2023-2024学年浙江省杭州北斗联盟高一年级第一学期期中联考数学试题+答案解析(附后)

2023-2024学年浙江省杭州北斗联盟高一年级第一学期期中联考数
学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若，则x的可能值为( )
A. 0，2
B. 0，1
C. 1，2
D. 0，1，2
2.命题的否定为( )
A. B. C. D.
3.若a，b，，，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5.使“”成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. 或 D. 或
6.因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油现张先生本周按照以下两种方案加油两次加油时油价不一样，甲方案：每次购买汽油的量一定乙方案：每次加油的钱数一定.问哪种加油的方案更经济
( )
A. 甲方案
B. 乙方案
C. 一样
D. 无法确定
7.已知定义在R上的奇函数在上单调递减，定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，用表示中的较大者，记为
，若的最小值为，则实数a的值为( )
A. 0
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是( )
A. 与是同一函数
B. 奇函数的图象一定过点
C. 对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
D. 函数在其定义域内是单调递减函数
10.函数与在同一坐标系中的图象可能为( )
A. B. C. D.
11.已知，则( )
A. B.
C. D. 当
12.对于定义在D函数若满足：
①对任意的，②对任意的，存在，使得
则称函数为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.化简求值：__________.
14.函数的单调递减区间为__________，值域为__________.
15.已知函数，，若对于任意实数x，与至少有一个为正数，则实数a的取值范围是__________.
16.已知函数，若实数a、b满足，则的最大值为__________
四、解答题：本题共4小题，共40分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题8分
设集合，，或
若，求实数m的取值范围；
若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
18.本小题10分
已知函数，b为非零常数．
当时，试判断函数的单调性，并用定义证明；
当时，不等式对恒成立，求实数a的取值范围．
19.本小题10分
老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究，预测第一年鱼重量增长率，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。

现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为个单位，含氧量y与年份x
的函数模型为，当含氧量少于个单位，鱼虽然依然生长，但会损失的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.
试求出含氧量模型函数关系式;
试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失;
求出第年鱼的总重量与第n年鱼的总重量的关系式不用证明关系式，n为整数，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?
20.本小题12分
对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数
，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”．判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一
个“优美区间”？直接写出结论，不要求证明
如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题．
利用集合中元素的互异性分类讨论求解即可．
【解答】
解：，
当时，，不满足集合中元素的互异性；
当时，，满足集合中元素的互异性；
当，即或舍时，，满足集合中元素的互异性；
或
故选
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，属于基础题.
【解答】
解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
故命题p的否定为：
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质的综合应用，掌握不等式的性质是解题的关键，属于基础题.
利用不等式的性质，这个判断四个选项即可判断.
【解答】
解：对于A，由，则，故选项A不正确；
对于B，由，则故，故选项B不正确；
对于C，当时，，当时，，故选项C不正确；
对于D，由，，所以，故选项D正确.
故选：
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的定义域求解，需要充分理解定义域的具体含义，为基础题.
【解答】
解：函数的定义域为，则有的定义域为，
则函数的定义域满足，即该函数的定义域为
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查必要不充分条件的概念及应用，以及分式不等式的求解.
【解答】
解：，可得，且可得，结合选项找必要不充分条件，则为
，为选项
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查根据实际问题中用作差法比较大小，属于基础题.
设两次加油的油价分别为x元/升、y元/升，分别写出两种方案两次加油的平均价格，比差即可得结论.【解答】
解：设两次加油的油价分别为x元/升，y元/升且，
甲方案每次加油的量为a升，
则甲方案的平均油价为：
乙方案每次加油的钱数为b元，
乙方案的平均油价为：；
因为，
所以，即乙方案更经济.
故选
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性以及单调性，属于中档题．
根据函数奇偶性以及单调性可得当或时，，当或时，，当或时，，当时，，从而可解．
【解答】
解：因为是定义在R上的奇函数，则，又，则当或时，
，当或时，，
又因为是定义在R上的偶函数，且，则当或时，，
当时，，
则当时，或，
故选：
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，考查函数的最值，属于一般题.
先画出两个函数的图象，得到的图象，根据最小值为进行数形结合可知，交点处函数值为，计算即得结果.
【解答】
解：依题意，先作两个函数的草图图中a的正负情况对解题过程不影响，
因为，故草图如下：
可知在交点A出取得最小值，
令，得，故，代入直线，得，
故
故选：
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查函数的定义和性质，属于基础题.
【解答】
解：与是同一函数，故A正确;
奇函数的图象不一定过点，故B错误;
函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x值肯定不同，故C正确;
的单调减区间为和，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误.
