2023年江苏省泰州市中考数学真题(解析版)

泰州市二○二三年初中学业水平考试
数学试题
（考试时间：120分钟满分：150分）
请注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效
3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，
恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 等于（）
A. 2±
B. 2
C. 4
D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
==．
2
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2. 书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C ．
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3. 若0a ¹，下列计算正确的是（ ）
A. 0()1
a -= B. 632a a a ÷= C. 1a a -=- D. 633a a a -=【答案】A
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A ．0()1(0)a a -=¹，故此选项符合题意；
B ．633a a a ÷=，故此选项不合题意；
C ．11a a
-=，故此选项不合题意；D ．6a 与3a 无法合并，故此选项不合题意．
故选：A ．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及零指数幂的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f ，该事件的概率为P ．下列说法正确的是（ ）
A. 试验次数越多，f 越大
B. f 与P 都可能发生变化
C 试验次数越多，f 越接近于P D. 当试验次数很大时，f 在P 附近摆动，并趋于稳定
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率稳定性解答即可．
【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．
故选：D ．
.
的
【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．
5. 函数y 与自变量x 的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）x
124y 421
A. ()
0y ax b a =+< B. (0)a y a x =<C. 2(0)
y ax bx c a =++> D. 2(0)
y ax bx c a =++<【答案】C
【解析】【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A 、若直线y ax b =+过点()()1422，
，，，则422a b a b +=ìí+=î，解得26a b =-ìí=î
，所以26y x =-+，
当4x =时，=2y -，故()41，
不在直线y ax b =+上，故A 不合题意；B 、由表格可知，y 与x 的每一组对应值的积是定值为4，所以y 是x 的反比例函数，40a =>，不合题意；
C 、把表格中的函数y 与自变量x 的对应值代入2y ax bx c =++得
44221641a b c a b c a b c ++=ìï++=íï++=î，解得12727a b c ì=ïïï=-íï=ïïî
，符合题意；D 、由C 可知，不合题意．
故选：C ．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6. 菱形ABCD 的边长为2，60A Ð=°，将该菱形绕顶点A 在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形
重叠部分的面积为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A 在平面内顺时针旋转30°，连接AC ，BD 相交于点O ，BC 与C D ¢¢交于点E ，根据菱形的性质推出AC 的长，再根据菱形的性质推出CD ¢与CE 的长，再根据重叠部分的面积ABC D EC S S ¢=-V V 求解即可．②将该菱形绕顶点A 在平面内逆时针旋转30°，同①方法可
得重叠部分的面积3=．
【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A 在平面内顺时针旋转30°，
连接AC ，BD 相交于点O ，BC 与C D ¢¢交于点E ，
∵四边形ABCD 是菱形，60DAB Ð=°，
∴30CAB CAD AC BD AO CO BO DO Ð=°=Ð^==，，，，
∵2AB =，
∴1DO =，AO ==，
∴AC =∵菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB C D ¢¢¢，
∴302D AB AD AD ¢¢Ð=°==，，
∴A ，D ¢，C 三点共线，
∴2CD CA AD ¢¢=-=，
又∵30ACB Ð=°，
∴1D E ¢=-，3CE E ¢==-，
∵重叠部分的面积ABC D EC S S ¢=-V V ，
∴重叠部分的面积)(11113322=´-´-´=；
②将该菱形绕顶点A 在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积3=故选：A ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 函数1y=x 2
-中，自变量x 的取值范围是____．【答案】x 2
¹【解析】
【详解】解：由题意知：x -2≠0，解得x ≠2；
故答案为x ≠2．
8. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下3CaCO 的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为__________________．
