2023年高考数学考前20天终极冲刺之函数的应用

2023年高考数学考前20天终极冲刺之函数的应用
一．选择题（共8小题）
1．（2023•陕西模拟）已知偶函数f（x）满足f（x）＝f（8﹣x），且当x∈（0，4]时，，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣20，20]上有且只有30个整数解，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
2．（2023•大通县二模）已知实数a≠1，函数若f（1﹣a）＝f（a ﹣1），则a的值为（）
A．B．C．D．
3．（2022秋•烟台期末）函数的零点所在的区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
4．（2022秋•安阳期末）已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（）
A．B．（0，+∞）C．D．（0，2] 5．（2022秋•宜丰县校级期末）已知函数f（x）＝a x﹣ax（a＞1），且f（x）在[1，2]有两个零点，则a的取值范围为（）
A．（1，2]B．（1，e）C．[2，e）D．（e，e2] 6．（2022秋•大荔县期末）函数f（x）＝lnx+2x﹣8的零点一定位于下列哪个区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）
7．（2022秋•宣城期末）方程的根所在的区间是（）（参考数据ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．（1，2）B．（2，e）C．（e，3）D．（3，4）8．（2022秋•雅安期末）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：°C）近似地满足函数关系y＝e ax+b（e为自然对数的底数，a，
b为常数）．若该液体在10°C的蒸发速度是0.2升/小时，在20°C的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在30℃的蒸发速度为（）
A．0.5升/小时B．0.6升/小时C．0.7升/小时D．0.8升/小时二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•十堰期末）某城市有一个面积为1km2的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是（）
A．步行道的宽度为m B．步行道的宽度为m
C．步行道的宽度为5m D．草坪不可能为黄金矩形
（多选）10．（2022秋•庆阳期末）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟，t∈N）的函数模型：①；②．根据所给的数据，下列结论中正确的是（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟
D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
（多选）11．（2022秋•德州期末）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0（单位：℃），环境温度是θ1（单位：℃），其中θ0＞θ1、则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f（t）＝θ1+（θ0﹣θ1）•e﹣kt（k∈R且k＞0）．现有一杯100℃的热红茶置于10℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．若f（3）＝40℃，则f（6）＝20℃
B．若，则红茶下降到55℃所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是40℃，k约为0.22
D．红茶温度从80℃下降到60°C所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多
（多选）12．（2022秋•庐江县期末）已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝．记max（a，b）＝，则下列关于函数F（x）＝max{f（x），g（x）}（x≠0）的说法正确的是
（）
A．当x∈（0，2）时，F（x）＝x﹣1
B．函数F（x）的最小值为﹣2
C．函数F（x）在（﹣1，0）上单调递增
D．若关于x的方程F（x）＝m恰有两个不相等的实数根，则﹣2＜m＜﹣1或m＞1三．填空题（共5小题）
13．（2022秋•遂宁期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数m＝100﹣2x，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为元．
14．（2022秋•遂宁期末）已知函数若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．
15．（2023春•城区校级月考）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a有3个不同实根，则实数a取值范围为．
16．（2022秋•沧州期末）若正实数x0是关于x的方程e x+x＝ax+lnax的根，则＝．
17．（2022秋•武陵区校级期末）已知函数，若f（x）﹣m＝0有两个实根x1，x2（x1＜x2），则的取值范围为．
四．解答题（共5小题）
18．（2022秋•沧州期末）已知函数，其中a∈R．
（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，试讨论函数g（x）的零点个数．19．（2022秋•衢州期末）已知函数．
（1）若，判断f（x）的零点个数，并说明理由；
