2015-2016学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷

映，如果调整商品售价，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．设每件商品降
价 x 元后，每星期售出商品的总销售额为 y 元，则 y 与 x 的关系式为（ ）
A．y=60（300+20x）
B．y=（60﹣x）（300+20x）
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C．y=300（60﹣20x）
D．y=（60﹣x）（300﹣20x）
（1）求 OA 的长； （2）若 AF 是⊙O 的另一条弦，且点 O 到 AF 的距离为
度数．
，直接写出∠BAF 的
24．（5 分）奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在 综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的 高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在 B 处测 得最高塔塔顶 A 的仰角为 45°，然后向最高塔的塔基直行 90 米到达 C 处，再 次测得最高塔塔顶 A 的仰角为 58°．请帮助他们计算出最高塔的高度 AD 约为 多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
的平移方法； （3）若点 A（1，t）和点 B（m，n）都在抛物线 C2：y2=2（x+1）2﹣4k 上，且 n
＜t，直接写出 m 的取值范围． 23．（5 分）如图，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB= ．点 C，E 分别在⊙O 上，且
OC⊥AB 于点 D，∠E=30°，连接 OA．
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为
；
（3）如图 4，点 M 的坐标为（0，2），⊙M 的半径为 1．第一象限内自点 O 出
发的入射光线经⊙M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点 P 的纵
坐标的取值范围．
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2015-2016 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷
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且点 A1 在第二象限，则点 A1 的坐标为（ ）
A．（﹣2，4） B．（ ，1）
C．（2，﹣4） D．（2，4）
7．（3 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 37°方向，距离灯塔 40 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的正东方向上的 B 处．这 时，B 处与灯塔 P 的距离 BP 的长可以表示为（ ）
y2．（填
“＞”，“＜”或“=”）
13．（3 分）△ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为
15，则△DEF 的周长为
．
14．（3 分）如图，线段 AB 和射线 AC 交于点 A，∠A=30°，AB=20．点 D 在射线
AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件的 AD 的长度值：AD=
（1）如图 1，当 BD=2 时，AN=
，NM 与 AB 的位置关系是
；
（2）当 4＜BD＜8 时，
①依题意补全图 2；
②判断（1）中 NM 与 AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
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（3）连接 ME，在点 D 运动的过程中，当 BD 的长为何值时，ME 的长最小？最
证明直线 PA，PB 都是⊙O 的切线，其依据是
．
；由此可
三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（5 分）计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°． 18．（5 分）如图，△ABC 中，AB=12，BC=15，AD⊥BC 于点 D，∠BAD=30°，求
．
15．（3 分）程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算
法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人
高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”
【注释】1 步=5 尺．
译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有 1 尺高，如将秋千的踏板往前推动
小值是多少？请直接写出结果．
29．（8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过⊙C 上一点 P 作⊙C 的切线 l．当入射
光线照射在点 P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线 l 的夹角和入射光
线与切线 l 的夹角相等，点 P 称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当
入射光线在⊙C 外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C 内时，只在圆内
集为
．
27．（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=﹣ +bx+c 的图象
经过点 A（1，0），且当 x=0 和 x=5 时所对应的函数值相等．一次函数 y=﹣x+3 与二次函数 y=﹣ +bx+c 的图象分别交于 B，C 两点，点 B 在第一象限．
（1）求二次函数 y=﹣ +bx+c 的表达式；
（2）连接 AB，求 AB 的长； （3）连接 AC，M 是线段 AC 的中点，将点 B 绕点 M 旋转 180°得到点 N，连接
AN，CN，判断四边形 ABCN 的形状，并证明你的结论．
28．（7 分）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M 为 AB 的中点．D 是射线 BC 上一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AE，连接 ED，N 为 ED 的中点，连接 AN，MN．
究． 下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化： 当 x=0 时，原不等式不成立； 当 x＞0 时，原不等式可以转化为 x2+4x﹣1＞ ；
当 x＜0 时，原不等式可以转化为 x2+4x﹣1＜ ；
（2）构造函数，画出图象 设 y3=x2+4x﹣1，y4= ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
两步（10 尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是 5 尺．美丽的姑娘
和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算
出这秋千的绳线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，
CD 是地面，点 B 是推动两步后踏板的位置，弧 AB 是踏板移动的轨迹．已知
A．40 海里
B．40tan37°海里
C．40cos37°海里
D．40sin37°海里