【答案】9
2.810-´【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -´，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：90.0000000028 2.810-=´．
故答案为：92.810-´．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -´，其中1||10a £<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9. 两个相似图形的周长比为3:2，则面积比为_____________．
【答案】9:4
【解析】
【分析】由两个相似图形，其周长之比为3:2，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：Q 两个相似图形，其周长之比为3:2，
\其相似比为3:2，
\其面积比为9:4．
故答案为：9:4．
【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
10. 若230a b -+=，则2(2)4a b b +-的值为_____________．
【答案】6
-【解析】
【分析】由230a b -+=，可得23a b -=-，根据()2(2)422a b b a b +-=-，计算求解即可．
【详解】解：由230a b -+=，可得23a b -=-，
∴()2(2)442442226a b b a b b a b a b +-=+-=-=-=-，
故答案为：6-．
【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的运算．
11. 半径为5cm 的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为____________cm ．
【答案】2p
【解析】
【分析】根据正多边形和圆的性质，计算半径为5cm 的圆周长的五分之一即可．
【详解】解：由题意得，半径为5cm 的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为5cm 的圆周长的五分之一，所以1252()5
cm p p ´´´=，故答案为：2p ．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键．
12. 七（1）班40名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为m h ，则m __________2.6（填“＞”“＝“＜”）
【答案】<
【解析】
【分析】根据中位数的意义解答即可．
【详解】解：因为有40个数据，中位数应是数据有小到大排列第20、21个数据的平均数，
由频数分布直方图可知：第15-组的人数分别为5，7，12，9，7，
所以第20、21个数据都在第3组，即2.0~2.5，这两个数的平均数一定小于2.6，
故答案为：<．
【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数的概念，能从频数分布直方图中获取有用信息，明确中位数的确定方法是解题的关键．
13. 关于x 的一元二次方程2210x x +-=的两根之和为______________．
【答案】2
-【解析】
【分析】利用根与系数的关系进行求值．
【详解】解：2210x x +-=，
12221
b x x a +=-=-=-，故答案为：2-．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握1212b
c a x x x x a +=-=
．14. 二次函数23y x x n =++的图像与x 轴有一个交点在y 轴右侧，则n 的值可以是______（填一个值即可）
【答案】3-（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设二次函数23y x x n =++的图象与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ，
即二元一次方程230x x n ++=的根为1x 、2x ，
由根与系数的关系得：123x x +=-，12x n x ×=，
Q 一次函数23y x x n =++的图象与x 轴有一个交点在y 轴右侧，
1x \，2x 异号，
0n \<，
故答案为：3-（答案不唯一）．
为
【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．15. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为____________里．
【答案】9
【解析】
【分析】由AB 切圆于D ，BC 切圆于C ，连接OD ，得到OD AB OC BC ^^，，9BD BC ==里，由
勾股定理求出12AC ==，由tan OD BC A AD AC
==，求出 4.5OD =（里），即可得到答案．【详解】解：如图，O e 表示圆形城堡，
由题意知：AB 切圆于D ，BC 切圆于C ，连接OD ，
∴OD AB OC BC ^^，，9BD BC ==里，
∵6AD =里，
∴15AB AD BD =+=里，
∴12AC =，∵tan OD BC A AD AC
==，∴9612
OD =，∴ 4.5OD =（里）．
∴城堡的外围直径为29OD =（里）．
故答案为：9．
【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，得到tan OD BC A AD AC
==，求出OD 长即可．16. 如图，ABC V 中，AB AC =，30A Ð=°，射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转a 角()075a °<<°，与射线AB 相交于点D ，将ACD V 沿射线CP 翻折至A CD ¢△处，射线CA ¢与射线AB 相交于点E ．若A DE ¢V 是等腰三角形，则a Ð的度数为______________．
【答案】22.5°或45°或67.5°
【解析】
