2024年湖北省孝感市中考三模数学试题【答案】

2024年5月学情调研九年级
数学试卷
（本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．实数5-的相反数是（ ）
A ．5-
B ．5
C ．1
5D ．5
±2．下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．函数y ＝
13x -中自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ≠3D ．x ＜34．下列运算正确的是（ ）
A ．4312x x x ×=
B ．329()x x =
C ．235x x x +=
D ．2x x x ¸=5．下表记录了甲、乙、丙、丁四个科技创新小组最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是（ ）
甲
乙丙丁平均数
88929288方差
0.9 1.51 1.8A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁
6．一元二次方程2210x x +-=的两根为1x ，2x ，则221212x x x x +的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．3
D ．3
-7．如图，用直尺和圆规作AOB Ð的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A ．OM ON =
B ．CM CN =
C ．OM CM =
D ．AOC BOC Ð=Ð8．半径为5cm 的圆内接正五边形一边所对的劣弧的长为（ ）
A ．πcm
B ．2πcm
C ．3πcm
D ．4πcm
9．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．测得55A Ð=°，阳光垂直照射地面时雕塑的影长2m AC =，则雕塑的高BC 的长约为（ ）
（参考数据：sin550.82°»，cos550.57°»，tan55 1.43°»，结果保留两位小数）
A ．2.86m
B ．1.64m
C ．1.14m
D ．1.40m
10．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）经过点(1,1)--和(0,1)，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程210ax bx c +++=有两个不等的实数根；③2a >；④若方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则
122x x +>-．其中，正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（共5题，每小题3分，共15分）
11．请写出使不等式10x +<成立的一个x 的值为 ．
12．如图，平面镜MN 放置在水平地面CD 上，墙面ED CD ^于点D ，一束光线AO 照射到镜面MN 上，反射光线为OB ，点B 在ED 上，若40AOC Ð=°，则OBD Ð的度数
为 ．
13．为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
该地区九年级学生共有4000人，根据以上统计分析，估计该地区九年级学生中视力正常的人数约有 人．
14．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x 天可追上慢马，则由题意，可列方程为 ．
15．如图1，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，4AC =，3BC =，点D 是AC 的中点，点E 是AB 的中点，连接DE ．如图2，将ADE V 绕A 点顺时针旋转到点C ，D ，E 首次在同一条直线上，连接BE ．则BE 的长为 ．
三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算：0|3|(2024)5tan 45---°．
17．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 为ABC V 的中线．点E ，F 分别在AB ，AC 上，且AE AF AD ==，连接DE ，DF ．
(1)求证：ADE ADF V V ≌；
(2)若80BAC Ð=°，求BDE Ð的度数．
18．甲、乙两名同学到离校1.4km 的“人民广场”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的3.5倍，甲出发15min 后乙同学出发，结果，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度是多少km/h ？
19．某校甲、乙两班分别有一名男生和一名女生共4名学生报名竞选校园广播播音员．
(1)若从甲、乙两班报名的学生中分别随机选1名学生，求所选的2名学生均为男生的概率是多少？
(2)若从报名的4名学生中随机选2名，求这2名学生来自同一班级的概率．
20．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x
=
的图象相交于()()1,3,,1A B n -两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足m kx b x
+<的x 的取值范围；(3)若点P 在x 轴上，且6ABP S =△，求点P 的坐标．
21．如图，已知AB 为O e 的直径，点C 为O e 外一点，AC BC =，连接OC ，DF 是AC 的垂直平分线，垂足为点E ，交OC 于点F ，垂足为点E ，连接AD 、CD ，且
DCA OCA Ð=Ð．
(1)求证：AD 是O e 的切线；
(2)若5CD =，3OF =，求cos DAC Ð的值．
