2015高考数学一轮精品课件：10.3 二项式定理

10.3
二项式定理
第一页，编辑于星期五：十三点 四分。
第十一章
10.3
二项式定理
考纲要求
梳理自测
探究突破
巩固提升
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
第二页，编辑于星期五：十三点 四分。
第十一章
10.3
二项式定理
考纲要求
梳理自测
梳理自测
探究突破
巩固提升
0
10
2
(3)奇数项的二项式系数和为C10
+ C10
+…+C10
=29,
1
3
9
偶数项的二项式系数和为C10
+ C10
+…+C10
=29.
考点一
考点二
考点三
误区警示
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10.3
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二项式定理
考纲要求
探究突破
探究突破
梳理自测
巩固提升
(4)令 x=y=1,得到 a0+a1+a2+…+a10=1,①
探究突破
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巩固提升
考点三 二项式定理的应用
【例 3】 设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512 012+a 能被 13 整除,则 a=(
A.0
B.1
C.11
D.12
)
关闭
∵52 能被 13 整除,∴512 012 可化为(52-1)2 012,
其二项式系数为 Tr+1=C2 012 522 012-r·(-1)r.
二项展开式的通项为
Tr+1=C6 x6-r

=(-a)rC6 x6-2r,

∴A=(-a)2C62 =15a2,
B=(-a)3C63 =-20a3.
又∵B=4A,∴-20a3=60a2.
-3
∴a=-3(a=0 舍去).
关闭
解析
解析
答案
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10.3
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二项式定理
∑ an a的值;(2)
∑ana
n 的值.
=1
(2)∵(x2+2x+2)5=[1+(x+1)2]5
=C50 ×15+C15 (x+1)2+C52 (x+1)4+C53 (x+1)6+C54 (x+1)8+C55 (x+1)10
=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,
∴a0=C50 ,a1=a3=a5=a7=a9=0,a2=C15 ,a4=C52 ,a6=C53 ,a8=C54 ,a10=C55 .
关闭
A
解析
答案
答案
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探究突破
3.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 a0+a2+a4 的值为(
A.9
B.8
C.7
巩固提升
)
D.6
关闭
(x-1)4=1+C14 x(-1)3+C42 x2(-1)2+C43 x3(-1)+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,
法,只需令 x=1 即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之
和,只需令 x=y=1 即可.
(2)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1),
奇数项系数之和为 a0+a2+a4+…=
a1+a3+a5+…=
(1)+(-1)
)
关闭
当 x>0 时,f(x)=- <0,
1 6

巩固提升
=
-
1 6
.Tr+1=C6 (

6-

2 · 2 =(-1)rC x3-r.令
6
) · 6-r
1

3-r=0,得 r=3,此时 T4=(-1)3C63 =-20.
关闭
A
解析
考点一
考点二
考点三
误区警示
答案
答案
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TC2+1=C52 (-2)2=40.故选 C.
解析
答案
答案
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2.(1- )4(1+ )4 的展开式中 x 的系数是(
A.-4
B.-3
C.3
探究突破
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)
D.4
关闭
原式=(1- )4(1+ )4=(1-x)4,于是 x 的系数是C14 ·(-1)=-4.
10.3
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梳理自测
举一反三 1(2013 陕西高考)设函数 f(x)=
时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(
A.-20
B.20
C.-15
D.15
则 f[f(x)]= - +
r
=(-1) C6
1 6
,x

< 0,
则当 x>0
- ,x ≥ 0,
∴a0=1,a2=C42 =6,a4=1.
关闭
B∴a +a +a =8.
0
2
4
解析
解析
答案
答案
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4.若
为
6
(a≠0)展开式的