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知30A A ¢Ð=Ð=°，ACP ACP a ¢Ð=Ð=，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知30A A ¢Ð=Ð=°，ACP ACP a ¢Ð=Ð=，
当A D DE ¢=时，30DEA A ¢¢Ð=Ð=°，
由三角形的外角性质得DEA A ACD A CD ¢¢Ð=Ð+Ð+Ð，即30302a °=°+，
此情况不存在；
当A D A E ¢¢=时，
30A ¢Ð=°，()118030752
DEA EDA ¢¢Ð=Ð=°-°=°，由三角形的外角性质得75302a °=°+，
解得22.5a =°；
当EA DE ¢=时，30EDA A ¢¢Ð=Ð=°，
∴1803030120DEA ¢Ð=°-°-°=°，
由三角形的外角性质得120302a °=°+，
解得45a =°；
当A D A E ¢¢=时，15A DE A ED ¢¢Ð=Ð=°，
∴()11801582.52
ADC A DC Ð=Ð=°-°¢=°，∴1803082.567.5ACD a =Ð=°-°-°=°；
综上，a Ð的度数为22.5°或45°或67.5°．
故答案为：22.5°或45°或67.5°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：2(3)(3)(3)x y x y x y +-+-；
（2）解方程：322112x x x
=---．【答案】（1）2618xy y +；（2）13x =-【解析】
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；
（2）方程两边都乘21x -得出2(21)3x x =-+，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：（1）2(3)(3)(3)
x y x y x y +-+-222269(9)
x xy y x y =++--2222
699x xy y x y =++-+2618xy y =+；
（2）322112x x x
=---，方程两边都乘21x -，得2(21)3x x =-+，解得：13
x =-
，检验：当13
x =-时，210x -¹，所以分式方程的解是13x =-．【点睛】本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
18. 如图是我国2019~2022年汽车销售情况统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的_____________%（精确到1%）；这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是___________年；
（2）小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
【答案】（1）26，2022年
（2）不同意．理由见详解
【解析】
【分析】（1）将图中数据分别计算2019~2022年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比即可求解；（2）求出2021、2022年新能源汽车销售量的增长率即可求解．
【小问1详解】
2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：688.7
100%26% 2686.4
´»，
2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：
352
100%13% 2627.5
´»，
2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：136.7
100%5% 2531
´»，
2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：120.6
100%5% 2577
´»，
\这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年．故答案为：26，2022年；
【小问2详解】
不同意．理由如下：
2022年新能源汽车销售量的增长率为：688.7352
100%96% 352
-
´»，
2021年新能源汽车销售量的增长率为：352136.7
100%157% 136.7
-
´»，
2022
\年新能源汽车销售量的增长率比2021年低．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键．
19. 某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌3种类型．小明、小丽2人积极报名参加，从3种类型中随机挑选一种类型．求小明、小丽选择不同类型的概率．
【答案】小明、小丽选择不同类型的概率为2
3
．
【解析】
【分析】用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【详解】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中小明、小丽选择不同类型的有6种，
所以小明、小丽选择不同类型的概率为6293
=．【点睛】本题考查列表法或树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，CD 是五边形ABCDE 的一边，若AM 垂直平分CD ，垂足为M ，且____________，____________，则____________．
给出下列信息：①AM 平分BAE Ð；②AB AE =；③BC DE =．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
【答案】②③，①；证明见详解
【解析】
【分析】根据题意补全图形，连接AC 、AD ，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出AC AD =，在求证三角形全等得出角相等，求得BAM EAM Ð=Ð，进而得出结论AM 平分BAE Ð．
【详解】②③，①
