2020年四川省凉山州中考数学试卷

2020年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（4分）﹣12020＝（）
A．1B．﹣1C．2020D．﹣2020
2．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）
A．B．C．D．
3．（4分）点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）
4．（4分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和3
5．（4分）一元二次方程x2＝2x的根为（）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2 6．（4分）下列等式成立的是（）
A．√81=±9B．|√5−2|=−√5+2
C．（−1
2）
﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝1
7．（4分）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）
A．m＞−1
2B．m＜3C．−
1
2＜m＜3D．−
1
2＜m≤3
8．（4分）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）
A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm 9．（4分）下列命题是真命题的是（）
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
10．（4分）如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（ ）
A ．1
2
B ．
√2
2
C ．2
D ．2√2
11．（4分）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于⊙O ，则AD ：AB ＝（ ）
A ．2√2：√3
B ．√2：√3
C ．√3：√2
D ．√3：2√2
12．（4分）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论： ①abc ＞0； ②2a +b ＝0； ③3b ﹣2c ＜0；
④am 2+bm ≥a +b （m 为实数）． 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 13．（4分）函数y =√x +1中，自变量x 的取值范围是 ． 14．（4分）因式分解：a 3﹣ab 2＝ ．
15．（4分）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ，若OA
＝1，△AOE 的周长等于5，则▱ABCD 的周长等于 ．
16．（4分）如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是3
2π，则半
圆的半径OA 的长为 ．
17．（4分）如图，矩形OABC 的面积为
1003
，对角线OB 与双曲线y =k
x
（k ＞0，x ＞0）相交
于点D ，且OB ：OD ＝5：3，则k 的值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（5分）解方程：x −
x−22=1+2x−1
3
． 19．（5分）化简求值：（2x +3）（2x ﹣3）﹣（x +2）2+4（x +3），其中x =√2．
20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120mm ，高AD ＝80mm ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全
校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．
22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若DH＝2√5，sin∠BAC=√5
3，求半圆的直径．
四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）若不等式组{2x＜3(x−3)+1
3x+2
4＞x+a
恰有四个整数解，则a的取值范围是．
24．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC 上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（8分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．
（1）当反比例函数y=k
x（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，
求k的取值范围．
（2）若反比例函数y=k
x（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，
y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜k x
的解集．
27．（10分）如图，⊙O 的半径为R ，其内接锐角三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ． （1）求证：
a sin∠A
=
b sin∠B
=
c sin∠C
=2R ；
（2）若∠A ＝60°，∠C ＝45°，BC ＝4√3，利用（1）的结论求AB 的长和sin ∠B 的值．
28．（12分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （3
2，
√3
2
）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的解析式；
（3）在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥x 轴，交直线CD 于Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标．
2020年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（4分）﹣12020＝（）
A．1B．﹣1C．2020D．﹣2020
【解答】解：﹣12020＝﹣1．
故选：B．
2．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；
B、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；
D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（4分）点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）
【解答】解：点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（2，﹣3）．
故选：A．
4．（4分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和3
【解答】解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，
∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1，
解得x＝﹣1，
则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，
∴这组数据的众数为﹣1和3，
故选：C．
5．（4分）一元二次方程x 2＝2x 的根为（ ） A ．x ＝0
B ．x ＝2
C ．x ＝0或x ＝2
D ．x ＝0或x ＝﹣2
【解答】解：∵x 2＝2x ， ∴x 2﹣2x ＝0， 则x （x ﹣2）＝0， ∴x ＝0或x ﹣2＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2， 故选：C ．
6．（4分）下列等式成立的是（ ） A ．√81=±9 B ．|√5−2|=−√5+2
C ．（−1
2
）﹣
1＝﹣2
D ．（tan45°﹣1）0＝1
【解答】解：A ．√81=9，此选项计算错误； B ．|√5−2|=√5−2，此选项错误； C ．（−1
2）﹣
1＝﹣2，此选项正确；
D ．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误； 故选：C ．