（2）记，求证：对任意x∈[0，1]，均有﹣M≤f（x）
≤M．
20．（2022秋•济宁期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2，经过3分钟覆盖面积为64mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）
的关系现有三个函数模型：①y＝ka x（k＞0，a＞1），②y＝log b x（b＞1），③
（p＞0）可供选择．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2？（结果保留到整数）
21．（2022秋•商丘期末）如图，四边形ABCD是一块长方形绿地，AB＝3km，AD＝2km，EF是一条直路，交BC于点E，交AB于点F，且BE＝AF＝1km．现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到D，E，F三个点的距离相等．以点B为坐标原点，直线BC，BA分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系．
（1）求出建筑物的中心的坐标；
（2）由建筑物的中心到直路EF要开通一条路，已知路的造价为100万元/km，求开通的这条路的最低造价．附：．
22．（2022秋•安庆期末）2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如
期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：
x（万元）235
y（万元）
（1）根据表中数据，分别用模型y＝log a（x+m）+b（a＞0且a≠1）与建立y关于x的函数解析式；
（2）已知当x＝9时，y＝3.3，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：）
2023年高考数学考前20天终极冲刺之函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•陕西模拟）已知偶函数f（x）满足f（x）＝f（8﹣x），且当x∈（0，4]时，，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣20，20]上有且只有30个整数解，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据条件可得出函数周期为8，再由题意可确定半周期x∈（0，4]上有3个整数
解，利用导数研究函数的单调性，根据1，2，3为不等式整数解列出不等式求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝f（8﹣x），∴f（﹣x）＝f（8+x），
又函数为偶函数，∴f（x）＝f（8+x），即函数周期为T＝8，
因为不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣20，20]上有且只有30个整数解，所以不等式在（0，4]上恰有3个整数解，
又，可知时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，
所以f（x）在上递增，在上递减，
，所以1，2，3满足不等式，故a＜0，且需解得．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．2．（2023•大通县二模）已知实数a≠1，函数若f（1﹣a）＝f（a
﹣1），则a的值为（）
A．B．C．D．
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分a＜1和a＞1两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：由题意，函数，
当a＜1时，由f（1﹣a）＝f（a﹣1）可得41﹣a＝21，即22﹣2a＝21，解得；
当a＞1时，由f（1﹣a）＝f（a﹣1）可得4a﹣1＝2a﹣（1﹣a），即22a﹣2＝22a﹣1，此时方程无解，
综上可得，实数a的值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．
3．（2022秋•烟台期末）函数的零点所在的区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据零点存在性定理f（a）f（b）＜0，在（0，+∞）为单调递减函数，结合f（2）＞0，f（3）＜0即可求解．
【解答】解：依题意，函数的定义域为（0，+∞），
而在（0，+∞）为单调递减函数，y＝﹣lnx在（0，+∞）为单调递减函数，
因为e3＞4，所以，即，
所以，
，
所以f（2）⋅f（3）＜0，
所以由零点存在性定理可知，
函数在区间（2，3）有零点．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点的判定定理，考查运算求解能力，属于中档题．
4．（2022秋•安阳期末）已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（）
A．B．（0，+∞）C．D．（0，2]
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；数形结合；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】作函数f（x）的大致图像（实线），平移直线y＝k﹣x，数形结合得出实数k的取值范围．
【解答】解：如图，作函数f（x）的大致图像（实线），
平移直线y＝k﹣x，由k﹣x＝x2+2x+2可得，x2+3x+2﹣k＝0，
，
故当时，直线与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）相切；
