北京市丰台区2017届高三3月综合练习一数学文科试题

丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（一）
数 学（文科）
2017. 03
（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项．
1. 如果集合{}21A x x =∈-≤<Z ，{}101B =-,,，那么A B = （A ）{}2101--,,, （B ）{}101-,, （C ）{}01,
（D ）{}10,-
2. 在平面直角坐标系xOy 中，与原点位于直线3+250x y +=同一侧的点是错误！未找到引用源。

（A ）(34)-,
（B ）(32)--, （C ）(34)--, （D ）(03)-,
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i 错误！未找到引用源。

值是 （A ）3 （B ）4 （C ）5
（D ）6
4. 设命题p ：[0)x ∀∈+∞,，e 1x ≥，则p ⌝是 （A ）0[0)x ∃∉+∞,，0
e 1x <
（B ）[0)x ∀∉+∞,，e 1x < （C ）0[0)x ∃∈+∞,，0
e 1x <
（D ）[0)x ∀∈+∞,，e 1x <
5. 如果 1.20.321
2()2log 2
a b c ===,,，那么
（A ）c b a >> （B ）c a b >> （C ）a b c >>
（D ）a c b >>
6. 由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示，则该几何体的三视图正确的是
（
A
）
（B ）
（C ） （D ）
7.
已知函数π
()sin()3
f x x ω=-，点()A m n ,，(π)B m n +,(||1)n ≠都在曲线()y f x =上，且
线段AB 与曲线()y f x =有五个公共点，则ω的值是 （A ）4
（B ）2
（C ）1
2
（D ）
14
8. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛. 该校高一年级有1，2，3，4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖. 比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是 （A ）乙，丁 （B ）甲，丙
（C ）甲，丁
（D ）乙，丙
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 在复平面内，复数12i z =-对应的点到原点的距离是 ． 10. 抛物线22y x =的准线方程是 ．
11. 设(00)a b M a b +=>>,，M 为常数，且ab 的最大值为2，
则M 等于 .
正视图
侧视图
．正视图
侧视图
．
Ｄ．
俯视图
侧视图侧视图
俯视图
．
12. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，=90ADC ∠︒，
=2AD ，==1BC CD ，P 是AB
的中点，则DP AB uu u r uu u r
g = ． 13. 已知点(10)A ,，(30)B ,，若直线1y kx =+上存在点P ，满足PA PB ⊥，则k 的取值范
围是 ．
14.
已知函数(2)()1()1 1.x a a x x f x a x --≤⎧⎪
=->,,,
（1）若0a =，[04],x ∈，则()f x 的值域是________；
（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c ，且3
C π
=，4c =. （Ⅰ）若3
sin 4
A =
，求a ； （Ⅱ）若ABC △
的面积等于a ，b .
16.（本小题共13分）
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，118a =，设2log n n b a =，且417b =． （Ⅰ）求证：数列{}n b 是以-2为公差的等差数列； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值.
17.（本小题共14分）
如图1，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，1BC AC ==，现将△DAC 沿AC 折起，
得到三棱锥D ABC -(如图2)，且DA BC ^，点E 为侧棱DC 的中点.
（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面DBC ； （Ⅱ）求三棱锥E ABC -的体积；
（Ⅲ）在ACB ∠的角平分线上是否存在点F ，使得DF ∥平面ABE ？若存在， 求DF 的长；若不存在，请说明理由.
18.（本小题共13分）
某校学生营养餐由A 和B 两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分. 根据收集的80份问卷的评分，得到A 公司满意度评分的频率分布直方图和B 公司满意度评分的频数分布表：
图1
图2
A公司B公司（Ⅰ）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；
（Ⅱ）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；
（Ⅲ）请从统计角度，对A、B两家公司做出评价．
19.（本小题共14分）
已知(01)
P,是椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>上一点，点P到椭圆C的两个焦点的
距离之和为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是椭圆C上异于点P的两点，直线P A与直线4
x=交于点M，
是否存在点A，使得
1
2
ABP ABM
S S
∆∆
=？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理
由.
20.（本小题共13分）
已知函数
1
()
e x
x
f x
+
=，A
1
()
x m
,，B
2
()
x m
,是曲线()
y f x
=上两个不同的点.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：120x x +>.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2016~2017学年度第二学期一模练习
高三数学（文科）参考答案及评分参考
2017．03
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9 10． 1
2x =- 11．
12．1-
13．4
[0]3
-, 14．[11]-,
；(0)-∞,. 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由正弦定理
sin sin a c
A C =
可知：34a =，
