高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》图文答案

【高中数学】数学《复数》期末复习知识要点
一、选择题
1．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是
A ．12R z z ∈
B ．12R z z ∈
C ．12R z z +∈
D ．12
R z z ∈ 【答案】D
【解析】
利用排除法：
当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i
+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误，
本题选择D 选项.
2．已知i 是虚数单位，则
31i i +-=（ ） A ．1-2i
B ．2-i
C ．2+i
D ．1+2i 【答案】D
【解析】 试题分析：根据题意，由于
33124121112
i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算
点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．
3．a 为正实数，i 为虚数单位，
2a i i +=，则a=（ ） A ．2
B
C
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
||220,a i a a a i
+==∴=>∴=Q ，选B.
4．
若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A ．2,3b c ==
B ．2,1b c ==-
C ．2,1b c =-=-
D ．2,3b c =-=
【答案】D
【解析】
【分析】 由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数
a ，b
的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩
，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】
由题意
1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0
∴
﹣2+
b bi +
c ＝0
，即()
10b c i -+++=
∴100
b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．
【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
5．设3443i z i -=
+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i
B ．i -
C ．1i -+
D ．1i + 【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．
【详解】 解：3443i z i
-=+Q ()()()()
344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q
()()()2
1f z i i i ∴=---+=
故选：A
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
6．若复数
()21a i a R i -∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）
A B ．13 C ．10 D
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可．
【详解】
由复数的运算法则有：
2(2)(1)221(1)(1)22
a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩
，
即2,|3|a ai =--=
本题选择A 选项.
【点睛】
复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.
7．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简z =
-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】
由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122
i i z i i i --===-++-，
则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8．设复数21i x i =
-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．1i +
B ．i -
C ．i
D ．0
【答案】D
【解析】
【分析】 先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．
【详解】 解：复数2(1i x i i
=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020
202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2
121(1)111(1)(1)
i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020
202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．
9．若202031i i z i
+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到2z i =+，得到答案.
【详解】 ()()()()
202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .
【点睛】
本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.
10．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）
A ．8-
B ．8+
C ．1+
D ．8
【答案】B
【解析】
根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离，计算得到答案.
【详解】
|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，
(,)a b 到原点的距离，
故22a b +的最大值为
)221(18=+=+. 故选：B .
【点睛】
本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
11．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限
B ．z 一定不为纯虚数
C ．z 对应的点在实轴的下方
D ．z 一定为实数 【答案】C
【解析】
【分析】
根据()2
222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.
【详解】
()2222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；
213,25302
t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302
t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.
故选：C
【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
12．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =
A ．12i +
B ．12i -
C ．1i +
D ．1i -
【解析】
【分析】
设出复数z ，根据复数相等求得结果.
【详解】
设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-，
故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩
. 所以1z i =+.
故选：C .
【点睛】
本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.
13．在复平面内，复数21i z i =
+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】
分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112
i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.
本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．在复平面内，复数121i z i -=
+对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】C
【解析】
试题分析：
1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故
选C ．
考点：复数的代数运算及几何意义．
15．复数21i z i +=
-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是
A ．z =
B ．z 的共轭复数为31+22
i C ．z 的实部与虚部之和为1
D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D
【解析】
【分析】 利用复数的四则运算，求得1322
z i =
+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．
【详解】 由题意()()()()22121313111122
i i i i z i i i i i ++++====+--+-，
则22
z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．
【点睛】
复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为
b (,)a b 、共轭为a bi -．
16．已知复数134z i
=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3
B ．复数z 的虚部为425i
C ．复数z 的共轭复数为
342525i + D ．复数的模为1
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数的基本概念得选项.
【详解】 1343434252525
i z i i -===-+， 所以z 的实部为
325，虚部为425- ，
z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.
【点睛】
该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.
17．已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ）
A ．i
B ．1
C ．i -
D ．1-
【答案】B
【解析】 ()()1i 1i z +=-，则()()()2
1i 1i 2i 1i 1i 1i 2z ---====-++-i ，1z ∴=，故选B.
18．在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】 ∵()112z i i +=-，∴()()()()
221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i -----+--=====--++--，∴1322
z i =-+，故对应的点在第二象限．故选B ．
19．复数3
21
i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ） A ．2155
i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133
i - 【答案】C
【解析】 试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，则共轭复数为：2155
i --． 考点：复数的运算及共轭复数的概念.
20．已知i 是虚数单位，则2
331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭
（ ） A ．32i --
B ．33i --
C ．24i -+
D ．22i -- 【答案】B
【解析】
【分析】
根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．
【详解】
()()()2
2231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌 故选B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．。