当k＝0时，直线y＝﹣x经过点（0，0），且与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）有2个不同的交点；
当k＝2时，直线y＝2﹣x经过点（0，2），且与f（x）的图像有3个不同的交点．由图分析可知，当k∈（0，2]时，f（x）的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（2022秋•宜丰县校级期末）已知函数f（x）＝a x﹣ax（a＞1），且f（x）在[1，2]有两个零点，则a的取值范围为（）
A．（1，2]B．（1，e）C．[2，e）D．（e，e2]
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算．【分析】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数g（x）＝xlna﹣lnx﹣lna，再借助导数探讨函数g（x）在[1，2]有两个零点作答．
【解答】解：a＞1，x∈[1，2]，由f（x）＝0得，a x＝ax，则xlna＝lnx+lna，令g（x）＝xlna﹣lnx﹣lna，
依题意，函数g（x）在[1，2]有两个零点，显然g（1）＝0，而在[1，2]上单调递增，
则有，当lna﹣1≥0或，即a≥e或
时，g（x）在[1，2]上单调递增或单调递减，
即有函数g（x）在[1，2]只有一个零点1，因此，此时当时，
g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0，
函数g（x）在上单调递减，在单调递增，则
，
要函数g（x）在[1，2]有两个零点，当且仅当g（x）在上有一个零点，即有g（2）＝lna﹣ln2≥0，解得a≥2，
所以2≤a＜e，即a的取值范围是[2，e）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
6．（2022秋•大荔县期末）函数f（x）＝lnx+2x﹣8的零点一定位于下列哪个区间（）
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）
【考点】函数零点的判定定理；二分法的定义与应用．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用零点存在定理直接判断．
【解答】连接：由题意可知，f（3）＝ln3﹣2＜0，f（4）＝ln4＞0，
故f（3）⋅f（4）＜0，又因函数f（x）＝lnx+2x﹣8在（0，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）＝lnx+2x﹣8的零点一定位于区间（3，4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点存在性定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2022秋•宣城期末）方程的根所在的区间是（）（参考数据ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．（1，2）B．（2，e）C．（e，3）D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由可得x+lnx﹣e＝0，利用零点存在定理可得出结论．
【解答】解：对于方程，有x＞0，可得x+lnx﹣e＝0，
令f（x）＝x+lnx﹣e，其中x＞0，
因为函数y＝x﹣e、y＝lnx在（0，+∞）上为增函数，故函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
因为f（1）＝1﹣e＜0，f（2）＝2+ln2﹣e＜0，f（e）＝1＞0，
由零点存在定理可知，函数f（x）的零点在区间（2，e）内．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点存在性定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8．（2022秋•雅安期末）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：°C）近似地满足函数关系y＝e ax+b（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在10°C的蒸发速度是0.2升/小时，在20°C的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在30℃的蒸发速度为（）
A．0.5升/小时B．0.6升/小时C．0.7升/小时D．0.8升/小时
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由题意可得，求出a，b，再将x＝30代入即可得解．
【解答】解：由题意得，
两式相除得e10a＝2，所以e b＝0.1，
当x＝30时，e30a+b＝（e10a）3⋅e b＝0.8，
所以该液体在30°C的蒸发速度为0.8升/小时．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•十堰期末）某城市有一个面积为1km2的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是（）
A．步行道的宽度为m B．步行道的宽度为m
C．步行道的宽度为5m D．草坪不可能为黄金矩形
【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设广场的宽为m，则长为am，步行道的宽度为zm，根据黄金矩形的比例关系列出方程，求出z＝0，从而得到D正确，ABC错误．
【解答】解：设该广场的宽为m，则长为am，
所以，
设步行道的宽度为zm，使得草坪为黄金矩形，
由于，
则，
解得：z＝0，
