人教 中考数学(一元二次方程提高练习题)压轴题训练及详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以
3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）8
5
s或
24
5
s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴
cm ；
∴经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是
； （2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ． （16-2x-3x ）2+62=102，即（16-5x ）2=64， ∴16-5x=±8， ∴x 1=
85，x 2=245；
∴经过85
s 或
24
5
sP 、Q 两点之间的距离是10cm ； （3）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2． ①当0≤y≤16
3
时，则PB=16-3y ， ∴
12PB•BC=12，即1
2×（16-3y ）×6=12， 解得y=4；
②当
163
＜x≤223时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y ，则
12BP•CQ=1
2
（3y-16）×2y=12， 解得y 1=6，y 2=-2
3
（舍去）； ③
22
3
＜x≤8时， QP=CQ-PQ=22-y ，则
12QP•CB=1
2
（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2． 考点：一元二次方程的应用．
2．已知关于x 的一元二次方程()2
20x m x m -++=（m 为常数）
（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；
(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】
（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等
实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=2
1
m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：
△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0， 即△＞0，
所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，
()220x m x m -++=
根据题意得2+t=2
1
m + ,2t=m ， 解得t=0， 所以m=0，
即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】
本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.
3．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当k≤1
4
时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·
x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：
（1）∆= ()()
2
2
21420k k k +-+≥，解得14
k ≤
（2）由22
12120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-
+≥， 由根与系数的关系可得：2
121221,2x x k x x k k +=+=+
代入得：22364410k k k k +---≥，
化简得：()2
10k -≤， 得1k =.
由于k 的取值范围为14
k ≤
， 故不存在k 使22
12120x x x x --≥．
4．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=23
2
⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=34
2
⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12
+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为
______． 探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱AC
上有1+2=
23
2
⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12
+×3×1=
()3a a 12
+．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱AC
上有1+2+3=
34
2
⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为
探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱
AC 上有
()b b 12
+
条线段，棱AD 上有1+2=
23
2
⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12
+×
()b b 12
+×3=
()()
3ab a 1b 14
++．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有
()a a 12
+条线段，棱AC
上有
()
b b 12
+条线段，棱AD 上有1+2+3=
34
2
⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．
（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）
如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论． 【答案】探究一：（3）()a a 12
+ ；探究二：（5）3a （a+1）；（6）()()
ab a 1b 14
++ ；
探究三：（8）
()()
3ab a 1b 12
++ ；【结论】：①
()()()
abc a 1b 1c 18
+++ ；【应用】：
180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.
【分析】
（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；
(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：探究一、（3）棱AB上共有
()
a a1
2
+
线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
则图中长方体的个数为
()
a a1
2
+
×1×1=
()
a a1
2
+
，
故答案为
() a a1
2
+
；
探究二：（5）棱AB上有
()
a a1
2
+
条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线
段，
则图中长方体的个数为
()
a a1
2
+
×6×1=3a（a+1），
故答案为3a（a+1）；
（6）棱AB上有
()
a a1
2
+
条线段，棱AC上有
()
b b1
2
+
条线段，棱AD上只有1条线段，
则图中长方体的个数为
()
a a1
2
+
×
()
b b1
2
+
×1=
()()
ab a1b1
4
++
，
故答案为
()() ab a1b1
4
++
；
探究三：（8）棱AB上有
()
a a1
2
+
条线段，棱AC上有
()
b b1
2
+
条线段，棱AD上有6条
线段，
则图中长方体的个数为
()
a a1
2
+
×
()
b b1
2
+
×6=
()()
3ab a1b1
2
++
，
故答案为
()() 3ab a1b1
2
++
；
(结论)棱AB上有
()
a a1
2
+
条线段，棱AC上有
()
b b1
2
+
条线段，棱AD上有
()
c c1
2
+
条线
段，
则图中长方体的个数为
()a a 12
+×
()b b 12
+×
()c c 12
+=
()()()abc a 1b 1c 18
+++，
故答案为
()()()
abc a 1b 1c 18
+++；
(应用)由(结论)知，
()()()
abc a 1b 1c 18
+++，
∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为
()()()2342131418
⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，
故答案为为180；
拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，
由题意得
33
(1)8
x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，
∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64
所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】
解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．
5．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
【答案】（1）两次下降的百分率为10%；
（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元． 【解析】 【分析】
（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可 【详解】
解：（1）设每次降价的百分率为 x ． 40×（1﹣x ）2＝32.4
x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；
（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得
()4030y (448)5100.5
y
--⨯
+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5， ∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元． 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
6．校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由． （2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．
【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2． 【解析】 【分析】
（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.
（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立. 【详解】
（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米， 根据题意得：x(32﹣2x)=126， 解得：x 1=7，x 2=9， ∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y(36﹣2y)=170，
整理得：y2﹣18y+85=0．
∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．
7．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
【答案】共有35名同学参加了研学游活动．
【解析】
试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．
试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．
设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：
x[100﹣2（x﹣30）]=3150，
整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，
当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．
当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．
答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．
考点：一元二次方程的应用．
8．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：
这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：
1
25
4
y t
=+
（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（4
a<）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范
围.
【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】 【分析】
（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；
（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；
（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围 【详解】
（1）设该函数的解析式为:m=kx+b
由题意得:98=k b
94=3k b +⎧⎨
+⎩
解得:k=-2,b=100
∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，
()1210025204W t t ⎛⎫
=-++- ⎪⎝⎭
21
151002t t =-++
()2
115612.52
t =-
-+ ∵
1
02
<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--
⎪⎝⎭
()21
1525001002
t a t a =-+++-，
∴对称轴为：152t a =+，
∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.
9．解方程：x2－2x＝2x＋1.
【答案】x1＝2，x2＝2
【解析】
试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据
求根公式x=求解即可.
试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，
∴x
＝，
∴x
1＝2，x2＝2
10．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．
【解析】
【详解】
解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．。