈尔滨市哈十七中学2024届中考数学模拟精编试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市哈十七中学2024届中考数学模拟精编试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．一副直角三角板如图放置，其中C DFE 90∠=∠=，45A ∠=︒，60E ∠=︒，点F 在CB 的延长线上若//DE CF ，则BDF ∠等于（ ）
A ．35°
B ．25°
C ．30°
D ．15°
2．2017年扬中地区生产总值约为546亿元，将546亿用科学记数法表示为（ ）
A ．5.46×108
B ．5.46×109
C ．5.46×1010
D ．5.46×1011
3．如图，AB ∥CD ，FE ⊥DB ，垂足为E ，∠1=60°，则∠2的度数是（ ）
A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．30°
4．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（ ）
A ．60πcm 2
B ．90πcm 2
C ．96πcm 2
D ．120πcm 2
5．抛物线y ＝3（x ﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A ．（﹣2，5）
B ．（﹣2，﹣5）
C ．（2，5）
D ．（2，﹣5）
6．下列式子一定成立的是（ ）
A ．2a+3a=6a
B ．x 8÷x 2=x 4
C ．121a a =
D ．（﹣a ﹣2）3=﹣61a
7．下列计算正确的是（ ）
A ．a 2+a 2=2a 4
B ．（﹣a 2b ）3=﹣a 6b 3
C ．a 2•a 3=a 6
D ．a 8÷a 2=a 4
8．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3tan 3
CAB ∠=，3AB =，点D 在以斜边AB 为直径的半圆上，点M 是CD 的三等分点，当点D 沿着半圆，从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为（ ）
A ．π或2π
B ．2π或3π
C ．3π或π
D ．4π或3
π 9．2017年，太原市GDP 突破三千亿元大关，达到3382亿元，经济总量比上年增长了426.58亿元，达到近三年来增量的最高水平，数据“3382亿元”用科学记数法表示为（ ）
A ．3382×108元
B ．3.382×108元
C ．338.2×109元
D ．3.382×1011元
10．由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是 （）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．数据”1,2,1,3,1”的众数是( )
A ．1
B ．1.5
C ．1.6
D ．3
12．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是( )
A．x x100
60100
-
=B．
x x100
10060
-
=C．
x x100
60100
+
=D．
x x100
10060
+
=
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．计算：﹣22÷（﹣1
4
）=_____．
14．如图，点A、B、C 在⊙O 上，⊙O 半径为1cm，∠ACB=30°，则AB的长是________．
15．分解因式：3x2-6x+3=__．
16．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是__km/h．
17x1
+
x的取值范围是．
18．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．求此人第六天走的路程为多少里．设此人第六天走的路程为x里，依题意，可列方程为________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图1，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=1，连接DE、CD，点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，连接MP、PN、MN．
（1）求证：△PMN是等腰三角形；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，
①如图2，当点D、E分别在边AC两侧时，求证：△PMN是等腰三角形；
②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，请直接写出此时BD的长．
20．（6分）某区教育局为了解今年九年级学生体育测试情况，随机抽查了某班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下
（1）样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是；
（2）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是；
（3）请把条形统计图补充完整；
（4）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A级和B级的学生人数之和.