故草坪不可能为黄金矩形，D正确，ABC错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）10．（2022秋•庆阳期末）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟，t∈N）的函数模型：①；②．根据所给的数据，下列结论中正确的是（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟
D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学建模．
【分析】将x＝2分别代入与，从而可判断AB；解不等式可得判断CD．
【解答】解：将x＝2代入，得T＝65；
将x＝2代入，得．
故选择函数模型①．
由，可得，
故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分．
故选：AD．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查函数思想与运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（2022秋•德州期末）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0（单位：℃），环境温度是θ1（单位：℃），其中θ0＞θ1、则经过t分
钟后物体的温度θ将满足θ＝f（t）＝θ1+（θ0﹣θ1）•e﹣kt（k∈R且k＞0）．现有一杯100℃的热红茶置于10℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．若f（3）＝40℃，则f（6）＝20℃
B．若，则红茶下降到55℃所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是40℃，k约为0.22
D．红茶温度从80℃下降到60°C所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由题知θ＝f（t）＝10+90e﹣kt，根据指对数运算和指数函数的性质依次讨论各选项求解．
【解答】解：由题知θ＝f（t）＝10+90e﹣kt，
A选项：若f（3）＝40°C，即40＝10+90e﹣3k，所以，
则，A正确；
B选项：若，则，则，
两边同时取对数得，所以t＝10ln2≈7，
所以红茶下降到55°C所需时间大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是40°C，即10+90⋅e﹣5k＝40，
则，得，所以，故C正确；
D选项：f（t）为指数型函数，如图，
可得红茶温度从80°C下降到60°C所需的时间（t2﹣t1）比从60°C下降到40°C所
需的时间（t3﹣t2）少，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（2022秋•庐江县期末）已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝．记max（a，b）＝，则下列关于函数F（x）＝max{f（x），g（x）}（x≠0）的说法正确的是
（）
A．当x∈（0，2）时，F（x）＝x﹣1
B．函数F（x）的最小值为﹣2
C．函数F（x）在（﹣1，0）上单调递增
D．若关于x的方程F（x）＝m恰有两个不相等的实数根，则﹣2＜m＜﹣1或m＞1【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算．【分析】得到函数F（x）＝，作出其图象逐项判断．
【解答】解：由题意得：F（x）＝，其图象如图所示：由图象知：当x∈（0，2）时，F（x）＝，故A错误；
函数F（x）的最小值为﹣2，故B正确；
函数F（x）在（﹣1，0）上单调递增，故C正确；
方程F（x）＝m恰有两个不相等的实数根，则﹣2＜m＜﹣1或m＞1，故D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查了分段函数的应用，作出函数图象是解答本题的关键，属于中档题．三．填空题（共5小题）
13．（2022秋•遂宁期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数m＝100﹣2x，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为40元．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意求出某商场每天获得销售利润y关于售价x的函数关系式，再根据二次函数知识可求出结果．
【解答】解：设某商场每天获得销售利润为y（元），
则y＝（x﹣30）m＝（x﹣30）（100﹣2x）＝﹣2（x﹣40）2+200，
因为x＞30，所以当x＝40（元）时，y取得最大值为200（元）．
所以若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为40元．
故答案为：40
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
14．（2022秋•遂宁期末）已知函数若f（x）恰有2个零点，
则实数a的取值范围是（1，2]∪（3，+∞）．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先求出和x2﹣3x+2＝0的根，再根据f（x）恰有2个零点，以及f（x）的解析式可得a的范围．
【解答】解：由，得2x＝8，得x＝3；
由x2﹣3x+2＝0，得（x﹣1）（x﹣2）＝0，得x＝1或x＝2，
因为f（x）恰有2个零点，
所以若x＝1和x＝2是函数f（x）的零点，则x＝3不是函数f（x）的零点，则a＞3；
若x＝1和x＝3是函数f（x）的零点，则x＝2不是函数f（x）的零点，则1＜a≤2，若x＝2和x＝3是函数f（x）的零点，x＝1不是函数f（x）的零点，则不存在这样的a．综上所述：a＞3或1＜a≤2，即实数a的取值范围是（1，2]∪（3，+∞）．
