2.3 麦克斯韦速率分布

而右边打斜条区域表示分子速率介于v1 到 内分子数与总分子数之比，其数值应该从下面 的积分求出


v1
f (v)dv


v1
m v2 2 m 3/ 2 4 ( ) exp v dv 2kT 2kT
• ●计算积分时，可利用附录2-1中的积分 公式 3 / 2 2 2
§2.3 麦克斯韦速率分布
• ●气体分子热运动的特点是 • 大数分子无规则运动及它们之间频繁地相互碰 撞， • 分子以各种大小不同的速率向各个方向运动， • 在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能 量，使每一分子的速度不断变化。 • ●处于平衡态的气体，虽然每个分子在某一瞬时 的速度大小、方向都在随机地变化着，但是大多 数分子之间存在一种统计相关性， • 这种统计相关性表现为平均说来气体分子的速率 （指速度的大小）介于 v 到v + dv 的概率（即 速率分布函数）是不会改变的
•
二、麦克斯韦速率分布（Maxwell speed distribution） ● 早在 1859 年，英国物理学家麦克斯韦利用 平衡态理想气体分子在三个方向上作独立运动 的假设导出了麦克斯韦速率公布，其表达式如 下：
m 3/ 2 f (v)dv 4 ( ) e 2kT
mv 2 2 kT
dN f (v) dv dv Ndv
• ●因为处于平衡态的分子源中气体分子的平均 速度为零， • 平均来说，每一分子均不改变空间位置， • 故f（v）dv是“静态”的速率分布。 • ●但分子束中的分子都在作匀速运动， • 说明F（v）dv是一种“动态”的分布， • 它表示了粒子通量（指单位时间内透过的分子 束中的分子数）中的速率分布。 • ●但f（v）dv与F（v）dv间存在一定关系，故 可利用实验测得的分子束速率分布图线求得理 想气体速率分布。
最概然速率
• 称概率密度取极大值时的速率为最概然 速率（也称最可几速率），以vp表示。 • (3) 麦克斯韦分布本身是统计平均的结 果，它与其它的统计平均值一样，也会 有涨落，但当粒子数为大数时，其相对 均方根偏差是微不足道的. • (4)我们只要记住麦克斯韦速率分布的 函数形式为
2 mv 2 Av exp 2 kT
四、理想气体分子的平均速率、均方根速 率、最概然速率 • (1) 平均速率
v vf (v)dv
0
0
m 4 2kT
3/ 2
2 mv 3 v exp 2kT dv
利用附录2-1中公式可得
8kT 8RT v m M m
v p 2kT / m
●从上式可见 m 越小或 T 越大，vp 越大。
图画出两条麦克斯韦速率分布曲线中。 最概然速率vP1＞vp2。 （4）三种速率之比
v p : v : v 2 1 : 1.128: 1.224
它们三者之间相差不超过 23%，而以均方根速率为最 大。右图示意表示了麦克斯 韦速率分布中的三种速率的 相对大小。
mv exp 2 kT
•

