2016届高三理科数学一轮复习：高考数学微专题研究7-2

＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋…＋
1 2k2k＋2
＋
1 2k＋1[2k＋1＋2]
＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2 ＝4kk＋k＋12k＋＋12＝4k＋k＋11k＋2 2
第11页
第七章 不等式及推理与证明
第十一页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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＝4[k＋k＋11＋1]， 即n＝k＋1时等式成立． 由(1)，(2)可知，对任意n∈N*等式均成立． 【答案】 略
第26页
第七章 不等式及推理与证明
第二十六页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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<16＋12(2×1 3＋3×1 4＋…＋nn1＋1)
＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n－n＋1 1)
＝16＋12(12－n＋1 1)<16＋14＝152.
【答案】 (1)a2＝6，a3＝12，a4＝20，b2＝9，b3＝16，b4 ＝25，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，证明略
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第七章 不等式及推理与证明
第二十三页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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思考题3 在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项 公式，并证明你的结论；
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第七章 不等式及推理与证明
第二十二页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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探究3 “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归 纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过 观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证 明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关 的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
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即当n＝k＋1时，等式也成立． 综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立． 【答案】 略
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第七章 不等式及推理与证明
第八页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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探究1 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题 关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边 各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．
k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k>56.
当n＝k＋1时，
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第七章 不等式及推理与证明
第十七页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋31k＋3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k＋1 1
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k＋(3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k＋1 3－k＋1 1)
题型三 归纳——猜想——证明
例3
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝
an 2
＋
1 an
－1且
an>0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明通项公式的正确性．
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第七章 不等式及推理与证明
第十九页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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>56＋(3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k＋1 3－k＋1 1)
>56＋(3×3k＋1 3－k＋1 1)＝56.
∴当n＝k＋1时不等式亦成立．
∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立． 【答案】 略
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第七章 不等式及推理与证明
第十八页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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①当n＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n＝k时，结论成立，即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，
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第七章 不等式及推理与证明
第二十五页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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【解析】 (1)当n＝1时， 由已知得a1＝a21＋a11－1，a21＋2a1－2＝0. ∴a1＝ 3－1(a1>0)． 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝a22＋a12－1， 将a1＝ 3－1代入并整理得a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2>0)．同理可得a3＝ 7－ 5. 猜想an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)．
则当n＝k＋1时，
1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋(2k＋1 1－2k＋1 2)＝k＋1 1＋
k＋1 2＋…＋21k＋(2k＋1 1－2k＋1 2)
＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋Biblioteka 1＋2k＋1 2.第7页
第七章 不等式及推理与证明
第七页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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bk＋1＝ab2k＋k 1＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都 成立． (2)a1＋1 b1＝16<152. 当n≥2时，由(1)知 an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)·n. 故a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn
(2)证明：a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn<152.
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第七章 不等式及推理与证明
第二十四页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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【解析】 (1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝ 25. 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明：
(1)当n＝n0(n0＝N*)时，验证命题成立； (2)假设n＝k，(k≥n0，k∈N*)时命题成立，推证n＝k＋1时 命题也成立，从而推出对所有的n≥n0，n∈N*命题成立，其中 第一步是归纳基础，第二步是归纳递推二者缺一不可．
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第七章 不等式及推理与证明
第四页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
所以，当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，n∈N*时，不等式
2＋1 2
4＋1 ·4
·…·2n2＋n 1
> n＋1成立．
【答案】 略
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第七章 不等式及推理与证明
第十五页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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探究2 在运用数学归纳法时，要注意起点n0并非一定取 1，也可能取0,2等值；第二步证明的关键是要运用归纳假设， 特别要弄清从k到k＋1时命题变化的情况，应用放缩技巧．
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第七章 不等式及推理与证明
第十六页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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思考题2
求证：
n＋1 1＋
1 n＋2
＋…＋
1 3n
>
5 6
(n≥2，n
∈N*)．
【解析】
(1)当n＝2时，左边＝
1 3
＋
1 4
＋
1 5
＋
1 6
>
5 6
，不等
式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即
(2)略
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第七章 不等式及推理与证明
第二十七页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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运用数学归纳法时易犯的错误： (1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系 时，项数发生什么变化被弄错． (2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是 起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．
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第七章 不等式及推理与证明
第二十八页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假 设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步， 也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整， 注意证明过程的严谨性、规范性．
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专题研究 数学归纳法
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第七章 不等式及推理与证明
第一页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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专题要点 专题讲解 题组层级快练
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第七章 不等式及推理与证明
第二页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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等式右边＝411＋1＝18，∴等式成立．
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第七章 不等式及推理与证明
第十页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立．
即2×1 4＋4×1 6＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1成立，那么当
n＝k＋1时，
1 2×4
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第七章 不等式及推理与证明
第二十一页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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即当n＝k＋1时，通项公式也成立． 由①和②，可知对所有n∈N*，an＝ 2n＋1－ 2n－1都 成立．
【答案】 (1)a1＝ 3－1，a2＝ 5－ 3，a3＝ 7－ 5， an＝ 2n＋1－ 2n－1 (2)略
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第七章 不等式及推理与证明
第十二页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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题型二 证明不等式
例2
用数学归纳法证明不等式
2＋1 2
4＋1 ·4
·…·2n2＋n 1
> n＋1. 【证明】 ①当n＝1时，左式＝32，右式＝ 2，
左式>右式，所以结论成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即
2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1> k＋1，则当n＝k＋1时，
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第七章 不等式及推理与证明
第十三页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31> k＋1·22kk＋＋31＝22kk＋＋31，
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第七章 不等式及推理与证明
第二十页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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(2)①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立， 即ak＝ 2k＋1－ 2k－1. 由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak2＋1＋ak1＋1－a2k－a1k， 将ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式并整理，得 a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0. 解得ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1(an>0)．
要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证22kk＋＋31≥ k＋2，
即证2k＋2 3≥ k＋1k＋2，
由基本不等式
2k＋3 2
＝
k＋1＋2 k＋2≥
k＋1k＋2 成
立，
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第七章 不等式及推理与证明
第十四页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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故22kk＋＋31≥ k＋2成立．
专题要点
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第七章 不等式及推理与证明
第三页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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1．数学归纳法的适证对象
数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法，若n0 是起始值，则n0是使命题成立的最小正整数．
2．数学归纳法的步骤
用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：
(1)当n＝1时，左边＝1－
1 2
＝
1 2
，右边＝
1 1＋1
＝12.左边＝右边．
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第七章 不等式及推理与证明
第六页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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(2)假设n＝k时等式成立，即1－ 12
＋
13 －
1 4
＋…＋2k－1 1
－
21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，
由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎 样的项．
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第七章 不等式及推理与证明
第九页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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思考题1
用数学归纳法证明：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋…＋2n21n＋2＝4nn＋1(其中n∈N*)．
【解析】 (1)当n＝1时，等式左边＝2×1 4＝18，
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专题讲解
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第五页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
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题型一 证明恒等式
例1 求证：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2
＋…＋21n(n∈N*)．
【解析】