证明：根据题意补全图形如图所示：
AM Q 垂直平分CD ，
CM DM \=，AC AD =（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
，在ACM △与ADM △中，
AM AM AC AD CM DM =ìï=íï=î
，
()ACM ADM SSS \V V ≌，
CAM DAM \Ð=Ð
，
在ABC V 与AED △中，
AB AE AC AD BC ED =ìï=íï=î
，
()ABC AED SSS \V V ≌，
BAC EAD \Ð=Ð，
又CAM DAM Ð=ÐQ ，
BAC CAM EAD DAM \Ð+Ð=Ð+Ð，即12
BAM EAM BAE Ð=Ð=Ð，AM \平分BAE Ð．
故答案为：②③①．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．
21. 阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式260x x --<的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1 方程260x x --=的两根为12x =-，23x =，可得函数26y x x =--的图像与x 轴的两个交点横坐标为2-、3，画出函数图像，观察该图像在x 轴下方的点，其横坐标的范围是不等式260x x --<的解集．
方法2 不等式260x x --<可变形为26x x <+，问题转化为研究函数2y x =与6y x =+的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是2-、3；2y x =的图像在6y x =+的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．
方法3 当0x =时，不等式一定成立；当0x >时，不等式变为61x x
-<；当0x <时，不等式变为61x x
->
．问题转化为研究函数1y x =-与6y x =的图像关系…任务：（1）不等式260x x --<的解集为_____________；
（2）3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A .分类讨论
B .转化思想
C .特殊到一般
D .数形结合
（3）请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．
【答案】（1）23x -<<
（2）D
（3）图像见解析，不等式260x x --<的解集为23
x -<<【解析】
【分析】（1）如图1，作26y x x =--的图像，由方法1可知，不等式260x x --<的解集为23x -<<；
（2）由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法；
（3）如图2，作函数1y x =-与6y x
=的图像，由图像可得，260x x --<的解集为20x -<<，或03x <<，进而可得260x x --<的解集．
【小问1详解】
解：如图1，作26y x x =--的图像，
由方法1可知，不等式260x x --<的解集为23x -<<，
故答案为：23x -<<；
【小问2详解】
解：由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法，
故选：D ；
【小问3详解】
解：如图2，作函数1y x =-与6y x
=的图像，
由图像可得，260x x --<的解集为20x -<<，或03x <<，
综上，260x x --<的解集为23x -<<．
【点睛】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题的关键在于理解题意并正确的作函数图象．
22. 如图，堤坝AB 长为10m ，坡度i 为1:0.75，底端A 在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D 处立有高20m 的铁塔CD ．小明欲测量山高DE ，他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上，又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角a 为2635°¢．求堤坝高及山高DE ．（sin 26350.45¢°»，cos 26350.89¢°»，tan 26350.50¢°»，小明身高忽略不计，结果精确到1m ）
【答案】堤坝高为8米，山高DE 为20米．
【解析】
【分析】过B 作BH AE ^于H ，设4BH x =，3AH x =，根据勾股定理得到
510AB x ===，求得68AH BH ==，，过B 作BF CE ^于F ，则
8EF BH BF EH ===，，设DF a =，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B 作BH AE ^于H ，
∵坡度i 为1:0.75，
∴设4BH x =，3AH x =，
∴510AB x =
==，∴2x =，
∴68AH BH ==，，
过B 作BF CE ^于F ，
则8EF BH BF EH ===，，
设DF a =，
∵2635a ¢=°．∴2tan 26350.5
DF a BF a ===¢°，∴62AE a =+，
∵坡度i 为1:0.75，
∴()()208621075CE AE a a =+++=：：
：．，∴12a =，
∴12DF =（米），
∴12820DE DF EF =+=+=（米），
答：堤坝高为8米，山高DE 为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
23. 某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y （元）与一次性销售量x （千克）的函数关系如图所示．
（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？
（2）求一次性销售量在10001750kg ～之间时的最大利润；
（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？