21．（6分）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y＝﹣2x+1．（1）该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式；
（2）若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？
（3）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？
22．（8分）我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y1（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示．而国
外市场的日销售量y2（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律，写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）分别探求该产品在国外市场上市20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．
23．（8分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长．
24．（10分）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O 点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．足球第一次落地点C距 ）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？
守门员多少米？（取437
25．（10分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，cosB=4
5
，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边
BC的另一个交点为D，联结PD、AD．
（1）求△ABC的面积；
（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．
26．（12分）某校为表彰在“书香校园”活动中表现积极的同学，决定购买笔记本和钢笔作为奖品．已知5个笔记本、2支钢笔共需要100元；4个笔记本、7支钢笔共需要161元
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）恰好“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔记本9折优惠；钢笔10支以上超出部分8折优惠若买x个笔记本需要y1元，买x支钢笔需要y2元；求y1、y2关于x的函数解析式；
（3）若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱．
27．（12分）某超市在春节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣和优惠，在每个转盘中指针指向每个区域的可能性均相同，若指针指向分界线，则重新转动转盘，区域对应的优惠方式如下，A1，A2，A3区域分别对应9折8折和7折优惠，B1，B2，B3，B4区域对应不优惠？本次活动共有两种方式．
方式一：转动转盘甲，指针指向折扣区域时，所购物品享受对应的折扣优惠，指针指向其他区域无优惠；
方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针均指向折扣区域时，所购物品享受折上折的优惠，其他情况无优惠．
（1）若顾客选择方式一，则享受优惠的概率为；
（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能顾客享受折上折优惠的概率．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、D
【解题分析】
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案．
【题目详解】
解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°，
∵DE∥CB，
∴∠BDE=∠ABC=45°，
∴∠BDF=45°-30°=15°．
故选D．
【题目点拨】
此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键．
2、C
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【题目详解】
解：将546亿用科学记数法表示为：5.46×1010,故本题选C.
【题目点拨】
本题考查的是科学计数法，熟练掌握它的定义是解题的关键.
3、D
【解题分析】
由EF⊥BD，∠1=60°，结合三角形内角和为180°即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．【题目详解】
解：在△DEF中，∠1=60°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=30°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=30°．
故选D．
【题目点拨】
本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°,解题关键是根据平行线的性质，找出相等、互余或互补的角．
4、C
【解题分析】
先根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为12cm，高为8cm，再计算母线长为10，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形半径等于圆锥的母线长计算圆锥的侧面积和底面积的和即可.
【题目详解】
圆锥的底面圆的直径为12cm，高为8cm，
所以圆锥的母线长，
所以此工件的全面积=π⋅62+1
2
⋅2π⋅6⋅10=96π(cm2).
故答案选C.
【题目点拨】
本题考查的知识点是圆锥的面积及由三视图判断几何体，解题的关键是熟练的掌握圆锥的面积及由三视图判断几何体.
5、C
【解题分析】
根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.
【题目详解】
∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)，
故选C．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．
6、D
【解题分析】
根据合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则进行计算即可.
【题目详解】
解：A：2a+3a=(2+3)a=5a，故A错误；
B ：x 8÷x 2=x 8-2=x 6，故B 错误；
C ：12a =a ，故C 错误；
D ：(-a -2)3=-a -6=-
61a
，故D 正确. 故选D. 【题目点拨】 本题考查了合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则.其中指数为分数的情况在初中阶段很少出现.
7、B
【解题分析】
解：A ．a 2+a 2=2a 2，故A 错误；
C 、a 2a 3=a 5，故C 错误；
D 、a 8÷a 2=a 6，故D 错误；
本题选B.
考点：合同类型、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方
8、A
【解题分析】
根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M 的轨迹是以EF 为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分两种情况讨论．
【题目详解】
当点D 与B 重合时，M 与F 重合，当点D 与A 重合时，M 与E 重合，连接BD ，FM ，AD ，EM ，
∵2,33
CF CM CE EF AB BC CD CA AB ===== ∴//,//,2FM BD EM AD EF =
,FMC BDC CME CDA ∴∠=∠∠=∠
∵AB 是直径
90BDA ∴∠=︒
即90BDC CDA ∠+∠=︒
∴90FMC CME ∠+∠=︒
∴点M 的轨迹是以EF 为直径的半圆，
∵2EF =
∴以EF 为直径的圆的半径为1
∴点M 运动的路径长为1801=180ππ 当1'3CM CD = 时，同理可得点M 运动的路径长为12
π 故选：A ．
【题目点拨】
本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键．
9、D
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【题目详解】
3382亿=338200000000=3.382×1．
故选：D ．
【题目点拨】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
10、A
【解题分析】
从左面看，得到左边2个正方形，中间3个正方形，右边1个正方形．故选A ．
11、A
【解题分析】
众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
【题目详解】
在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1．
故选：A ．
【题目点拨】
本题为统计题，考查众数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
12、B
【解题分析】
解：设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，根据题意得：10010060
x x -=．故选B ． 点睛：本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，列方程是关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、1
【解题分析】
解：原式=4(4)-⨯-=1．故答案为1．
14、3cm π
.