从而求得a = ……………………6分 （Ⅱ）由ABC ∆的面积等于1sin 24
ABC S ab C ∆=
== 从而16ab =①，
由余弦定理222
2cos c a b ab C =+-可得，
2216=a b ab +-②，
联立①②得4a b ==. ……………………13分
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1n n b b +-=212log log n n a a +-1
2
log n n
a a +==2log q ， 因此数列{}n
b 是等差数列. 又11211log 3b a ==，417b =， 又等差数列{}n b 的公差114
27
b b d -=
=-， 即252n b n =-. 即数列{}n b 是以-2为公差的等差数列. ……………………6分 （Ⅱ）设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，则
1()2n n b b S +=
(23252)2
n n
+-=
(24)n n =-2(12)144n =--+，
于是当12n =时，n S 有最大值，最大值为144. ……………………13分
17．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，有AD BC AC ==，又因为E 为侧棱DC 的中点，
所以AE CD ⊥； 又因为AC BC ⊥，AD BC ⊥，且AC AD A =，所以BC ⊥平面ACD .
又因为AE ⊂平面ACD ，所以AE BC ⊥； 因为BC
CD C =，
所以AE ⊥平面BCD ， 又因为AE ⊂平面ABE ，
所以平面ABE ⊥平面BCD ． ……………………5分 （Ⅱ）解：因为E ABC B ACE V V --=，BC ⊥平面ACD ，所以BC 是三棱锥的高，
故1
3
B ACE ACE V B
C S -∆=⨯⨯，
又因为=1
BC
，CD
,AE=，所
以
111211
=2=
222224
A C E
S A E C
∆
=⨯⨯⨯⨯
，
所以有
11
=
312
B ACE ACE
V BC S
-∆
=⨯⨯……………………9分（Ⅲ）解：取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO OF
=，连接AF，DF，BF.
因为BC AC
=，所以射线CO是角ACB
∠的角分线.
F
O
A
D
E
C
B
又因为点E是的CD中点，所以OE∥DF，
因为OE⊂平面ABE，DF⊄平面ABE，
所以DF∥平面ABE.
因为AB、FC互相平分，
故四边形ACBF为平行四边形，有BC∥AF.
又因为DA BC
⊥，所以有AF AD
⊥，
又因为1
AF AD
==
，故DF=……………………14分18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）设A公司调查的40份问卷的中位数为x
则有0.015100.025100.03700.5
x
⨯⨯⨯-
++=
（）
解得：73.3
x≈
所以，估计该公司满意度得分的中位数为73.3 ……………………4分
（Ⅱ）满意度高于90分的问卷共有6份，其中4份评价A公司，设为
1234
a a a a
,,,，2份
评价B公司，设为
12
b b,.
从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有：
12
()
a a,，
13
()
a a,，
14
()
a a,，
11
()
a b,，
12
()
a b,，
23
()
a a,，
24
()
a a,，
21
()
a b,，
22
()
a b,，
34
()
a a,，
31
()
a b,，
32
()
a b,，
41
()
a b,，
42
()
a b,，
12
()
b b,，共有15种.
其中2份问卷都评价A公司的有以下6种：
12
()
a a,，
13
()
a a,，
14
()
a a,，
23
()
a a,，
24()a a ,，34()a a ,.
设两份问卷均是评价A 公司为事件C ，则有62
()155
P C ==. ……………………9分 （Ⅲ）由所给两个公司的调查满意度得分知：
A 公司得分的中位数低于
B 公司得分的中位数，A 公司得分集中在[)70,80这组， 而B 公司得分集中在[)70,80和[)80,90两个组，A 公司得分的平均数数低于B 公司得分的平均数，A 公司得分比较分散，而B 公司得分相对集中，即A 公司得分的方差高于B 公司得分的方
差. ……………………13分
（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分.） 19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由椭圆C ：
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>过点P （0,1）可得b =1，
又点P
到两焦点距离和为
a =
所以椭圆C 的方程
2
2
12
x
y +=. ……………………4分
（Ⅱ）设A （m ,n ），依题意得：直线PA 的斜率存在， 则直线PA 的方程为：11n y x m
-=
+ ，
令x =4，441n y m -=
+，即M 4441n m -+⎛⎫
⎪⎝⎭
,， 又12
ABP ABM S S ∆∆=
等价于
13
PA PM
=
且点A 在y 轴的右侧，
从而
1
4
3
A P
M P
x x m x x =
-=
-， 因为点A 在y 轴的右侧，
所以
14
3
m =
， 解得 43
m =
,
由点A 在椭圆上，解得：13
n =±
,
于是存在点A （
43
，13
±
），使得12
ABP ABM S S ∆∆=
. ……………………14分
20．（本小题共13分）
解： ()f x 的定义域为R .
(Ⅰ)()e
x x
f x '=-，
由()0f x '=得，0x =， 由()0f x '>得，0x <， 由()0f x '<得，0x >，
所以()f x 的单调增区间为（-∞，0），单调减区间为（0，+∞）.
m 的取值范围是(0,1). ……………………6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，1(1,0)x ∈-，要证210x x >->，只需证21()()f x f x <-
因为12()()f x f x m ==，所以只需证11()()f x f x <-， 只需证
11
1111e e x x x x -+-+<，只需证1
21
1(1)e 10x x x -++<(1(1,0)x ∈-) 令2()(1)e 10x h x x x =-++<，则2()(21)e 1x h x x '=-+， 因为2(())4e 0x h x x ''=<，
所以()h x '在(1,0)-上单调递减，所以()(0)0h x h ''>=，
所以()h x 在(1,0)-上单调递增，所以()(0)0h x h <=， 所以21
e 01
x x x ++
>-，故120x x +> ……………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）。