● 还应记住，除指数因子之外，还有幂函
数因子v2、微分元dv及归一化系数A。 ●由于整个 e指数的量纲为 1，v2dv为v的三 次方量纲，概率分布的量纲也是 1，可见 其系数A呈1/v 3量纲。 而v2 量纲与 2kT /m 的量纲相同， 所以A中应有(m/ 2kT )3/2 因子。 • 麦克斯分布就可由上述量纲分析方法写 出。
通过归一化可求出系数
m 3/ 2 A 4 ( ) 2kT
• （5）利用量纲有助于我们对分布公式的 记忆， • 由于 e 的指数上的量纲为 1 ，而 mv2 / 2 与 kT 是同量纲的。 • 另外，当 v 时，f（v）应趋于零， • 说明 e 的指数上应是负的，由此可见其 e 指数因子为 2
分子束速率分布图线
• ●图（a）中每一细长条的面积均表示单位时 间内所射出的分子束中，分子速率介于该速率 区间的概率(ΔN/NΔv )v ，其中Δv = 10m· s-1。
•●当Δv 0时，即得一条光滑的曲 线，称为分子束速率分布曲线。 •●其纵坐标 F (v) dN
• 称为分子束速率分布概率密度函数。 • ●在v到v+dv速率区间内的细长条的面积 就表示分子速率介于v 到v+dv区间范围 内的概率 dN dv
3/ 2
1
●说明麦克斯韦速率分布是归一化的.
三、关于麦克斯韦分布说明几点：
（1）麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。 在平衡状态下气体分子密度n及气体温度都有确 定数值，故其速率分布也是确定的， 它仅是分子质量及气体温度的函数， 其分布曲线随分子质量或温度的变化趋势示于图。 (2)因为v2是一增函数，exp(-mv2/2kT)是一减函 数，增函数与减函数相乘得到的函数将在某 一值取极值，
• ●只要调节不同的旋转角速度 ，就可以从分 子束中选择出不同速率的分子来。 • ●更确切些说，因为凹槽有一定宽度，故所选 择的不是恰好某一速率大小，而是某一速率范 围Δv内的分子数。 • ●若在接收屏上安上能测出单位时间内透过的 分子数ΔN 的探测器，我们就可利用这种实验 装置测出分子的速率从零到无穷大范围内的分 布情况。 • ●与黑点在靶板上的分布相类似，我们以 • ΔN/NΔv 为纵坐标（其中N是单位时间内穿过 第一个圆盘上的凹槽的总分子数）， • 以分子的速率v为横坐标作一图形，如图所示。
Ndv
Ndv
§2.3.2 麦克斯韦速率分布
• （一）气体分子速率分布不同于分子束中分子 的速率分布 • 气体分子的速率分布与分子束速率分布不同。 • ●图 2.4 的真空加热炉（分子源）中金属蒸汽 （理想气体）的分子速率分布f（v）dv 与 • F（v）dv并非一回事。 • ●f（v）dv表示加热炉内气体的分子速率介于 v到v+dv的分子数dN与总分子数N之比。
• 在§1.6理想气体分子碰撞数及理想气体 压强公式证明中曾用到近似条件
v v2
v p : v : v 2 1 : 1.128: 1.224
vrms 1.085 v
•其偏差仅8.5%。但采用这种近似后， 其数学处理简单得多
麦克斯韦速率分布的例题 • [例2.1]试求氮分子及氢分子在标准状况 下的平均速率。 • [解]（1）氮分子平均速率
8RT 8 8.31 273 v m s 1 454m s 1 M m 3.14 0.028
•（2）氢分子平均速率
v 1.70 103 m s 1
•●以上计算表明，除很轻的元素如氢、 氦之外，其它气体的平均速率一般为数 百米的数量级
(2)均方根速率 v rms
v
2 0
3kT v f v dv m
2
v rms
3kT m
3kT Mm
•
结果与从 mv2 / 2 3kT / 2
• 得到的完全相同。 • （3）最概然速率vp • 因为速率分布函数是一连续函数，若要 求极值可从极值条件 df (v) 2kT 2kT 0 vp v v p m Mm dv

0
exp(ax ) x dx

4
a


0
f (v)dv

0
m v2 2 m 3/ 2 4 ( ) exp v dv 2kT 2kT
并令 = m/2kT ，则


0
m 3 / 2 2kT f (v)dv 4 ( ) 2kT 4 m
§2.3.1 分子射线束实验
• ●德国物理学家斯特恩（ Sterm ）最早于 1920 年做了分子射线束实验以测定分子射线束中的 分子速率分布曲线。 • ●介绍朗缪尔（Langmuir）的实验，见动画.
•●显然，分子束中能穿过第一个凹槽的分子 一般穿不过第二个凹槽，除非它的速率v 满 足如下关系 L L v v
v dv
2
•其中k为玻尔兹曼常量(Boltzmann onstant)
.
●图中左边打斜条狭
长区域表示速率介于 V 到v + dv分子数与 总分子数之比，此即 麦克斯韦速率分布。
m v2 2 m 3/ 2 f (v)dv 4 ( ) exp v dv 2kT 2kT
而右边打斜条区域表示分子速率介于vv1到??内分子数与总分子数之比其数值应该从下面的积分求出内分子数与总分子数之比其数值应该从下面的积分求出ktktf2p2?????dvvktmvktmdvvfvv22232exp2411?????????????????计算积分时可利用附录21中的积分公式计算积分时可利用附录21中的积分公式232204exp??????adxxax?dvvktmvktmdvvf2223002exp24????????????????并令??m2kt则1242423230????????????mktktmdvvf???并令??m2kt则说明麦克斯韦速率分布是归一化的