【解题分析】
根据圆周角定理可得出∠AOB=60°，再根据弧长公式的计算即可．
【题目详解】
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=1cm ，
∴AB 的长=
60111803ππ⨯=cm. 故答案为：3
cm π
． 【题目点拨】
本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是掌握弧长公式l=
180
n r π． 15、3(x-1)2
【解题分析】
先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【题目详解】 ()()2
2236332131x x x x x -+=-+=-.
故答案是：3(x-1)2.
【题目点拨】
考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
16、3.6
【解题分析】
分析：根据题意，甲的速度为6km/h ，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．
详解：由题意，甲速度为6km/h ．当甲开始运动时相距36km ，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇． 设乙的速度为xkm/h
4.5×6+2.5x=36
解得x=3.6
故答案为3.6
点睛：本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．
17、x 1≥-且x 0≠
【解题分析】
∴x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0.
故答案为x≥-1且x≠0.
18、2481632378x x x x x x +++++=;
【解题分析】
设第一天走了x 里,则第二天走了
2x 里,第三天走了4x 里…第六天走了32x 里,根据总路程为378里列出方程可得答案. 【题目详解】
解：设第一天走了x 里, 则第二天走了2x 里,第三天走了4
x 里…第六天走了32x 里, 依题意得:3782481632
x x x x x x +
++++=， 故答案：3782481632x x x x x x +++++=.
【题目点拨】
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）见解析；（2）①见解析；②.
【解题分析】
（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论PM=PN；
（2）①先证明△ABD≌△ACE，得BD=CE，同理根据三角形中位线定理可得结论；
②如图4，连接AM，计算AN和DE、EM的长，如图3，证明△ABD≌△CAE，得BD=CE，根据勾股定理计算CM 的长，可得结论
【题目详解】
（1）如图1，∵点N，P是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（2）①如图2，∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∵点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，
∴PN=BD，PM=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，如图3，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=CE，
如图4，连接AM，
∵M是DE的中点，N是BC的中点，AB=AC，∴A、M、N共线，且AN⊥BC，
由勾股定理得：AN==4，
∵AD=AE=1，AB=AC=6，
∴=，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△AEC，
∴，
∴，
∴AM=，DE=，
∴EM=，
如图3，Rt△ACM中，CM===，
∴BD=CE=CM+EM=．
【题目点拨】
此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，全等和相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）①的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（2）②的关键是判断出△ADE∽△AEC
20、（1）10％; （2）72; （3）5,见解析; （4）330.
【解题分析】
解：（1）根据题意得：
D级的学生人数占全班人数的百分比是：
1-20%-46%-24%=10%；
（2）A级所在的扇形的圆心角度数是：20%×360°=72°；
（3）∵A等人数为10人，所占比例为20%，
∴抽查的学生数=10÷20%=50（人），
∴D级的学生人数是50×10%=5（人），
补图如下：
（4）根据题意得：
体育测试中A级和B级的学生人数之和是：500×（20%+46%）=330（名），
答：体育测试中A级和B级的学生人数之和是330名．
【题目点拨】
本题考查统计的知识，要求考生会识别条形统计图和扇形统计图.