22．利民超市购进一种新上市的商品，进价为50元/件，超市先进行了30天的试销售．销售结束后，对试销情况进行了统计分析，得知日销售量y （件）与销售时间x （天）之间有如下关系：2120y x =-+（130x ££，且x 为整数）；销售价格z （元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：70z x =+（130x ££，且x 为整数）．设销售该商品的日利润为w （元）．
(1)求出w （元）与x （天）之间的函数关系式；
(2)在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最小？并分别求出这个最大利润和最小利润．
(3)在这30天中，日利润不低于2750元的共有几天？
23．已知ABC V ，CA CB =，90ACB Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于点D ．点E 在线段CA 上，连接DE ，过点D 作DE 的垂线与CB 交于点F ．
(1)如图1，当DE CA ^时，求证：DE DF =；
(2)如图2，当DE 与CA 不垂直时，“DE DF =”是否仍成立？请作出判断，并说明理由；
(3)如图3，连接EF 与CD 交于点O ，若2OE =，4OF =，求线段OC 的长．
24．如图1，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A 和()4,0B ，与y 轴交于点C ，过点B ，C 作直线．
(1)求b ，c 的值和直线BC 的解析式；
(2)点P 是直线BC 下方的抛物线上的点，PD y ∥轴与直线BC 交于点D ，设点P 的横坐标为t ．
①如图2，连接PB PC OP ，，，当PBC V 的面积最大时，试判断四边形OCDP 的形状，并说明理由；
②如图3，抛物线的对称轴为直线l ，直线DP 与x 轴交于点E ，过点D 作直线BC 的垂线，与直线l 交于点F ，与y 轴交于点G ，连接EF EG ，．当45FEG Ð=°时，求t 的值．
1．B
【分析】本题考查的知识点是相反数的定义，解题关键是熟练掌握相反数的定义．
相反数：绝对值相等，符号不同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另外一个数的相反数．根据此定义即可得解．
【详解】解：结合根据相反数的定义可得：5-的相反数是5．
故选：B ．
2．A
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形．分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．
【详解】解：A ．主视图是圆，故此选项符合题意；
B ．主视图是梯形，故此选项不合题意；
C ．主视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
D ．主视图是矩形，故此选项不合题意；
故选：A ．
3．C
【分析】根据分式有意义的条件，列不等式求解．
【详解】解：根据分式有意义的条件，得30x -¹，
解得3x ¹，
故选：C ．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围．解题的关键是掌握知识点为：分式有意义，分母不为0．
4．D
【分析】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A 、74312x x x x ¹×=，故此选项不合题意；
B 、3269()x x x =¹，故此选项不合题意；
C 、2x 与3x 不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；
D 、2x x x ¸=，故此选项符合题意．
故选：D ．
5．C
【分析】此题考查了平均数和方差，选择平均数较大且方差较小的运动员参加即可．
【详解】Q 乙和丙的平均成绩比甲和丁好，
\从乙和丙中选择一人参加比赛，
又22s s >Q 乙丙，
\选择丙参赛，
故选：C ．
6．A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意得：122x x +=-，121x x =-，再代入代数式进行计算即可．解题的关键是掌握：若1x ，2x 是一元二次方程
()200ax bx c a ++=¹的两根，则12b x x a
+=-，12c x x a =．【详解】解：∵1x ，2x 是一元二次方程2210x x +-=的两根，
∴122x x +=-，121x x =-，
∴()()()2212121212122x x x x x x x x +=×+=-´-=，
∴221212x x x x +的值为2．
故选：A ．
7．C
【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【详解】解：根据作图可得OM ON =，CM CN =，故A ，B 正确；
∵OC 是角平分线，
∴AOC BOC Ð=Ð，故D 选项正确，
而OM CM =不一定成立，故C 选项错误，
故选：C ．
8．B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键．根据正多边形和圆的性质，计算半径为5cm 的圆周长的五分之一即可．
【详解】由题意得，半径为5cm 的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为5cm 的圆周长的五分之一，所以12525
p p ´´=，故选B ．
9．A
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得：BC AC ^，在Rt ABC △中，tan BC AC A =×Ð，代入数据计算即可．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：BC AC ^，