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数图象特征与对应参数取值范围的关系，理解基本函数图象的特征是解答本题的关键，此类题通常是假定一个正确，从而来检验两者之间是否有矛盾．
先假定函数的图象正确，得出相应的参数a的范围，再由此判断函数图象是否符合这一特征，即可得出正确选项．
【解答】解：对于A选项，函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向下，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是A；不可能是B；
对于选项C，函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给
图象符合这一特征，故可能是C；
对于选项D，函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是D；
故选：
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的解析式与求值，属于中档题.
根据分段函数的解析式，逐项分析即得.
【解答】
解：因为，
所以，即，故A正确；
所以，，故B错误；
所以，故C错误；
当时，所以，故D正确.
故选：
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查新函数的判定，函数新定义问题，属于中档题目．
由条件得出“等均值函数”在定义域内为奇函数，结合新定义对选项进行逐一判断即可.
【解答】
解：对于A：，所以，满足①；
对任意的，存在，使得，满足②，A 正确；
对于B：当时，，，，
当时，同理可得，即满足①；
对任意的，存在，
，满足②，B正确；
对于C：，所以，满足①；
对任意的，存在，
使得，满足②，C正确；
对于D：定义域是，对于任意的x，当时，没有对应的使得成立，不满足①，D错误；
故选：
13.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查指数幂的化简求值，为基础题.
【解答】
解：
14.【答案】；
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数的值域和单调区间，考查指数函数的性质，属于基础题.
根据指数函数的性质可得值域，根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调区间.
【解答】
解：定义域为R，
，
，
值域为
设，，
在区间上单调递减，在区间1，上单调递增，
为减函数，
在区间上单调递增，在区间1，上单调递减.
故答案为；
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了恒成立问题中求解参数范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
问题转化为当时，恒成立，然后对a是否为0进行分类讨论，结合二次函数的性质及一次函数性质可求．
【解答】
解：当时，，当时，，
因为对于任意实数x，与至少有一个为正数，
故当时，恒成立，
当时显然不成立，
当时，对时恒成立，满足题意，
当时，函数图象开口向上，对称轴，
①若，即时，函数在时单调递减，，
故对时恒成立，满足题意；
②若，即时，，
解得，
综上，
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性的应用，考查分类讨论等，为较难题.
【解答】
解：令，
，故为奇函数，
，即，可知，
即成立，则，
当时，恒小于或等于0，
当时，
综上的最大值为
17.
【答案】解：因为，所以
①当时，由，得，解得；
②当，即时，成立．
综上，实数m的取值范围是
因为中只有一个整数，所以，
且，解得，
所以实数m的取值范围是
【解析】本题主要考查集合交集的性质，集合之间的关系，属于基础题.
根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；
由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.
18.【答案】解：因为，
所以，由指数型复合函数单调性可判断：函数在定义域上为单调增函数．
证明：时，对恒成立，
函数的定义域为R，
任取且，则，，
，
，
，，，，
又，，，，
，即，
函数在为单调增函数．
解：当时，，
由知函数在为单调增函数，
函数的定义域为，关于原点对称，
又，
函数为R上的奇函数，
不等式对恒成立等价于对
恒成立，
对恒成立，
对恒成立，
，解得 .
实数a的取值范围是 .
【解析】本题考查判断并证明函数的单调性、函数单调性、奇偶性的综合应用，属于较难题.
，进而结合指数型复合函数判断，再根据函数单调性的定义证明即可；
结合得在为单调增函数，再判断函数的奇偶性得为奇函数，再根据单调性与奇偶性得对恒成立，进而根据二次不等式恒成立求解即可.
19.【答案】解：含氧量y与年份x的函数模型为，
由已知条件知，，即
，可得，即，
所以从第6年开始生长缓慢并出现损失.
由题意和可知，当时，
当时，
当时，显然是递增，
当时即：
，，故签7年.
【解析】本题考查指数函数模型的实际应用，为中档题.
20.【答案】解：，在上单调递增，
由得或1，存在优美区间是；
是增函数，若存在优美区间，
则无解，不合题意，因此，不存在优美区间.
由在和上均为增函数，
已知在“优美区间”上单调，
所以或，且在上为单调增，
则同理可得，，
即m，是方程的两个同号的实数根，
等价于方程有两个同号的实数根，并注意到，
则只要，解得或，
而由韦达定理知，
所以
，
其中或，
所以当时，取得最大值
【解析】本题考查新定义问题，解题的关键是充分理解“优美区间”的概念，考查知识的迁移及学以致用的能力，属于中档题．
由“优美区间”的定义即可判断;
由“优美区间”的定义可得m，是方程的两个同号的实数根，等价于方程
有两个同号的实数根，则或，，故可得，运用二次函数的图象及性质即可求得最大值．。