专题13 应用题-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘(解析版)

专题13 应用题
【真题感悟】
1、【2019年江苏,18】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．
（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 【答案】（1）15（百米）； （2）见解析；
（3）
17+. 【解析】 解法一：
（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .
由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ，
所以84
cos sin 105
PBD ABE ∠=∠=
=. 所以
12
15
4cos 5
BD PB PBD =
==∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.
（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.
②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD =
=，
从而2227
cos 0225
AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.
所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.
当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；
当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设x y a M N +=⋅为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1
15PB =， 此时11113
sin cos 1595
PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，
CQ ==此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.
综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距离
PQ =PD +CD +CQ =17+
因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.
解法二：
（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.
以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.
因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.
因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2
=25.
从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为3
4
. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43
-， 直线PB 的方程为425
33
y x =-
-
.
所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.
（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：3
6(44)4
y x x =-
+-剟.
在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.
当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；
当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设x y a M N +=⋅为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.
当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，
得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.
综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离
4(13)17PQ =+-=+.
因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.
2、【2018江苏，理17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，
,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【答案】（1）矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为
1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）π
6
【解析】
解：
（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，
则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为
1
2
×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6
）． 当θ∈[θ0，
π
2
）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[
1
4
，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[
1
4
，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，
π
2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，
π2
）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′
． 令()=0f θ′，得θ=π
6
， 当θ∈（θ0，π
6
）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（
π6，π
2
）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=
π
6
时，f （θ）取到最大值．
答：当θ=
π
6
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 3. 【2017江苏，18】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为
容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.
【答案】（1）16（2）20 【解析】
解：（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.
记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.
因为40AC AM ==，
所以30MC =
=，从而 3
sin 4
MAC =
∠， 记AM 与水面的焦点为1P ,过1P 作P 1Q 1⊥AC , Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12， 从而AP 1=
11
16sin P MAC
Q =∠.
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.
( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为
24cm)
容器Ⅱ
容器Ⅰ
A
H 1
1
E 1
A (第18题)
（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.
过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足，则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，
所以KG 1=
6214
242
-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114
sin sin()cos 25
KGG KGG απ=+==∠∠.
因为2απ<<π，所以3cos 5
α=-.
在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7
sin 25
β=. 因为02βπ<<
，所以24cos 25
β=
. 于是42473
sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555
NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=
⨯+-⨯=∠. 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=
22
20sin P NEG
Q =∠.
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.
(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)
4. 【2016江苏，17】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍.
（1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？
（第17题）
【答案】（1）312（2）1PO =【解析】
解：（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB =6，
所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积()22
31111
1=6224m ;33
V A B PO ⋅⋅=
⨯⨯=锥 正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积()
2231=68288m .V AB OO ⋅=⨯=柱 所以仓库的容积V =V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）.
(2)设A 1B 1=a (m)，PO 1=h (m)，则0<h <6，OO 1=4h .连结O 1B 1.
因为在Rt △11PO B 中，222
1111O B PO PB +=，
所以
2
236h +=，即()22236.a h =- 于是仓库的容积()()222311326
43606333
V V V a h a h a h h h h =+=⋅+⋅==-<<柱锥， 从而()()2226
'36326123
V h h =
-=-.
令'0V =，得h =或h =-（舍）.
当0h <<0V'> ，V 是单调增函数；
当6h <时，0V'<，V 是单调减函数.
故h =V 取得极大值，也是最大值.
因此，当1PO =时，仓库的容积最大.
5. 【2015江苏高考，17】 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计
划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，
，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，
的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，
假设曲线C 符合函数2
a
y x b
=+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；
（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .
①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度
.
【答案】（1）1000,0;a b ==（2
）①()f t =定义域为[5,20]
，②min ()t f t == 【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．
将其分别代入2a
y x b =+，得4025 2.5400a
b a b
⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，
解得1000
0a b =⎧⎨
=⎩
．
（2）①由（1）知，21000y x =
（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，3
2000
y x '=-
，
则l 的方程为()23
10002000y x t t t -
=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫
B ⎪⎝
⎭．
故()f t ==，[]5,20t ∈．
②设()62
4410g t t t ⨯=+，则()6
5
16102g t t t
⨯'=-．令()0g t '=，解得t =
当(
t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；
当()
t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．
从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，
此时()min f t =
答：当t =l 的长度最短，最短长度为千米．
【考纲要求】
数学在实际问题中的应用考查要求： 要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.
【考向分析】
1.根据待定系数法、几何公式、解三角形确定函数解析式
2.利用导数、基本不等式或解三角形求最值或范围.
【高考预测】
利用导数、基本不等式或解三角形求最值或范围仍是考查中点内容.
【迎考策略】
1.生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案．
2.解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
②建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③求模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将数学结论还原为实际问题的意义．
【强化演练】
1．某“”型水渠南北向宽为，东西向宽为，其俯视图如图所示．假设水渠内的水面始终保持水平位置.