在Rt ABC △中，90C Ð=°，55A Ð=°，2AC =，
∴()tan 2tan 552 1.43 2.86m BC AC A =×Ð=´°»´=，
∴雕塑的高BC 的长约为2.86m ．
故选：A ．
10．D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
①③当0x =时，1c =，由点(1,1)--得2a b =-，由2x =-时，与其对应的函数值1y >可得4b >，
进而得出0abc >，再判断a 的范围；
②将2a b =-，1c =代入方程，根据根的判别式即可判断；
④由2a b =-，1c =，可得2(2)10b x bx -++=，所以122122
b x x b b +=-
=----，再根据b 的范围求解后即可判断．
【详解】解：Q 抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ¹经过点(1,1)--，(0,1)，1c \=，1a b c -+=-，2a b \=-，
Q 当2x =-时，与其对应的函数值1y >．
4211a b \-+>，
4(2)211b b \--+>，解得：4b >，
20a b \=->，
0abc \>，
2a b =-Q ，4b >，
2a \>，
故①③正确；
2a b =-Q ，1c =，
2(2)110b x bx \-+++=，即2(2)20b x bx -++=，
\()22242(2)8164b b b b b D =-´´-=-+=-，
4b >Q ，
\0D >，
\关于x 的方程210ax bx c +++=有两个不等的实数根，故②正确；
2a b =-Q ，1c =，
2(2)10b x bx \-++=，
122122
b x x b b \+=-=----，4b >Q ，
122122
x x b \+=-->--，故④正确；
故选：D
11．2-（答案不唯一，小于1-即可）
【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：10
x +<Q 1
x \<-当2x =-时，不等式成立
故答案为：2-（答案不唯一，小于1-即可）
12．50°##50度
【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理的应用，解题关键是理解反射角等于入射角．
根据题意得到40BOD AOC Ð=Ð=°后，结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：依题得：40BOD AOC Ð=Ð=°，
ED CD ^Q ，
90BDO \Ð=°，
BOD \V 中，18050OBD BDO BOD Ð=°-Ð-Ð=°．
故答案为：50°．
13．600
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的信息关联，样本估计总体．用B 的人数除以B 所占百分比可得样本容量，再用该地区九年级学生总人数乘以样本中A 所占比例即可．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题的关键．
【详解】解：此次调查的样本容量为：14035%400¸=，∴604000600400
´=（人），∴估计该地区九年级学生中视力正常的人数约有600人．
故答案为：600．
14．240x=150x+12×150
【分析】设良马x 天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x 的一元一次方程.
【详解】解：设良马x 天能够追上驽马．
根据题意得：240x=150×（12+x ）=150x+12×150.
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，列出关于x 的一元一次方程．
15【分析】勾股定理求出AB 的长，中点和三角形中位线的性质，求出AE AD DE ，，的长，由旋转不变性，结合勾股定理求出CD 的长，证明ADC AEB V V ∽，得到
45
CD BE =，进而求出BE 的长即可．
【详解】解：∵90ACB Ð=°，4AC =，3BC =，
∴5AB ==，
∵点D 是AC 的中点，点E 是AB 的中点，∴151********AE AB AD AC DE BC ======，，DE BC ∥，∴90ADE ACB Ð=Ð=°，由旋转性质得53222
AE AD DE ===，，90ADE Ð=°，BAC DAE Ð=Ð，∵C ，D ，E 在同一条直线上，
∴90ADC Ð=°，
∴CD ==，
∵BAC DAE Ð=Ð，
∴BAE CAD Ð=Ð，∵244,5552
AD AC AE AB ===，∴AD AC AE AB
=，∴ADC AEB V V ∽，∴45
CD BE =，
∴5544BE CD ==´
【点睛】本题考查勾股定理，三角形的中位线定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
16．3
-【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算零次幂、开方、绝对值和特殊角的三角函数值，然后计算加减．关键是能准确确定运算方法，并能进行正确地计算．
【详解】解：原式3215
=-+-3=-．
17．(1)见解析
(2)20BDE Ð=°
【分析】本题考查的知识点是等腰三角形“三线合一”、全等三角形的判定、等边对等角，解题关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”．
（1）根据等腰三角形“三线合一”推得BAD CAD Ð=Ð后即可用“边角边”证明全等；（2）根据等腰三角形“三线合一”及等边对等角即可求解．
【详解】（1）证明：AB AC =Q ，AD 是ABC V 的中线，
BAD CAD \Ð=Ð，
Q 在ADE V 和ADF △中，