21、（1）w=（x﹣200）y=（x﹣200）（﹣2x+1）=﹣2x2+1400x﹣200000；（2）令w=﹣2x2+1400x﹣200000=40000，解得：x=300或x=400，故要使每月的利润为40000元，销售单价应定为300或400元；（3）y=﹣2x2+1400x﹣200000=﹣2（x﹣350）2+45000，当x=250时y=﹣2×2502+1400×250﹣200000=25000；故最高利润为45000元，最低利润为25000元.
【解题分析】
试题分析：（1）根据销售利润=每天的销售量×（销售单价-成本价），即可列出函数关系式；
（2）令y=40000代入解析式，求出满足条件的x的值即可；
（3）根据（1）得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值．
试题解析：
（1）由题意得：w=（x-200）y=（x-200）（-2x+1）=-2x2+1400x-200000；
（2）令w=-2x2+1400x-200000=40000，
解得：x=300或x=400，
故要使每月的利润为40000元，销售单价应定为300或400元；
（3）y=-2x2+1400x-200000=-2（x-350）2+45000，
当x=250时y=-2×2502+1400×250-200000=25000；
故最高利润为45000元，最低利润为25000元．
22、（1）y1=﹣1
5
t（t﹣30）（0≤t≤30）；（2）∴y2=
2(020)
4120(2030)
t t
t t
≤<
⎧
⎨
-+≤≤
⎩
；（3）上市第20天，国内、外市场的日销
售总量y最大，最大值为80万件．
【解题分析】
(1)根据题意得出y1与t之间是二次函数关系，然后利用待定系数法求出函数解析式；
(2)利用待定系数法分别求出两个函数解析式，从而得出答案；
(3)分0≤t＜20、t=20和20≤t≤30三种情况根据y=y1+y2求出函数解析式，然后根据二次函数的性质得出最值，从而得出整体的最值．
【题目详解】
解：(1)由图表数据观察可知y1与t之间是二次函数关系，
设y1=a（t﹣0）（t﹣30）
再代入t=5，y1=25可得a=﹣1 5
∴y1=﹣1
5
t（t﹣30）（0≤t≤30）
(2)由函数图象可知y 2与t 之间是分段的一次函数由图象可知：
0≤t ＜20时，y 2=2t ，当20≤t≤30时，y 2=﹣4t+120，
∴y 2=()2(020)
41202030t t t t ≤<⎧⎨-+≤≤⎩，
(3)当0≤t ＜20时，y=y 1+y 2=﹣15t （t ﹣30）+2t=80﹣15
（t ﹣20）2 ， 可知抛物线开口向下，t 的取值范围在对称轴左侧，y 随t 的增大而增大，所以最大值小于当t=20时的值80， 当20≤t≤30时，y=y 1+y 2=﹣15t （t ﹣30）﹣4t+120=125﹣15
（t ﹣5）2 ， 可知抛物线开口向下，t 的取值范围在对称轴右侧，y 随t 的增大而减小，所以最大值为当t=20时的值80， 故上市第20天，国内、外市场的日销售总量y 最大，最大值为80万件．
23、路灯高CD 为5.1米．
【解题分析】
根据AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA 得到MA ∥CD ∥BN ，从而得到△ABN ∽△ACD ，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
【题目详解】
设CD 长为x 米，
∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA ，
∴MA ∥CD ∥BN ，
∴EC ＝CD ＝x 米，
∴△ABN ∽△ACD ， ∴BN CD ＝AB AC ，即1.8 1.21.8
x x =-， 解得：x ＝5.1．
经检验，x ＝5.1是原方程的解，
∴路灯高CD 为5.1米．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
24、（1）21(6)412y x =-
-+．（或21112
y x x =-++）（2）足球第一次落地距守门员约13米．（3）他应再向前跑17米．
【解题分析】
（1）依题意代入x 的值可得抛物线的表达式．
（2）令y=0可求出x 的两个值，再按实际情况筛选．
（3）本题有多种解法．如图可得第二次足球弹出后的距离为CD ，相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位可得
解得x 的值即可知道CD 、BD ．
【题目详解】
解：（1）如图，设第一次落地时，
抛物线的表达式为2
(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，
． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112
y x x =-++）