7．（4分）若一次函数y ＝（2m +1）x +m ﹣3的图象不经过第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞−1
2
B ．m ＜3
C ．−1
2＜m ＜3
D ．−1
2＜m ≤3
【解答】解：根据题意得{2m +1＞0m −3≤0，
解得−1
2
＜m ≤3． 故选：D ．
8．（4分）点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点．若线段AB ＝12cm ，则线段BD 的长为（ ） A ．10cm
B ．8cm
C ．10cm 或8cm
D ．2cm 或4cm
【解答】解：∵C 是线段AB 的中点，AB ＝12cm ， ∴AC ＝BC =1
2AB =1
2×12＝6（cm ）， 点D 是线段AC 的三等分点，
①当AD =13
AC 时，如图，
BD ＝BC +CD ＝BC +2
3AC ＝6+4＝10（cm ）； ②当AD =2
3
AC 时，如图，
BD ＝BC +CD ′＝BC +1
3AC ＝6+2＝8（cm ）． 所以线段BD 的长为10cm 或8cm ， 故选：C ．
9．（4分）下列命题是真命题的是（ ） A ．顶点在圆上的角叫圆周角
B ．三点确定一个圆
C ．圆的切线垂直于半径
D ．三角形的内心到三角形三边的距离相等
【解答】解：A 、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题； B 、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题； C 、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题； D 、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题； 故选：D ．
10．（4分）如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（ ）
A ．1
2
B ．
√22
C ．2
D ．2√2
【解答】解：如图，连接BD ，由网格的特点可得，BD ⊥AC ， AD =√22+22=2√2，BD =√12+12=√2， ∴tan A =BD AD =√2
22
=1
2，
故选：A ．
11．（4分）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于⊙O ，则AD ：AB ＝（ ）
A ．2√2：√3
B ．√2：√3
C ．√3：√2
D ．√3：2√2
【解答】解：连接OA 、OB 、OD ，过O 作OH ⊥AB 于H ，如图所示： 则AH ＝BH =1
2AB ，
∵正方形ABCD 和等边三角形AEF 都内接于⊙O ， ∴∠AOB ＝120°，∠AOD ＝90°， ∵OA ＝OD ＝OB ，
∴△AOD 是等腰直角三角形，∠AOH ＝∠BOH =1
2×120°＝60°， ∴AD =√2OA ，AH ＝OA •sin60°=√3
2OA ， ∴AB ＝2AH ＝2×√3
2OA =√3OA ， ∴
AD AB
=
√2OA √3OA =√2
√3
， 故选：B ．
12．（4分）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论： ①abc ＞0；
②2a+b＝0；
③3b﹣2c＜0；
④am2+bm≥a+b（m为实数）．
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∵c＜0
∴abc＞0
故①正确；
②∵对称轴x=−b2a=1，
∴2a+b＝0；
故②正确；
③∵2a+b＝0，
∴a=−1
2b，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴−1
2b﹣b+c＞0
∴3b﹣2c＜0
故③正确；
④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．
故④正确．
本题正确的结论有：①②③④，4个； 故选：D ．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）函数y =√x +1中，自变量x 的取值范围是 x ≥﹣1 ． 【解答】解：由题意得，x +1≥0， 解得x ≥﹣1． 故答案为：x ≥﹣1．
14．（4分）因式分解：a 3﹣ab 2＝ a （a +b ）（a ﹣b ） ． 【解答】解：a 3﹣ab 2＝a （a 2﹣b 2）＝a （a +b ）（a ﹣b ）．
15．（4分）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ，若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则▱ABCD 的周长等于 16 ．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，OB ＝OD ， ∵OE ∥AB ，
∴OE 是△ABD 的中位线， ∴AB ＝2OE ，AD ＝2AE ， ∵△AOE 的周长等于5， ∴OA +AE +OE ＝5，
∴AE +OE ＝5﹣OA ＝5﹣1＝4， ∴AB +AD ＝2AE +2OE ＝8，
∴▱ABCD 的周长＝2×（AB +AD ）＝2×8＝16； 故答案为：16．
16．（4分）如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是3
2π，则半
圆的半径OA 的长为 3 ．
【解答】解：连接OC 、OD 、CD ．
∵△COD 和△CBD 等底等高， ∴S △COD ＝S △BCD ．
∵点C ，D 为半圆的三等分点， ∴∠COD ＝180°÷3＝60°， ∴阴影部分的面积＝S 扇形COD ， ∵阴影部分的面积是3
2π，
∴
60π⋅r 2360
=3
2
π，
∴r ＝3， 故答案为3．
17．（4分）如图，矩形OABC 的面积为
1003
，对角线OB 与双曲线y =k
x
（k ＞0，x ＞0）相交
于点D ，且OB ：OD ＝5：3，则k 的值为 12 ．
【解答】解：设D 的坐标是（3m ，3n ），则B 的坐标是（5m ，5n ）． ∵矩形OABC 的面积为1003
，
∴5m •5n =100
3， ∴mn =4
3．
把D的坐标代入函数解析式得：3n=
k
3m，
∴k＝9mn＝9×4
3
=12．
故答案为12．
三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5分）解方程：x−x−2
2
=1+2x−1
3．
【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），
去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，
移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，
合并同类项，得：﹣x＝﹣2，
系数化为1，得：x＝2．
19．（5分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x=√2．【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12
＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12
＝3x2﹣1，
当x=√2时，
原式＝3×（√2）2﹣1
＝3×2﹣1
＝6﹣1
＝5．
20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
【解答】解：∵四边形EGFH为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴EF
BC =
AK
AD
，
∴x
120=
80−x
80
，
解得：x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品24件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为150°；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．
【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件）， 则C 班级作品数为24﹣（4+6+4）＝10（件），
∴在扇形统计图中表示C 班的扇形的圆心角的度数为360°×10
24
=150°， 故答案为：24、150°； （2）补全图形如下：
（3）列表如下：