故答案为：（1，2]∪（3，+∞）．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．15．（2023春•城区校级月考）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a有3个不同实根，则实数a取值范围为（0，）．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用导数研究分段函数f（x）的性质，作出函数图形，数形结合即可求出结果．【解答】解：因为x≥0时，f（x）＝，则f′（x）＝，令f′（x）＝0，则x＝1，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增；
当x∈[1，+∞）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减；
且f（0）＝0，f（1）＝，x→+∞时，f（x）→0；
当x＜0时，f（x）＝3x﹣x3，则f′（x）＝3﹣3x2，
令f′（x）＝0，则x＝﹣1，所以x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增；
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减；且f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣4，x→﹣∞时，f（x）→+∞；
作出f（x）在R上的图象，如图：
由图可知要使f（x）＝a有3个不同的实根，则0＜a＜，
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查了函数零点及数形结合思想的应用，作出函数的图象是解答本题的关键也是难点，属于中档题．
16．（2022秋•沧州期末）若正实数x0是关于x的方程e x+x＝ax+lnax的根，则＝0．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】设f（x）＝e x+x，同构变形得到e x+x＝e lnax+lnax，即f（x）＝f（lnax），从而得到x0＝lnax0，即，从而结果．
【解答】解：令f（x）＝e x+x，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
e x+x＝ax+lnax，即e x+x＝e lnax+lnax，故f（x）＝f（lnax），
∵正实数x0是方程e x+x＝ax+lnax的根，
∴f（x0）＝f（lnax0），则x0＝lnax0，得，
即．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于基础题．17．（2022秋•武陵区校级期末）已知函数，若f（x）﹣m＝0有
两个实根x1，x2（x1＜x2），则的取值范围为．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】原问题等价于函数y＝f（x）与直线y＝m的图象有两个不同的交点，即求
的值域即可．
【解答】解：作出函数y＝f（x）与y＝m的图象，如图所示：
原问题等价于函数y＝f（x）与直线y＝m的图象有两个不同的交点，
此时f（x1）＝m，，m∈（1，3），
∴，
由对勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，所以当m∈（1，3），，
所以，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
18．（2022秋•沧州期末）已知函数，其中a∈R．
（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，试讨论函数g（x）的零点个数．【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）求出f（1），根据对数函数的单调性，列出不等式，求解即可得到答案；
（2）原题可转化为求方程g（x）＝0根的个数，结合g（x）的定义域，求方程（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0根的个数．对a的取值范围分类讨论，得出（a﹣4）x2+（a﹣5）x ﹣1＝0根的个数，结合函数g（x）的定义域即可得出答案．
【解答】解：（1）因为f（1）＝log2（1+a）＜3＝log28，
所以0＜1+a＜8，即﹣1＜a＜7，
所以a的取值范围为（﹣1，7）．
（2）由已知可得，g（x）＝f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝
．
求函数g（x）零点的个数，即求方程g（x）＝0根的个数，
由g（x）＝0，可得，
即，
整理可得，（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0．
①当a＝4时，可化为x+1＝0，解得x＝﹣1，方程只有一个根，故此时函数g（x）有一
个零点；
②当a＝3时，方程可化为x2+2x+1＝0，解得x＝﹣1，方程只有一个根，故此时函数g
（x）有一个零点；
③当a≠4且a≠3时，解方程（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0得，x＝﹣1或．
令，v（x）＝（a﹣4）x+2a﹣5．
则u（﹣1）＝v（﹣1）＝a﹣1，．
（ⅰ）a＞2且a≠4且a≠3，
则a﹣1＞0且2a﹣4＞0，此时有u（﹣1）＝v（﹣1）＞0，，故此时函数g（x）有两个零点；
（ⅱ）1＜a≤2，则a﹣1＞0，2a﹣4＜0，则u（﹣1）＝v（﹣1）＞0，，即不在函数g（x）的定义域内，故此时函数g（x）有一个零点；
（ⅲ）当a≤1，则a﹣1≤0，2a﹣4＜0，则u（﹣1）＝v（﹣1）≤0，，即此时﹣1和均不在函数g（x）的定义域内，故此时函数g（x）无零点．
