集合间的基本关系ppt课件

求实数m的取值范围.
解：据题意得：B ≠ ∅.
2m − 1 ≥ m + 1
所以 m + 1 ≤ −2
2m − 1 ≥ 5
m≥2
解得， m ≤ −3
m≥3
·
+1
·
−2
·
5
·
2 − 1
∴ m无解，即m的解集为∅.
20
课堂小结
子集 对任意的 ∈ ，总有 ∈ ，则 ⊆
集
合
间
的
基
本
关
系
知
识
(2)A = {x|x是等边三角形}，B = {x|x是等腰三角形}；
(3)M = {x|x = 2n − 1, n ∈ N∗ }，N = {x|x = 2n + 1, n ∈ N ∗ }.
【答案】(1)与无包含关系；(2) ⫋ ；(3) ⫋ .
变式3-1：已知集合 A = {x|x 2 − 3x + 2 = 0} ， B = {1,2} ， C = {x|x < 8, x ∈ N} ，
、8个
、9个
【答案】
变式2-1：满足 2,3 ⫋ M ⫋ 1,2,3,4,5 的集合M的个数为
、6个
【答案】
、7个
、8个
、9个
17
随堂练习
<>
练习3：指出下列各组集合之间的关系：
(1)A = {−1,1}，B = {(−1, −1), (−1,1), (1, −1), (1,1)};
A
（2）数轴法：常用于不等式的解集.
【例】① { x | x < a }

优点：形象、直观
缺点：只能作为解
②{x|x≤a}
题的辅助工具

③{x|1<x≤2}
·
1
·
2
3
2
新知探究
子集
<>
思考：实数有相等关系，如5 = 5；实数有大小关系，如5 < 7 , 5 > 3;
类比实数之间的关系，两个集合之间是否也有类似的关系？
知识回顾
集合的概念
含义
元素
研究
对象
元素与集合
的关系
元素的性质
集合
元素组成
的总体
确
定
性
互
异
性
无
序
性
属
于
∈
不
属
于
∉
常用的数集
及记法
N、N*或N+、
Z、Q、R
集合是否可以
用集合法来进行
表示呢？
列举法
描述法
一一
列举
共同
特征
代数法
2
1
新知探究
集合的表示方法——几何法
<>
（1） 图：用平面上封闭曲线的内部代表集合.
用适当的符号填空：
(1)______； (2)______；
(3){2}______；
(4)2______.
【答案】(1) = ；(2) ⫋ ；(3) ⫋ ；(4) ∈
18
随堂练习
<>
练习4：已知集合A = {−2 ≤ x ≤ 5}，B = x m + 1 ≤ x ≤ 2m − 1 .若B ⊊ A，求
类似的性质呢？你是怎样证明的？
实数
反身性
a≤a
集合
A⊆A
任何一个集合是它本身的子集
对于实数a，b，c,
对于集合A，B，C，
如果a ≤ b, 且b ≤ c. 那么a ≤ c
如果A ⊆ B，且B ⊆ C，那么A ⊆ C.
对于实数a，b，c,
对于集合A，B，C，
如果a < b, 且b < c, 那么a < c
思考：集合子集的个数以及真子集的个数与集合本身所含有的元素个
数有什么关系？
13
新知探究
子集个数-1
子集个数-1
<>
子集个数-2
集合中元素的个数 子集个数 真子集个数 非空子集个数 非空真子集个数
1
2
3
…
n
2 =21
4 =22
8 =23
…
2n
1
3
7
…
1
3
7
…
0
2
6
…
2n -1
2n -1
2n -2
设集合中有个元素，则：
都是集合
都是集合
∅是集合
∅不含任何元素
0是实数
{0}含有一个元素0 {∅}含有一个元素，为∅
0∉∅
<>
∅不含任何元素
∅ ⫋ {0}
∅ ⫋ {∅}且∅ ∈ {∅}
集合与集合之间的关系
元素和集合的关系
空集是任何非空集合的真子集
11
4
新知探究
子集的性质
<>
思考：实数的“≤”具有反身性、传递性等性质，集合中的“⊆”是否有
15
随堂练习
<>
练习1：设集合A = x 0 ≤ < 4且x ∈ N ，则集合A的子集的个数为
、16
、15
、8
、7
【答案】
变式1-1：集合{y|y = −x 2 + 6, x, y ∈ N}的真子集个数是( ).
、9
、8
、7
、6
【答案】
变式1-2：已知x, y为非零实数，则集合 m m =
的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作
⊆
A = B.
➢ 符号语言：
若A ⊆ B，且B ⊇ A，则A = B.
➢ 图形语言：