【答案】（1）当一次性销售800千克时利润为16000元；
（2）一次性销售量在10001750kg ～之间时的最大利润为22500元；
（3）当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．
【解析】
【分析】（1）用销售量×利润计算即可；
（2）根据一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元求出销售单价，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）根据（2）中解析式，令y =22100，解方程即可．
【小问1详解】
解：根据题意，
当800x =时，()80050308002016000y =´-=´=，
∴当一次性销售800千克时利润为16000元；
【小问2详解】
解：设一次性销售量在10001750kg ～之间时，
销售价格为()50300.0110000.0130x x ---=-+，
∴()
0.0130y x x =-+20.0130x x
=-+()
20.013000x =--()2
0.01150022500x =--+，
∵0.010-<，10001750x ££，
∴当1500x =时，y 有最大值，最大值为22500，
∴一次性销售量在10001750kg ～之间时的最大利润为22500元；
【小问3详解】
解：由（2）知，当1750x =时，
()20.0117501500225001625022100y =--+=<，
∴当一次性销售量在10001750kg ～之间时，利润为22100元，
∴()20.0115002250022100x --+=，
解得1217001300x x ==，，
∴当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
24. 如图，矩形ABCD 是一张4A 纸，其中AD =，小天用该4A 纸玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线BD ，将点B 翻折到BD 上的点E 处，折痕
AF 交BD 于点G ．展开后得到图①，
发现点F 恰为BC 的中点．游戏2 在游戏1的基础上，将点C 翻折到BD 上，折痕为BP ；展开后将点B 沿过点F 的直线翻折到BP 上的点H 处；再展开并连接GH 后得到图②，发现AGH Ð是一个特定的角．
（1）请你证明游戏1中发现的结论；
（2）请你猜想游戏2中AGH Ð的度数，并说明理由．
【答案】（1）证明见详解
（2）120°，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可得AF BD ^，根据题意可得BAG ADB GBF Ð=Ð=Ð，再设AB a =，然后
表示出AD 、BD ，再由锐角三角函数求出BF 即可；
（2）由折叠的性质可知GBH FBH Ð=Ð，BF HF =，从而可得出GBH BHF Ð=Ð，进而得到BD HF P ，DGH GHF Ð=Ð，由（1）知AF BD ^，可得AF HF ^，在Rt GFH D 中求出GHF Ð的正切值即可解答．
小问1详解】
证明：由折叠的性质可得AF BD ^，
90AGB \Ð=°，
Q 四边形ABCD 是矩形，
90BAD ABC \Ð=Ð=°，
BAG ADB GBF \Ð=Ð=Ð
，
AD =Q ，
设AB a =
，则AD =
，BD =，
sin sin BAG ADB \Ð=Ð，即BG AB AB BD
=，
\BG a =，
解得BG a =，
根据勾股定理可得AG =
，cos cos GBF BAG Ð=Ð，
\
．解得BF =，BC AD ==Q ，
12
BF BC \=，\点F 为BC 的中点．【
【小问2详解】
解：120AGH Ð=°，理由如下：
连接HF ，如图：
由折叠的性质可知GBH FBH Ð=Ð，BF
HF =，
GBH FBH \Ð=Ð，FBH FHB Ð=Ð，
GBH BHF \Ð=Ð，BD HF \P ，
DGH GHF \Ð=Ð，
由（1）知AF BD ^，可得AF HF ^，
90AGD \Ð=°，
设AB a =
，则AD BC ==
，BF HF ==
，
BG \=
，GF \=，在Rt GFH D
中，tan GF GHF HF Ð===，30GHF \Ð=°，
30DGH \Ð=°，
9030120AGH AGD DGH \Ð=Ð+Ð=°+°=°．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键．
25. 在平面直角坐标系xOy 中，点(0)A m ，，(0)(0)B m a a m ->>，的位置和函数1(0)m y x x
=>、2(0)m a y x x
-=<的图像如图所示．以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，AD 边与函数1y 的图像相交于点E ，CD 边与函数1y 、2y 的图像分别相交于点G
、H ，一次函数3y 的图像经过点E 、G ，与y 轴相
交于点P ，连接PH ．
（1）2m =，4a =，求函数3y 的表达式及PGH △的面积；
（2）当a 、m 在满足0a m >>的条件下任意变化时，PGH △的面积是否变化？请说明理由；
（3）试判断直线PH 与BC 边的交点是否在函数2y 的图像上？并说明理由．
【答案】（1）函数3y 的表达式为325y x =-+，PGH △的面积为1
2
（2）不变，理由见解析
（3），理由见解析
【解析】【分析】（1）由2m =，4a =，可得(20)A ，，()20B -，，12y x =，22y x
-=，则4AB =，当2x =，1212y ==，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G æöç÷èø
；当24y =，24x -=，解得12x =-，则142H æö-ç÷èø
，；待定系数法求一次函数3y 的解析式为325y x =-+，当0x =，35y =，则()05P ，，根据()11154222PGH S éùæö=´--´-ç÷êúèøëû
△，计算求解即可；（2）求解过程同（1）；
（3）设直线PH 的解析式为22y k x b =+，将()01P a +，，m a H a a -æöç÷èø