(1)过点的一条直线与水渠的内壁交于两点，且与水渠的一边的夹角为（为锐角），将线段的长度表示为的函数；
(2)若从南面漂来一根长度为的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？试说明理由．
【答案】（1）（2）能
【解析】
解(1)由题意，，，
所以
(2)设，
由，令，得.
且当，；当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，即为最小值．
当时，，，所以的最小值为，
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为.
因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.
答：竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．
2．将一个半径为3dm ，圆心角为的扇形铁皮焊接成一个容积为V(dm 3)的圆锥形无盖容器(忽略
损耗).
(1)求V 关于的函数关系式 (2)当为何值时，V 取得最大值
(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球?请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3) 能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球.理由见解析. 【解析】 （1）
，
(2) 令
，
，
因此时，
（3）设圆锥轴截面三角形内切圆半径为
，
所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球.
3．如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地,120ABCD AB =米， 80AD =米，以,AD BC 为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形ABCD 内部）为两个半圆形水上主题乐园， ,,BC CD DA 都建有围墙，游客
只能从线段AB 处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE FB 、
修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为,AD BC 上的动点，
//EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直
线部门的平均修建费用为400元/米.
（1）若80EF =米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？ （2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低.
【答案】（1）80048003π-；（2）当1AO E ∠为3
π
时，修建费用最低.
【解析】（1）如图,设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，连12,O E O F ，则20ME =米， 1O M =米．
梯形12O O FE 的面积为
()1
120802
⨯+⨯=平方米， 矩形12AO O B 的面积为120404800⨯=平方米， 由16
AO E π
∠=
，得扇形1O AE 和扇形2O FB 的面积均为
14001600263
ππ
⨯⨯=
平方米，
故阴影部分面积为80048003
π
--平方米． （2）设1,0,
2AO E πθθ⎛⎫
∠=∈ ⎪⎝
⎭
，则40AE BF θ==， 所以120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-， 修建费用()()()2008040012080sin 1600032sin f
θθθθθ=⨯+⨯-=+-，
所以()()1600012cos f θθ=-'，
令()0f θ'=，得3
π
θ=
，
当θ变化时， ()(),f f θθ'的变化情况如下表：
由上表可得当3
π
θ=时，即13
AO E π
∠=
， ()f
θ有极小值，也为最小值．
故当1AO E ∠为
3
π
时，修建费用最低． 4．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）
（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离； （2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
. ①试用θ表示EF 的长度；
②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大.
【答案】（1）（2）①最小值为)
264001m ②当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面
积之和最大
【解析】
以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）直线PB 的方程为2y x =， 半圆O 的方程为2
2
2
40x y += ()0y ≥，
由()2222,{
400,
y x x y y =+=≥得y =
所以，点P 到AD 的距离为.
（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为
()sin 2
8040cos 1
y x θθ++=
++，
令0y =，得
80cos 8040sin 2E x θθ+=
-+ 80cos 40sin sin 2
θθ
θ-=
+. 直线PC 的方程为()sin 2
8040cos 1
y x θθ-+=--，
令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθ
θ+=
+. 所以， EF 的长度为
()F E f x x θ=- 80sin sin 2θθ=
+， 0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为
1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=
⨯-⨯ ⎪+⎝⎭ 6400
sin 2
θ=+， 区域Ⅱ的面积为
21
40sin 2S EF θ=⨯⨯ 180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭ 21600sin sin 2θθ=
+， 所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2
π
θ<<.
设sin 2t θ+=，则23t <<，
()2
12160026400
t S S t
-++=
.
8
16004t t ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
()16004≥ )
6400
1=.
当且仅当t =sin 2θ=时“=”成立.
所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)
26400
1m .
答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.
5．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中,A B 在直径上，点,C D 在圆周上.
（1）设AD x =，将矩形ABCD 的面积y 表示成x 的函数，并写出其定义域； （2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD 的面积最大？并求出最大面积.
【答案】(1)y=2x x ∈（0，20）.(2)截取ABCD 的面积最大，
最大面积为2400cm . 【解析】
（1），∴y=f （x ）x ∈（0，20）.
（2）2200,y x x === 2
max 400y cm =.
∴截取时，才能使矩形材料ABCD 的面积最大，最大面积为2
400cm .
6．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余
空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化.其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C D G H 、、、在圆周上， E F 、在边CD 上，且3
BOG π
∠=
，设BOC θ∠=.
