高中物理专题复习曲线运动与万有引力定律

曲线运动与万有引力定律
1．掌握曲线运动的概念、特点及条件；掌握运动的合成与分解法则。

2．掌握平抛运动的特点和性质；掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题
3．掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系；理解向心力公式并能应用；了解物体做离心运动的条件。

4．万有引力定律在天体中的应用，如分析人造卫星的运行规律、计算天体的质量和密度等，是高考必考内容．以天体问题为背景的信息给予题，更是受专家的青睐．在课改区一般以选择题的形式呈现． 5．单独命题常以选择题的形式出现；与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识相综合常以计算题的形式出现。

平抛运动的规律及其研究方法、近年考试的热点，且多数与电场、磁场、机械能等知识结合制成综合类试题。

圆周运动的角速度、线速度及加速度是近年高考的热点，且多数与电场、磁场、机械能等知识结合制成综合类试题，这样的题目往往难度较大。

万有引力定律与航天
【复习目标】
1．掌握万有引力定律的内容、公式及其应用． 2．理解环绕速度的含义并会求解． 3．了解第二和第三宇宙速度． 【基础知识】
知识1 万有引力定律及其应用
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式：2
21r
m m G F =，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11
N·m 2/kg 2． 3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 知识2 环绕速度
1．第一宇宙速度又叫环绕速度．
推导过程为：由r mv r
Mm G mg 2
12==得：gR r
GM
v ==
1＝7．9 km/s ．
2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． 3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度． 特别提醒 1．两种周期——自转周期和公转周期的不同
2．两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度 3．两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同
知识3 第二宇宙速度和第三宇宙速度
1．第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11．2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16．7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度． 【考点详析】
考点一：天体质量和密度的计算 1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即：ma r mv r T m r m r
Mm G ====222
2)2(πω (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2R
Mm
G mg =（g 表示天体表面的重力加速度)．
(3)利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：2R Mm G
mg =，所以2R
M
G g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得2
)(h R M
G g +='
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R ．
由于2R
Mm
G mg =，故天体质量：G gR M 2=
天体密度：GR
g
V M πρ43=
=
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r ．
①由万有引力等于向心力，即：r T m r Mm G 22)2(π=，得出中心天体质量：23
24GT r M π=
； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度：3
23
3R GT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度
23GT
V M π
ρ==
．可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 【重点归纳】 1．黄金代换公式
(1)在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式． 2．估算天体问题应注意三点
(1)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等．
(2)注意黄金代换式GM ＝gR 2的应用． (3)注意密度公式2
3GT
π
ρ=
的理解和应用． 【典例1】某研究小组用天文望远镜对一颗行星进行观测，发现该行星有一颗卫星，卫星在行星的表面附近绕行，并测得其周期为T ，已知引力常量为G ，根据这些数据可以估算出：（ ） A ．行星的质量 B ．行星的半径 C ．行星的平均密度
D ．行星表面的重力加速度
【跟踪训练】
1．一同学为探月宇航员估算环绕月球做匀速圆周运动的卫星的最小周期，想出了一种方法：在月球表面以初速度v 0竖直上抛一个物体，测出物体上升的最大高度为h ，假设物体只受月球引力作用，又已知该月球的直径为d ，则卫星绕月球做圆周运动的最小周期为：（ ） A ．
0d v h π B ．02d
v h
π
C ．0dh v π
D ．02dh v π
2．2013年12月2日1时30分，嫦娥三号探测器由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察。

嫦娥三号的部分飞行轨道示意图如图所示。

假设嫦娥三号在圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力。

下列说法中正确的是：（ ） A ．嫦娥三号沿椭圆轨道从P 点运动到Q 点的过程中，速度逐渐变小 B ．嫦娥三号沿椭圆轨道从P 点运动到Q 点的过程中，月球的引力对其做负功 C ．若已知嫦娥三号在圆轨道上运行的半径、周期和引力常量，则可计算出月球的密度 D ．嫦娥三号在椭圆轨道经过P 点时和在圆形轨道经过P 点时的加速度相等
考点二：卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力，ma r mv r T m r m r
Mm G ====222
2)2(πω 2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
r GM
v =
；3r GM =ω；GM
r T 3
2π=；2r GM a = (1)卫星的a 、v 、ω、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定．
(2)卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大． 3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7．9 k m/s ． (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
【重点归纳】
1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路
(1)一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
(2)两组公式 卫星运动的向心力来源于万有引力：ma r mv r T m r m r
Mm G ====222
2)2(πω 在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即：2R
Mm
G mg = (g 为星体表面处的重力加速度)
2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫===
=
减小增大减小
减小增大时当半径a T v r r
GM a GM r T r GM r GM v ωπ
ω2
3
32 【典例2】据报道，嫦娥二号探月卫星环月飞行的高度距离月球表面100km ，所探测到的有关月球的数据将比环月飞行高度为200km 的嫦娥一号更加详实。

若两颗卫星环月的运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图所示。

则：（ ）
A ．“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”大
B ．“嫦娥二号”环月运行的线速度比“嫦娥一号”小
C ．“嫦娥二号”环月运行的向心加速度比“嫦娥一号”大
D ．“嫦娥二号”环月运行的向心力与“嫦娥一号”相等 【跟踪训练】
1．甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。