AE AF BAD CAD AD AD =ìïÐ=Ðíï=î
，
()ADE ADF SAS \V V ≌．
（2）解：80BAC Ð=°Q ，BAD CAD Ð=Ð，
1402
EAD BAC \Ð=Ð=°，AE AD =Q ，
()118040702
AED ADE \Ð=Ð=´°-°=°，AB AC =Q ，AD 是ABC V 的中线，
AD BC \^，
即90BDA Ð=°，
907020BDE BDA ADE \Ð=Ð-Ð=°-°=°．
18．14km/h
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解决问题时需注意时间单位的统一，同时解分式方程需检验．根据甲、乙同学步行和骑自行车的速度之间的数量关系设未知数，再根据所走时间之间的数量关系列方程即可．
【详解】解：设甲同学步行的速度为km/h x ，则乙同学骑自行车的速度为3.5km/h x ，由题意得：1.4 1.4153.560
x x -=，解得：4x =．
经检验，4x =是原方程的解，且符合题意，
∴3.54 3.514x =´=．
答：乙同学骑自行车的速度为14km/h ．
19．(1)
14(2)1
3【分析】本题考查列表法和树状图法求概率，
（1）根据甲、乙两班分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案；
解题的关键掌握计算概率的公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【详解】（1）解：将甲班报名的一名男生和一名女生分别记为男甲和女甲，将乙班报名的一名男生和一名女生分别记为男乙和女乙，画树状图如下：
共有8种等可能情况，所选的2名学生均为男生的有2种情况，
∴P （所选的2名学生均为男生）2184
==，∴所选的2名学生均为男生的概率是
14
；（2）画树状图如下：
共有12种情况，这2名学生来自同一班级的有4种情况，
∴P （所选的这2名学生来自同一班级）41123
=
=，∴这2名学生来自同一班级的概率为13．20．(1)反比例函数的解析式为3y x
=，一次函数的解析式为2
y x =+(2)3x <-或01
x <<(3)()1,0或()5,0-【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，图象法解不等式．
（1）把()1,3A 坐标代入m y x
=
可得解析式，继而求出n ，用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图象直接写出m kx b x
+<的x 的取值范围即可；（3）设点P 坐标为(),0t ，直线2y x =+与x 轴交于点C ．令20x +=，得2x =-，得到()2,0C -．利用6ABP S =△，即()162ABP A B S PC y y =
×+=V 建立方程求出x 即可．【详解】（1）解：∵反比例函数m y x =
的图象经过点()1,3A ，∴31
m =，∴3m =．
∴反比例函数的解析式为3y x
=．
∵反比例函数3y x =的图象经过点(),1B n -，
∴3n =-，
∴()3,1B --．
∵一次函数y kx b =+的图象过点()1,3A ，()3,1B --，∴331
k b k b +=ìí-+=-î，∴12k b =ìí=î
．∴一次函数的解析式为2y x =+．
（2）解：由函数图象可得：m kx b x
+<时，即反比例函数图象在一次函数图象上方，\3x <-或01x <<．
（3）解：设点P 坐标为(),0t ，直线2y x =+与x 轴交于点C ．
令20x +=，得2x =-，
∴()2,0C -．
∵6ABP S =△，∴()1124622
ABP A B S PC y y t =×+=´+´=V ，∴1t =或5-．
∴点P 的坐标为()1,0或()5,0-．
21．(1)见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得CO AB ^，由线段垂直平分线的性质可得
DAC DCA Ð=Ð，由DCA OCA Ð=Ð可得DAC OCA Ð=Ð，证明AD OC ∥，从而可得结论；（2）连接AF ，由线段垂直平分线的性质可得5AF AD CD CF ====，再由勾股定理求出相关线段长即可．
【详解】（1）证明：∵O 为圆心，
∴OA OB =，
∵AC BC =，
∴,CO AB ^即∠90COA COB =Ð=°，
∵DF 是AC 的垂直平分线，
∴AD CD
=∴DAC DCA
Ð=Ð∵DCA OCA
Ð=Ð∴DAC OCA
Ð=Ð∴AD OC
P ∴∠90DAO COB °Ð=Ð=，即AD AB
^又AB 是圆O 的直径，
∴AD 是O e 的切线；
（2）解：连接AF ，如图，
由（1）知，,AD CD AE CE ==，
∵,DCA OCA DF AC Ð=Ð^，
∴,CD CF AF AD ==，
∴5AF AD CD CF ====，
在Rt AOF V 中，222
5,3,AF OF AO OF AF ==+=
∴4
AO ===在Rt AOC V 中，4,538AO CO CF OF ==+=+=，
222
AC AO OC =+
∴AC ===
∴12
AE AC ==
∴cos cos AE DAC DAE AD Ð=Ð==【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理以及求锐角余弦值，熟练运用相关知识解答本题的关键．
22．(1)22802400w x x =-++（130x ££，且x 为整数）
(2)第20天日销售利润最大，最大利润为3200元；第1天日销售利润最小，最小利润为2478元
(3)利润不低于2750元的共有26天
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据销售问题中的基本等量关系：销售利润=日销售量×（一件的销售价-一件的进价），建立函数关系式即可．