（2）令210(6)4012
y x =--+=，． 212(6)48436134360x x x ∴-==≈=-<．，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．
（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD
根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）
212(6)412
x ∴=--+解得12626626x x =-=+，． 124610CD x x ∴=-=≈．
1361017BD ∴=-+=（米）
． 答：他应再向前跑17米．
25、（1）12（2）y=21212255x x -
+（0＜x ＜5）（3）3532或12532 【解题分析】
试题分析：（1）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，根据cosB=
45
求得BH 的长，从而根据已知可求得AH 的长，BC 的长，再利用三角形的面积公式即可得；
（2）先证明△BPD ∽△BAC ，得到BPD S =21225x ，再根据APD BPD S AP S BP
= ，代入相关的量即可得； （3）分情况进行讨论即可得. 试题解析：（1）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则∠AHB=90°，∴cosB=BH AB
， ∵cosB=45
，AB=5，∴BH=4，∴AH=3， ∵AB=AC ，∴BC=2BH=8， ∴S △ABC =
12×8×3=12 （2）∵PB=PD ，∴∠B=∠PDB ，
∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠C=∠PDB ，
∴△BPD ∽△BAC ，
∴2BPD BAC S PB S
AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 即2125BPD S x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 解得BPD S =21225
x ， ∴APD
BPD S
AP S BP
= ， ∴251225
y x x x -= ，
解得y=21212255
x x -+（0＜x ＜5）； （3）∠APD ＜90°， 过C 作CE ⊥AB 交BA 延长线于E ，可得cos ∠CAE=
725 ， ①当∠ADP=90°时，
cos ∠APD=cos ∠CAE=725， 即7525
x x =- ， 解得x=3532； ②当∠PAD=90°时， 5725
x x -= ， 解得x=12532
， 综上所述，PB=3532或12532
. 【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、底在同一直线上且高相等的三角形面积的关系等，结合图形及已知选择恰当的知识进行解答是关键.
26、（1）笔记本单价为14元，钢笔单价为15元；（2）y 1=14×0.9x=12.6x ，y 2=；（3）当购买奖品数量超过2时，买钢笔省钱；当购买奖品数量少于2时，买笔记本省钱；当购买奖品数量等于2时，买两种奖品花费一样．
【解题分析】
(1)设每个文具盒z 元，每支钢笔y 元，可列方程组得
解之得 答：每个文具盒14元，每支钢笔15元．
(2)由题意知，y 1关于x 的函数关系式是y 1＝14×90％x ，即y 1＝12.6x ．
买钢笔10支以下(含10支)没有优惠．故此时的函数关系式为y 2＝15x ：
当买10支以上时，超出的部分有优惠，故此时的函数关系式为y 2＝15×
10＋15×80％(x －10)， 即y 2＝12x ＋1．
(3)因为x ＞10，所以y 2＝12x ＋1．当y 1＜y 2，即12.6x ＜12x ＋1时，解得x ＜2；
当y 1＝y 2，即12.6x ＝12x ＋1时，解得x ＝2；
当y 1＞y 2，即12.6x ＞12x ＋1时，解得x ＞2．
综上所述，当购买奖品超过10件但少于2件时，买文具盒省钱；
当购买奖品2件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；
当购买奖品超过2件时，买钢笔省钱．
27、（1）12；（2）16
． 【解题分析】
（1）根据题意和图形，可以求得顾客选择方式一，享受优惠的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．
【题目详解】
解：（1）由题意可得，
顾客选择方式一，则享受优惠的概率为：21 42 =，
故答案为：1
2
；
（2）树状图如下图所示，
则顾客享受折上折优惠的概率是：
21 346
=
⨯
，
即顾客享受折上折优惠的概率是1
6
．
【题目点拨】
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．。