8．（3 分）如图，A，B，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，
D 是 的中点，连接 DB，DC，则∠DBC 的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．50°
D．70°
9．（3 分）某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反
10．（3 分）二次函数 y=2x2﹣8x+m 满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1 时，它的图象
位于 x 轴的下方；当 6＜x＜7 时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为
（）
A．8
B．﹣10
C．﹣42
D．﹣24
二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）
11．（3 分）若 ，则 的值为
．
12．（3 分）点 A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线 y=x2﹣5x 上，则 y1
21．（5 分）某小区有一块长 21 米，宽 8 米的矩形空地，如图所示．社区计划在 其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为 x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为 60 平方米，人行通道的宽度应 是多少米？
22．（5 分）已知抛物线 C1：y1=2x2﹣4x+k 与 x 轴只有一个公共点． （1）求 k 的值； （2）怎样平移抛物线 C1 就可以得到抛物线 C2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体
①第一象限内的一条入射光线平行于 x 轴，且自⊙O 的外部照射在其上点 P 处，
此光线经⊙O 反射后，反射光线与 y 轴平行，则反射光线与切线 l 的夹角为
°；
②自点 A（﹣1，0）出发的入射光线，在⊙O 内不断地反射．若第 1 个反射点 P1
在第二象限，且第 12 个反射点 P12 与点 A 重合，则第 1 个反射点 P1 的坐标
双曲线 y4= 如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 y3=x2+4x﹣1；（不用列表）
（3）确定两个函数图象公共点的横坐标
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足 y3=y4 的
所有 x 的值为
；
（4）借助图象，写出解集
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结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式 x3+4x2﹣x﹣4＞0 的解
tanC 的值．
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19．（5 分）已知抛物线 y=﹣x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧． （1）求 A，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴； （2）设此抛物线的顶点为 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求四边形 ACBD 的面
积． 20．（5 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=∠BDC． （1）求证：△ABD∽△DCB； （2）若 AB=12，AD=8，CD=15，求 DB 的长．
AC=1 尺，CD=EB=10 尺，人的身高 BD=5 尺．设绳索长 OA=OB=x 尺，则可列
方程为
．
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16．（3 分）阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：P 为⊙O 外一点．
求作：经过点 P 的⊙O 的切线．
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和 B（﹣3，﹣1）两点． 观察图象可知： ①当 x=﹣3 或 1 时，y1=y2； ②当﹣3＜x＜0 或 x＞1 时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式 ax+b
＞ 的解集．
有这样一个问题：求不等式 x3+4x2﹣x﹣4＞0 的解集． 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式 x3+4x2﹣x﹣4＞0 的解集进行了探
2015-2016 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一
个是符合题意的．
1．（3 分）二次函数 y=（x﹣5）2+7 的最小值是（ ）
A．﹣7
B．7
C．﹣5
D．5
2．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则 cosA 的值为（ ）
小敏的作法如下：
如图，
（1）连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线 MN 交 OP 于点 C；
（2）以点 C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交⊙O 于 A，B 两点；
（3）作直线 PA，PB．所以直线 PA，PB 就是所求作的切线．
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接 OA，OB 后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是
进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．
光线在⊙C 外反射的示意图如图 1 所示，其中∠1=∠2．
（1）自⊙C 内一点出发的入射光线经⊙C 第一次反射后的示意图如图 2 所示，P1 是第 1 个反射点．请在图 2 中作出光线经⊙C 第二次反射后的反射光线；
（2）当⊙O 的半径为 1 时，如图 3，
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中 OA 边与⊙C 相切于点 P．若 ∠AOB=90°，OP=6，则 OC 的长为（ ）
A．12
B．
C．
D．
4．（3 分）将二次函数 y=x2﹣6x+5 用配方法化成 y=（x﹣h）2+k 的形式，下列结
果中正确的是（ ）
A．y=（x﹣6）2+5 B．y=（x﹣3）2+5 C．y=（x﹣3）2﹣4D．y=（x+3）2﹣9
25．（5 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD⊥AB 于点 D，交 AC 于点 E．
（1）求证：∠PCE=∠PEC； （2）若 AB=10，ED= ，sinA= ，求 PC 的长．
26．（5 分）阅读下面材料： 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1=ax+b 与双曲线 y2= 交于 A（1，3）
5．（3 分）若一个扇形的半径是 18cm，且它的弧长是 12π cm，则此扇形的圆心
角等于（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
6．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（﹣1，2），AB⊥x
轴于点 B．以原点 O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的 2 倍，得到△OA1B1，