综上，当a∈（﹣∞，1]时，g（x）无零点；当a∈（1，2]∪{3，4}时，g（x）有一个零点；当a∈（2，3）∪（3，4）∪（4，+∞）时，g（x）恰有2个零点．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
19．（2022秋•衢州期末）已知函数．（1）若，判断f（x）的零点个数，并说明理由；
（2）记，求证：对任意x∈[0，1]，均有﹣M≤f（x）≤M．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）结合对勾函数性质，分x＜﹣1和x＞﹣1两种情况讨论，即得解；
（2）由题得，由于f（x）在
递减，在递增，所以再分，和
三种情况讨论得证．
【解答】解：（1）因为，，结合对勾函数性质，
①1+x＜0，即x＜﹣1时，，此时f（x）＝0无解；
②1+x＞0，即x＞﹣1时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
故，
此时，f（x）＝0有两解：综上可知，f（x）有两个零点．
（2）证明：事实上，且
，
因为，结合a＞0知f（x）在递减，在递增，
①若，即a≥1时，f（x）在[0，1]递增，故f（x）≤f（1）＝M成立，
另一方面f（x）≥f（0），结合f（0）+f（1）＞0知，f（x）≥f（0）＞﹣f（1）＝﹣M，故﹣M≤f（x）≤M成立．
②若，即时，f（x）在[0，1]递减，故f（x）≤f（0）＝M成立，另一方面f（x）≥f（1），结合f（0）+f（1）＞0知，f（x）≥f（1）＞﹣f（0）＝﹣M，故﹣M≤f（x）≤M成立．
③若，即时，f（x）在递减，在
递增，
故f（x）≤max{f（0），f（1）}＝M成立，
下面证明f（x）≥﹣M，只需证，
由，
（ⅰ）若f（0）≥f（1），即时，，
则，
注意到，由成立及成立，
可知成立，即此时f（x）≥﹣M成立．
（ⅱ）若f（0）＜f（1），即时，，
则，
注意到，由成立及
成立，
可知，即此时f（x）≥﹣M成立．
结合（ⅰ）（ⅱ）可知﹣M≤f（x）≤M成立．
综上，对任意x∈[0，1]，均有﹣M≤f（x）≤M．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．
20．（2022秋•济宁期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2，经过3分钟覆盖面积为64mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）
的关系现有三个函数模型：①y＝ka x（k＞0，a＞1），②y＝log b x（b＞1），③
（p＞0）可供选择．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2？（结果保留到整数）
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学建模；数学运算．【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择y＝ka x，并求出解析式；
（2）根据题意，，求出x的取值范围，进而得出结果．
【解答】解：（1）因为y＝ka x（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快，
y＝log b x（b＞1）和（p＞0）的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）．
由题意得，解得，
所以该函数模型为（x≥0）；
（2）由题意得，即，
所以，
又，
所以至少经过9min培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．21．（2022秋•商丘期末）如图，四边形ABCD是一块长方形绿地，AB＝3km，AD＝2km，EF是一条直路，交BC于点E，交AB于点F，且BE＝AF＝1km．现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到D，E，F三个点的距离相等．以点B为坐标原点，直线BC，BA分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系．
（1）求出建筑物的中心的坐标；
（2）由建筑物的中心到直路EF要开通一条路，已知路的造价为100万元/km，求开通的这条路的最低造价．附：．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学建模；数学运算．
【分析】（1）设出过点D，E，F的圆的一般方程，代入三个点的坐标，待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程，得到圆心，即建筑物的中心的坐标；
（2）求出，由垂径定理得到点H到EF的距离，从而求出开通的这条路的最低造价．
【解答】解：（1）由题可知E（1，0），F（0，2），D（2，3），
由题可知经过点D，E，F的圆的圆心H即为所建建筑物的中心，
设圆H的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则，解得，
∴圆H的方程为x2+y2﹣3x﹣3y+2＝0，即，
∴建筑物的中心的坐标为．
（2）因为为建筑物的中心坐标，
设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离，
∵，圆H的半径为，
∴点H到EF的距离为，
∴开通的这条路的最低造价为（万元）．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查圆的方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（2022秋•安庆期末）2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如。