以下判断正确的是：（ ）
A ．甲的周期小于乙的周期
B ．乙的速度大于第一宇宙速度
C ．甲的加速度小于乙的加速度
D ．甲在运行时能经过北极的正上方
2．（多选）如图所示，在“嫦娥”探月工程中，设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0。

飞船在半径为4R 的圆型轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月做圆周运动，则：（ ） A ．飞船在轨道Ⅲ的运行速率大于0g R
B ．飞船在轨道Ⅰ上运行速率小于在轨道Ⅱ上B 处的速率
C ．飞船在轨道Ⅰ上的重力加速度小于在轨道Ⅱ上B 处重力加速度
D ．飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比有T Ⅰ ：T Ⅲ＝4 ：1 考点三：宇宙速度、卫星变轨问题的分析
1．第一宇宙速度v 1＝7．9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度． 2．第一宇宙速度的两种求法：
(1) r mv r
Mm G 212=，所以r GM v =1
(2) r
mv mg 2
1=，所以gR v =1．
3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．
4．当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：
(1)当卫星的速度突然增加时，r mv r
Mm G 22<，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱
离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由r
GM
v =可知其运行速度比原轨道时减小．
(2)当卫星的速度突然减小时，r mv r
Mm G 2
2>，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，
脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由r
GM
v =可知其运行速度比原轨道时增大．
卫星的发射和回收就是利用这一原理． 【重点归纳】
1．处理卫星变轨问题的思路和方法 （1）要增大卫星的轨道半径，必须加速； （2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大． 2．卫星变轨问题的判断：
(1)卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大． (2)卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．
(3)圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同． 3．特别提醒:“ 三个不同”
（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同
（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度
（3）两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同
【典例3】我国自主研制的“北斗”卫星导航系统具有导航、定位等功能，在抗震救灾中发挥了巨大作用．“北斗”系统中两颗质量不相等的工作卫星沿同一轨道绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，如题图所示．若卫星均沿顺时针方向运行，地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，o
60AOB ∠=，下述说法中正确的是：（ ） A ．地球对两颗卫星的万有引力相等 B ．卫星1向后喷气就一定能追上卫星2 C ．卫星绕地心运动的周期为2r
g
π
D ．卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间为3r
r R g
π 【跟踪训练】
1．模拟2013年5月“神舟十号”载人航天飞行取得圆满成功．“神十”飞船在到达预定的圆轨道之前，运载火箭的末级火箭仍和飞船连接在一起（飞船在前，火箭在后），先在大气层外某一轨道上绕地球做匀速圆周运动，然后启动脱离装置，使飞船加速并实现船箭脱离，最后飞船到达预定的圆轨道．关于飞船在预定的圆轨道上运行的说法，正确的是：（ ） A ．预定的圆轨道比某一轨道离地面更远，飞船速度比脱离前大 B ．预定的圆轨道比某一轨道离地面更近，飞船的运行周期变小 C ．预定的圆轨道比某一轨道离地面更远，飞船的向心加速度变小 D ．飞船和火箭仍在预定的圆轨道上运行，飞船的速度比火箭的大
2．如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r 的圆轨道1运动。

经P 点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P 点的可能轨道。

则飞行器：（ ） A ．变轨后将沿轨道2运动 B ．相对于变轨前运行周期变长
C ．变轨前、后在两轨道上经P 点的速度大小相等
D ．变轨前、后在两轨道上经P 点的加速度大小相等 考点四：双星系统模型问题的分析与计算 1．双星系统模型的特点：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等．
(2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等； (3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r 1＋r 2＝L ． 2．双星系统模型的三大规律： (1)双星系统的周期、角速度相同． (2)轨道半径之比与质量成反比．
(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．
【重点归纳】
1．模型条件
①两颗星彼此相距较近．
②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动．
③两颗星绕同一圆心做圆周运动．
2．模型特点
①“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．
②“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等．
③“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．
3．解答双星问题应注意“两等”“两不等”
①双星问题的“两等”：它们的角速度相等；双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．
②“两不等”：双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离；由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等．
【典例4】2012年7月26日，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示。

此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中（两星体密度相当）：（）
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变[
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
【跟踪训练】
1．（多选）宇宙中的有些恒星可组成双星系统。

它们之间的万有引力比其它恒星对它们的万有引力大得多，因此在研究双星的运动时，可以忽略其它星球对它们的作用。

已知S1和S2构成一个双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动。

S1的质量是S2质量的k倍（k>1），下列判断正确的是：（）
A．S1、S2的角速度之比为1∶k B．S1、S2的线速度之比为1∶k
C．S1、S2的加速度之比为1∶k D．S1、S2所受的向心力大小之比为k∶1
2．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。

如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两颗星之间
的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：2。

则可知：（）A．m1：m2做圆周运动的角速度之比为2：3
B．m1：m2做圆周运动的线速度之比为3：2
2
C．m1做圆周运动的半径为L
5
D．m2做圆周运动的半径为L。