（2）将（1）中函数关系式配方，可得其顶点式，结合自变量x 的范围，根据二次函数的性
质可得函数的最值情况．
（3）令2750w =，即22(20)32002750x --+³，解得535x ££，因为130x ££，且x 为整数，所以利润不低于2750元的共有26天．
【详解】（1）解：根据题意，得
(50)
w y z =-(2120)[(70)50]
w x x =-++-22802400w x x =-++（130x ££，且x 为整数）
．（2）∵22(20)3200w x =--+，
∴当20x =时，w 取最大值为3200元；
当1x =时，w 取最小值为2478元．
故：第20天日销售利润最大，最大利润为3200元；第1天日销售利润最小，最小利润为2478元．
（3）令2750w =，即22(20)32002750x --+³，
解得535x ££，
∵130x ££，且x 为整数，
∴利润不低于2750元的共有26天．
23．(1)见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）证明四边形DECF 是矩形，进而得到DF CB ^，根据角平分线的性质定理，即可得出结果．
（2）证明()ASA ADE CDF V V ≌，即可；
（3）作DG EF ^于点G ，根据等腰直角三角形的性质，求出OG 的长，勾股定理求出OD 的长，证明ODF FDC ∽△△，求出CD 的长，用CD OD -求出OC 的长即可．
【详解】（1）证明：∵DE CA ^，DE DF ^，
∵90ACB EDF DEC Ð=Ð=Ð=°，
∴四边形DECF 是矩形．
∴90DFC Ð=°，
∴DF CB ^．
又∵CD 平分ACB Ð，DE CA ^，
∴DE DF =．
（2）“DE DF =”仍成立．
理由如下：
∵CA CB =，90ACB Ð=°，CD 平分ACB Ð，
∴90ADC Ð=°，45ACD BCD Ð=Ð=°．
∴45A Ð=°，
∴A ACD Ð=Ð，
∴AD CD =．
∵90ADC EDF Ð=Ð=°，
∴ADE CDF Ð=Ð．
又45A DCF Ð=Ð=°，
∴()ASA ADE CDF V V ≌．
∴DE DF =．
（3）作DG EF ^于点G ．
∵DE DF ^，DE DF =，
∴DEF V 是等腰直角三角形．
∵246EF OF ==+=，
∴DF EF ==．∵DE DF =，90EDF Ð=°，DG EF ^，
∴132DG EF ==，132
GF EF ==，∴1OG =．
在Rt ODG V 中，OD ==∵45DFO DCF Ð=Ð=°，ODF FDC Ð=Ð，
∴ODF FDC ∽△△．
∴DF CD OD DF
=，
∴2DF CD OD ===
∴OC CD OD =-=
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，角平分线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
24．(1)54b c =-ìí=î
，直线BC 的解析式为4y x =-+(2)①四边形OCDP 是平行四边形，理由见解析；②1t =或16
5
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可得到b ，c 的值，再根据二次函数解析式求出点C 的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式；
（2）①设()2,54P t t t -+，则(),4D t t -+，根据PBC S V 最大时，得到2t =，即可证明四边形
OCDP 是平行四边形；②根据题意易证是等腰直角三角形．抛物线的对称轴l 的解析式为52x =，得到(),0E t ，513,22
2F t æö-+ç÷èø，()0,24G t -+，证明EGF DGE ∽△△，根据22222(24)GE OG OE t t =+=-++，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A 和()4,0B ，
∴101640
b c b c ++=ìí++=î，解得54b c =-ìí=î
．∴254y x x =-+．
当0x =时，4y =，
∴()0,4C ．
设直线BC 的解析式为y mx n =+，
∴404m n n +=ìí=î
，∴14
m n =-ìí=î．∴直线BC 的解析式为4y x =-+；
（2）解：①四边形OCDP 是平行四边形．
理由如下：
∵()2,54P t t t -+，
∴(),4D t t -+．
∴22(4)(54)4PD t t t t t =-+--+=-+．
2214282(2)82
PBC S PD t t t =´´=-+=--+△，∴PBC S V 最大时，2t =．
当2t =时，22424PD =-+´=．
又4OC =，
∴OC PD =．
又PD OC ∥，
∴四边形OCDP 是平行四边形．
②∵4OC OB ==，
∴BOC V 是等腰直角三角形．
∵GD BC ^，
∴CDG V 是等腰直角三角形．抛物线的对称轴l 的解析式为52
x =．∴(),0E t ，513,22
2F t æö-+ç÷èø，()0,24G t -+．
∴GF =，GD ．∵45FEG EDG Ð=Ð=°，EGF DGE Ð=Ð，
∴EGF DGE ∽△△．
∴GE GF GD GE
=，
∴25GE GF GD t =´=
=．在Rt OGE V 中，22222(24)GE OG OE t t =+=-++．
∴22(24)5t t t -++=，
整理得：2521160t t -+=．
∴1t =或165
．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质、一次函数解析式，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，综合性强，熟练运用相应知识是解题关键．。