21届华杯赛试题及答案

21届华杯赛试题及答案
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + c，若f(x)在x=2时取得最小值，则c的值为多少？
A. 0
B. 4
C. 8
D. 12
答案：C
2. 一个等差数列的前三项分别为2, 5, 8，那么这个数列的第10项是多少？
A. 23
B. 24
C. 25
D. 26
答案：A
3. 已知一个圆的直径为10cm，那么它的面积是多少平方厘米？
A. 25π
B. 50π
C. 100π
D. 200π
答案：B
4. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么斜边的长度是多少？
A. 5cm
B. 6cm
C. 7cm
D. 8cm
答案：A
二、填空题（每题5分，共20分）
5. 已知一个等比数列的前三项分别为1, 2, 4，那么它的第5项是
______。

答案：8
6. 一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm和4cm，那么它的体积是______立方厘米。

答案：24
7. 已知一个二次函数的顶点为(-1, 2)，且经过点(2, 3)，那么它的解析式是______。

答案：y = (x + 1)^2 + 2
8. 一个圆的周长为62.8cm，那么它的半径是______厘米。

答案：10
三、解答题（每题10分，共20分）
9. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，求这个三角形的斜边长。

答案：斜边长为10cm。

10. 已知一个等差数列的前三项分别为3, 7, 11，求这个数列的第20项。

答案：第20项为83。

四、证明题（每题10分，共20分）
11. 证明：对于任意正整数n，等式(1+1/n)^n < e < (1+1/(n-1))^n 成立。

答案：略。

12. 证明：对于任意实数x，y，有|x+y| ≤ |x| + |y|。

答案：略。

五、综合题（每题20分，共20分）
13. 已知一个圆心在原点，半径为5的圆，以及一个点A(7,0)。

求通过点A且与圆相切的直线方程。

答案：直线方程为x=7或x+y-7=0。

六、附加题（每题10分，共10分）
14. 已知一个正六边形的边长为a，求它的面积。

答案：面积为3√3/2 * a^2。