（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()f
θ，求()f θ的表达式；
（2）当cos θ为何值时，能符合园林局的要求？
【答案】（1）()2
2sin cos sin ,0,23f R πθθθθθ⎛⎛⎫
=-+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
;(2) cos θ=【解析】
（1）由题意， 2cos ,sin AB R BC R θθ==，且HOG ∆为等边三角形，
所以， ,sin HG R EH R θ==
-，
()2cos sin sin ABCD EFGH f S S R R R R R θθθθ⎫
=+=⋅+-⎪⎪⎝⎭，
22sin cos sin ,0,23R πθθθθ⎛⎫⎛⎫
=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ （2）要符合园林局的要求，只要()f
θ最小，
由（1知， ()()()
222222cos 2sin cos 4cos cos 2f R R θθθθθθ=--=--'
令()0f θ'=，即24cos cos 2=0θθ--，解得cos θ=
或cos θ=，
令00cos 0,3πθθ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
当()00,θθ∈时， ()0f θ'<， ()f θ是单调减函数，当0,3
π
θθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，
()0f θ'>， ()f θ是单调增
函数，所以当0θθ=时， ()f
θ取得最小值.
答：当θ满足cosθ=.
7．如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，
与平行，设.
（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；
（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.
【答案】（1）见解析;（2）.
【解析】
（1）由题意，，所以，
又，
所以观光专线的总长度
，，
因为当时，，
所以在上单调递减，
即观光专线的总长度随的增大而减小.
（2）设翻新道路的单位成本为，
则总成本，，
，
令，得，因为，所以，
当时，，当时，
.
所以，当时，
最小.
答：当
时，观光专线的修建总成本最低.
8．如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与BD 焊接而成，焊接点D 把杆AC 分成,AD CD 两段，其中两固定点,A B 间距离为1米， AB 与杆AC 的夹角为60︒，杆AC 长为1米，若制作AD 段的成本为/a 元米，制作CD 段的成本是2/a 元米，制作杆BD 成本是4/a 元米.设ADB α∠=，则制作整个支架的总成本记为S 元.
（1）求S 关于α的函数表达式，并求出α的取值范围； （2）问AD 段多长时， S 最小？ 【答案】（1
）3S 2a ⎫=+⎪⎪⎝
⎭， 2,33ππ
α⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
（2
）当AD =时S 最小 【解析】
（1）在ABD ∆中，由正弦定理得
12sin sin sin 33BD AD
ππαα==
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
∴BD =，
12AD =+，
则12sin 2S a αα⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭
1212a ⎡⎤⎫-+⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
42sin a α⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
32sin 2a αα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，由题意2,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （2
）令214cos '0sin S αα-=⋅
=，设0
1
cos 4
α=.
∴当1
cos 4
α=
时， S 最小，此时sin α= 12AD =+=.
答：（1）S 关于α的函数表达式为32sin 2S a αα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，且2,33ππ
α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
；
（2）当AD =
时S 最小. 9．园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中
()0,2θπ∈， O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边(即： OA OB 、和θ所对的圆弧)建设一圈理想
的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元. (1)若总费用恰好为24万元，则当r 和θ分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积； (2)若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？
【答案】（1）20r =， 2θ=，面积最大值为400平方米.（2）水池的最大面积为337.5平方米.
【解析】
解(1)法1：弧长AB 为r θ，扇形AOB 面积为2
12
S r θ=
， 则()2140010002240000.2
r r r θθ⨯++=即()2
521200.r r r θθ++=
所以2120010.5r
r r
θ-=+ 22211120010225r S r r r r
θ-==⨯⨯+
()()
625650556505400.5r r ⎡⎤=-++≤-⨯=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
当且仅当6255,205r r r +=
=+即时取等号，此时()20,2θπ=∈ 答： 20r =， 2θ=，面积最大值为400平方米.
法
2：利用基本不等式. (
)222525r r r r r θθθθ++≥+⨯=+(2) 由10522105,=
,r r r r θθ-+=得出 ()211105222
S r r r θ∴==-, 所以()210520=
2{
,521200r r r r r θπθθ-<<++≤ 所以105105222{ ,15,452
r r r π<<+≤≥所以105452r ≤< . ()211105222S r r r θ∴==-, 10545,2r ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 所以45r =， 13
θ=时，水池的最大面积为337.5平方米. 答： r 的取值范围为105452r ≤<，且当45r =， 13θ=，水池的最大面积为337.5平方米. 10．日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O 为圆心，R （R 为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD 区域用于儿童乐园出租，弓形BCD 区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．
（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD 的面积S 弓=f （θ）；
（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD 的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．
【答案】(1)见解析;(2)当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50π）.【解析】
（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，
S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）
（2）设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元；则y1=R2sinθ•95，y2=R2（θ﹣sinθ）•5，y3=R2（π﹣θ）•55，
∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100si nθ+50θ﹣55π），
设g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．
∴g′（θ）=100cosθ+50
∴g′（θ）＜0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；
g′（θ）＞0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上为增函数；
当θ=时，g（θ）取到最大值，此时总利润最大，
此时总利润最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．
（求最值时，如不交代单调性或者列表，扣2分）
答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50﹣π）。