A B B C C D A BA BA CA CA DA B AB BB CB CB DB B AB BB CB CB DB C AC BC BC CC DC C AC BC BC CC DC D
AD
BD
BD
CD
CD
由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果， ∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为
2630
=
1315
．
22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若DH＝2√5，sin∠BAC=√5
3，求半圆的直径．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AH∥OD，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH是半圆的切线；
（2）解：连接BC交OD于E，
∵AB是半圆AOB的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴CE＝DH＝2√5，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，
∴BC＝2CE＝4√5，
∵sin∠BAC=BC
AB
=√53，
∴AB＝12，
即半圆的直径为12．
四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 23．（5分）若不等式组{2x ＜3(x −3)+1
3x+2
4
＞x +a
恰有四个整数解，则a 的取值范围是 −
11
4
≤a ＜−5
2 ．
【解答】解：解不等式2x ＜3（x ﹣3）+1，得：x ＞8， 解不等式
3x+24
＞x +a ，得：x ＜2﹣4a ，
∵不等式组有4个整数解， ∴12＜2﹣4a ≤13， 解得：−11
4≤a ＜−5
2， 故答案为：−11
4≤a ＜−5
2．
24．（5分）如图，矩形ABCD 中，AD ＝12，AB ＝8，E 是AB 上一点，且EB ＝3，F 是BC 上一动点，若将△EBF 沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距离为 10 ．
【解答】解：如图，连接PD ，DE ，
∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝90°， ∵AB ＝8，BE ＝3，
∴AE ＝5， ∵AD ＝12，
∴DE =√52+122=13， 由折叠得：EB ＝EP ＝3， ∵EP +DP ≥ED ，
∴当E 、P 、D 共线时，DP 最小， ∴DP ＝DE ﹣EP ＝13﹣3＝10； 故答案为：10．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．（8分）如图，点P 、Q 分别是等边△ABC 边AB 、BC 上的动点（端点除外），点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发．
（1）如图1，连接AQ 、CP ．求证：△ABQ ≌△CAP ；
（2）如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，AQ 、CP 相交于点M ，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时，直线AQ 、CP 相交于M ，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
【解答】解：（1）证明：如图1，∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABQ ＝∠CAP ＝60°，AB ＝CA ， 又∵点P 、Q 运动速度相同， ∴AP ＝BQ ，
在△ABQ 与△CAP 中， {AB =CA
∠ABQ =∠CPA AP =BQ
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC
∵∠BAC＝60°，
∴∠QMC＝60°；
（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠P AC＝180°﹣60°＝120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．
26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．
（1）当反比例函数y=k
x（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，
求k的取值范围．
（2）若反比例函数y=k
x（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，
y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜k x
的解集．
【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，
由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤25 4，
故k的取值范围0＜k≤25 4；
（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），
点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，
观察函数图象知，当﹣x+5＜k
x时，0＜x＜1或x＞4．
27．（10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．
（1）求证：a
sin∠A =
b
sin∠B
=
c
sin∠C
=2R；
（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4√3，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．
【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：
则∠BCE ＝90°，∠E ＝∠A ，
∴sin A ＝sin E =BC BE =a 2R ，
∴a sinA =2R ，
同理：
b sin∠B =2R ，
c sin∠C =2R ， ∴a sin∠A =b sin∠B =c sin∠C =2R ；
（2）解：由（1）得：
AB sinC =BC sinA ， 即AB sin45°=4√3sin60°
=2R ， ∴AB =√3×√22
32=4√2，2R =4√3
32
=8，
过B 作BH ⊥AC 于H ，
∵∠AHB ＝∠BHC ＝90°， ∴AH ＝AB •cos60°＝4√2×12=2√2，CH =√22
BC ＝2√6， ∴AC ＝AH +CH ＝2（√2+√6），
∴sin ∠B =AC 2R =2(√2+√6)8
=√2+√64．
28．（12分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （32，√32
）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的解析式；
（3）在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥x 轴，交直线CD 于Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标．
【解答】解：（1）将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{c =0a +b +c =0√32
=94a +32b +c ，解得{
a =−2√33
b =−2√33
c =0
， 故抛物线的表达式为：y =2√33x 2−2√33x ；
（2）由点B 的坐标知，直线BO 的倾斜角为30°，则OB 中垂线（CD ）与x 负半轴的夹角为60°，
故设CD 的表达式为：y =−√3x +b ，而OB 中点的坐标为（34，√34）， 将该点坐标代入CD 表达式并解得：b =√3，
故直线CD 的表达式为：y =−√3x +√3；
（3）设点P （x ，2√33
x 2−2√33x ），则点Q （x ，−√3x +√3），
则PQ =−√3x +√3−（
2√33x 2−2√33x ）=−2√33x 2−√33x +√3， ∵−2√33＜0，故PQ 有最大值，此时点P 的坐标为（−14，27√316
）．。