可用于证明
两个集合相等
与实数中的结
论 “ ≥ ， 且
≥ ， 则 = ”
相类比，你有什
么体会？
7
新知探究
真子集
<>
➢ 自然语言：
➢ 如果集合A是集合B的子集，但存在元素x属于集合B，且元素x不属
于集合A，就称集合A是集合B的真子集，记作A ⫋ B(或B ⫌ A)，读
作“A真包含于B”（或“B真包含A”）.
A≠B
若A ⊆ B，且A ≠ B，则A ⫋ B
➢ 符号语言：
若A ⊆ B，但存在元素 ∈ ，且 ∉ A，则A ⫋ B.
（1）集合的子集个数为： 个；
（2）集合的真子集个数为： − 个；
（3）集合的非空子集个数为： − 个；（4）集合的非空真子集个数为： − 个.
14
2
新知探究
典例分析
<>
例2：判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
(1)A = {1,2,3}，B = {x|x是8的约数}；
引例：观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个
集合之间的关系吗？
(1)A = {1,2,3}，B = {1,2,3,4,5}；
其中一个集合中的
A中的元素都在B中
(2)为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，
为这个班全体学生组成的集合； C中的元素都在D中
(3)E = {x|x是两条边相等的三角形}，
➢ 图形语言：
集合相等( = )
x
A
B
子集(A ⊆ B）
真子集(A ⫋ B）
8
3
新知探究
空集
<>
思考：继续类比，实数有特殊元素0，那集合有类似的特殊集合吗？
问题2：方程 2 + 1 = 0的实数根组成集合是什么？它的元素有哪些？
【答】方程 2 + 1 = 0没有实数根，它的实数根组成的集合中没有元素。
实数m的取值范围.
解：∵ = {−2 ≤ ≤ 5}， = {| + 1 ≤ ≤ 2 − 1}，若 ⫋ ，
∴分两种情况：
空集情况单独讨论，勿忘讨论空集！！！
①当 = ∅时，则 + 1 > 2 − 1，即 < 2；
·
·+ 1
−2


+
1
≤
2
−
1
+ 1 ≤ 2 − 1
包含于B”(或“B包含A”).
➢ 符号语言：
⊆ 、 ⊇类似≥、≤，开
口朝向范围大的集合
对任意的 ∈ ，总有 ∈ ，则 ⊆ .
➢ 图形语言：
B
A
请你举出几个
具有包含关系的
集合实例，并画
出图.
5
2
新知探究
子集
集合
n图
关系
区分
<>
结论
同时集合B的任
A={1，2，3}
B={1，2，3}
A
真子集 集合A ⊆ B，但存在x ∈ B，且x ∉ A，则A ⫋ B
集合相等
空集
认
识
B
<>
若A ⊆ B，且B ⊇ A，则A = B
B
∅，空集是任何集合的子集.
实数——集合
类比思想
Venn图、数轴法
数形结合
子集问题，空集情况单独讨论
分类讨论
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(2)A = {x|x是长方形}，B = {x|x是两条对角线相等的平行四边形}.
证明集合A中存在一
解：(1)因为3不是8的约数，所以集合不是集合的子集.
个元素不属于集合B
(2)因为若是长方形，则一定是两条对角线相等的平行四边形，
所以集合是集合的子集.
证明集合A中任意一个元
素都是集合B中的元素
何一个元素都

1,2,3
是集合A中的元
是的子集
⊆
A={1，2，3}
B={1，2，3，4，5}
A
B
1,2,3 4,5
集合相等
素，即B ⊇ A
存在元素
4，5∈B，且4，
真子集
5∉B
6
新知探究
集合相等 ——子集的特殊情况
<>
⊆
➢ 自然语言：
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B
变式：写出集合{}以及集合{, , }的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
解：集合{}的所有子集为，{}；真子集有
集合{, , }的所有子集为， ， ， ， , ， , ， , �� ，{, , }.
真子集有， ， ， ， , ， , ， , .
F = {x|x是等腰三角形}.
中的元素都在F中
每一个元素都是另
一个集合中的元素.
这几个例子中，
两个集合中的元
素有什么关系？
4
2
新知探究
子集
<>
指“全部”、每一个
➢ 自然语言：
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B
中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A ⊆ B(或B ⊇ A)，读作“A
②当 ≠ ∅时，则 + 1 ≥ −2
或 + 1 > −2
2 − 1 ≤ 5
2 − 1 < 5
解得：2 ≤ ≤ 3.
综上可得，实数的取值范围是：{| ≤ 3}
·
2 − 1
·
5
分类讨论后要进行总结！
19
随堂练习
<>
变式4-1：已知集合 A = {−2 ≤ x ≤ 5} ， B = {x|m + 1 ≤ x ≤ 2m − 1} ，若 A ⊆ B ，
一般地，我们把不含任何元
素的集合叫做空集，记为∅，
并规定：空集是任何集合的子集.
∅⊆∅
{} ⊆ 与 ∈
有什么区别？试结
合实例作出解释。
空集是任何非空集合的真子集
9
新知探究
{} ⊆
∈
<>
包含关系 集合与集合之间的关系 例：{1}⊆{1，2，3}
属于关系 元素与集合之间的关系
辨析1：判断正误.
如果A ⫋ B，且B ⫋ C，那么A ⫋ C.
传递性
12
新知探究
典例分析
<>
例1：写出集合{, }的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 按照元素的个数，
有规律的列举，
含有一个元素
不重不漏
解：集合{, }的所有子集为，{}，{}，{, }；真子集有，{}，{}.
不含任何元素
含有两个元素
x
x
+
y
y
+
xy
xy
的非空子集个数是
【答案】
16
随堂练习
<>
练习2：设已知集合M满足{1,2} ⫋ M ⊆ {1,2,3,4,5}，则所有满足条件M的集合
的个数是(
、6个
).
、7个
、8个
、9个
【答案】
变式2-1：满足 2,3 ⊆ M ⫋ 1,2,3,4,5 的集合M的个数为
、6个
、7个
例：1∈{1，2，3}
你能说出∅与、
(1) 任何集合都有子集和真子集
{}、 {∅}三者之
(2)集合{x|x 2 + 1 = 0, x ∈ R} = ∅
间的的联系和区
【答案】
别吗？
×，√
10
∅与、{}、 {∅}三者之间的关系
类别
∅与0
都表示“无”
相同点
的意思
不同点
关系
新知探究
∅与{0}
∅与{∅}