，代入22y k x b =+得，2221b a m a k b a a =+ìï-í+=ïî，解得221b a a k a m =+ìïí=ï-î，即1a x a a m y +-=+，当x m a =-，()11y a m a a a m
´+=-+=-，则直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a -，，当x m a =-，21m a y m a
-=-=，进而可得结论．【小问1
详解】
在
解：∵2m =，4a =，
∴(20)A ，
，()20B -，，12y x =，22y x -=，∴4AB =，
当2x =，1212y =
=，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G æöç÷èø
，；当24y =，24x -=，解得12x =-，则142H æö-ç÷èø
，；设一次函数3y 的解析式为3y kx b =+，
将()21E ，，142G æöç÷èø，代入3y kx b =+得，21142
k b k b +=ìïí+=ïî，解得25k b =-ìí=î，∴325y x =-+，
当0x =，35y =，则()05P ，
，∴()1111542222
PGH S éùæö=´--´-=ç÷êúèøëû△；∴函数3y 的表达式为325y x =-+，PGH △的面积为12；
【小问2详解】
解：PGH △的面积不变，理由如下：
∵(0)A m ，
，(0)B m a -，，1m y x =，2m a y x -=，∴AB a =，
当x m =，11m y m =
=，则()1E m ，；当1y a =，m a x =，解得m x a =，则m G a a æöç÷èø
，；当2y a =，m a a x -=，解得m a x a -=，则m a H a a -æöç÷èø；设一次函数3y 的解析式为113k x b y =+，
将()1E m ，，m G a a æöç÷èø，，代入113k x b y =+得，11111mk b m k b a a +=ìïí+=ïî，解得111a k m b a
ì=-ïíï=+î，∴31a x a m
y =-++，当0x =，31y a =+，则()01P a +，
，∴()11122PGH m m a S a a a a é-ùæö=´-´+-=ç÷êúèøëû
△；∴PGH △的面积不变；
【小问3详解】
解：直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上，理由如下：
设直线PH 的解析式为22y k x b =+，
将()01P a +，，m a H a a -æöç÷èø，，代入22y k x b =+得，2221b a m a k b a a =+ìï-í+=ïî，解得221b a a k a m =+ìïí=ï-î
，∴1a x a a m
y +-=
+，当x m a =-，()11y a m a a a m ´+=-+=-，∴直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a -，
，当x m a =-，21m a y m a
-=-=，∴直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
26. 已知：A 、B 为圆上两定点，点C 在该圆上，C Ð为 AB 所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，O e 中，B 、C 位于直线AO 异侧，135AOB C °Ð+Ð=．
①求C Ð的度数；
②若O e 的半径为5，8AC =，求BC 的长；
逆向思考
（2）如图②，P 为圆内一点，且120APB Ð<°，PA PB =，2APB C Ð=Ð．求证：P 为该圆的圆心；拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若90APB Ð=°，点C 在P e 位于直线AP 上方部分的圆弧上运动．点
D 在P e 上，满足CD CA =-的所有点D 中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【答案】（1）①45°；②；
（2）见解析；
（3）见解析【解析】
【分析】（1）①根据135AOB C °Ð+Ð=，结合圆周角定理求C Ð的度数；②构造直角三角形；（2）只要说明点P 到圆上A 、B 和另一点的距离相等即可；
（3）根据CD CA =
-CA -，利用三角形全等来说明此线段和CD 相
等．
【小问1详解】
解：①135AOB C Ð+Ð=°Q ，2AOB C Ð=Ð，3135C \Ð=°，
45C \Ð=°．
②连接AB ，过A 作AM BC ^，垂足为M ，
45C Ð=°Q ，8AC =，
ACM \V 是等腰直角三角形，且AM CM ==290AOB C Ð=Ð=°Q ，OA OB =，
AOB \V 是等腰直角三角形，
\==，
AB
在直角三角形ABM中，BM==
\=+=+=．
BC CM BM
【小问2详解】
Ð=Ð，
证明：延长AP交圆于点N，则C N
Q，
Ð=Ð
APB C
2
\Ð=Ð，
APB N
2
Ð=Ð+Ð
Q，
APB N PBN
\Ð=Ð，
N PBN
\=，
PN PB
PA PB
Q，
=
\==，
PA PB PN
\为该圆的圆心．
P
【小问3详解】
证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，
Ð=°
Q，
APB
90
\Ð=°，
C
45
\△是等腰直角三角形，
BCE
\=，
BE BC
BP AF
Q，PA PF
^
=，
\=，
BA BF
AF
Q是直径，
\Ð=°，
90
ABF
\Ð=Ð=°，
90
EBC ABF
\Ð=Ð，
EBA CBF
\≌
△△，
EBA CBF
(SAS)
∴=，
AE CF
=-=-=
Q，
CD CA CE CA AE
\=，
CD CF
\必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．
【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于
-是关键．CA。