梳理自测
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x2 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,则 a 的值
.
关闭
D
012
故(52-1)2 012 被 13 除余数为C22 012
·(-1)2 012=1,
关闭
则当 a=12 时,512 012+12 被 13 整除.
解析
解析
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误区警示
答案
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方法提炼
和为 a1+a3+a5+…+a9,x 的奇次项系数和为 a1+a3+a5+…+a9,x 的偶次项系数和
为 a0+a2+a4+…+a10.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
0
10
1
(1)二项式系数的和为C10
+ C10
+…+C10
=210.
(2)令 x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
1.二项式定理
n
n-1 1
n-2 2
n-r r
n
*
(a+b)n= C0 a +C1 a b +C2 a b +…+C a b +…+C b (n∈N ) ,
该等式右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式.该展开式有如下特点:(1)它
是
n+1 项和的形式;(2)各项次数的和都等于二项式的幂指数 n ,各
10.3
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考点二 用“赋值法”求二项展开式系数的和
【例 2】 在(2x-3y)10 的展开式中,求:
(1)二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.
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想一想二项展开式中的二项式系数与各项系数有何区别和联系?
答案:二项展开式中各项的二项式系数是C (r=0,1,2,…,n),它只与
各项的项数有关,与 a,b 的值无关;而各项的系数不仅与各项的项数
有关,而且还与 a,b 的值有关.当 a,b 是系数为 1 的单项式时,各项的系
,偶数项系数之和为
2
(1)-(-1)
.
2
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二项式定理
10.3
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举一反三 2 已知等式
2
5
2
9
关闭
10
(x +2x+2) =a0+a1(x+1)+a2(x+1) +…+a9(x+1) +a10(x+1) ,
解:(1)∵(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,∴令 x=0,
其中 ai(i=0,1,2,…,10)为实常数
.
则 a0+a1+a2+…+a9+a10=25=32;
10
10
10
=1
=1
令 x=-1,则
0=1,故 ∑
n=31.
求:(1)
10.3
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2.通项公式
Tr+1=C an-rbr(r=0,1,2,…,n),它表示展开式中的任意一项,只要 n,r 确定,
该项也就随之确定.
3.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,
-
即C = C
.

2
(2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间一项的二项式系数 C
考纲要求
5.
1 18
的展开式中含
3
梳理自测
梳理自测
x15 的项的系数为
探究突破
巩固提升
.(结果用数值表示)
关闭
-
18
1
3
展开式的通项
1
18-r
Tr+1=C18
x
3
3
1 18- r
= C18 2 .
3

3
2
令 18- r=15,则 r=2,
17
15
故展开式中含 x 的系数为
考纲要求
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探究突破
巩固提升
方法提炼
二项展开式的通项与数列的通项公式类似,它可以表示二项展开式的
任意一项,只要 n,r 确定,该项也就随之确定.利用二项展开式的通项可以求
出展开式中任意的指定项,如常数项、系数最大的项、次数为某一确定值的
项、有理项等.
考点一
考点二
考点三
误区警示
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令 x=1,y=-1,
得 a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②
①+②得 2(a0+a2+…+a10)=1+510,
1+510
∴奇数项的系数和为
;
2
①-②得 2(a1+a3+…+a9)=1-510,
1-510
∴偶数项的系数和为
.
2
(5)x 的奇次项系数和为
x 的偶次项系数和为
考点一
1-510
关闭
1 2 2
C18 =17.
3

解析
答案
答案
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考点一 二项展开式的通项公式的应用
【例 1】 (2013 课标全国Ⅱ高考)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为
5,则 a=(
)
A.-4
a1+a3+a5+…+a9=
;
2
10
1+5
a0+a2+a4+…+a10=
2
考点二
考点三
.
误区警示
第十六页，编辑于星期五：十三点 四分。
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方法提炼
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如
(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值
B.-3
C.-2
D.-1
关闭
因为(1+x)5 的二项展开式的通项为C5 xr(0≤r≤5,r∈Z),
D
2
则含 x
的项为C52 x2+ax·C15 x=(10+5a)x2,所以
关闭
10+5a=5,a=-1.
解析
考点一
考点二
考点三
误区警示
答案
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第十一章
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二项式定理
考点一
考点二
考点三
误区警示
第十四页，编辑于星期五：十三点 四分。
第十一章
10.3
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探究突破
巩固提升
解:设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)
各项系数和即为 a0+a1+…+a10,奇数项系数和为 a0+a2+…+a10,偶数项系数
项从左到右是按字母 a 的降幂且按字母 b 的升幂排列的;(3)它是两项和的
形式,公式中 a,b 的位置不能互换,(a-b)n 可按[a+(-b)]n 展
开;(4)C (r=0,1,2,…,n)叫做二项展开式第
r+1 项的二项式系数,它与 a,b
的取值无关.
第三页，编辑于星期五：十三点 四分。
第十一章
10
∴∑ nan=a1+2a2+3a3+…+10a10=2C15 +4C52 +6C53 +8C54 +10C55