新北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(有答案解析)(5)

一、选择题
1．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O 是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）
A 5
B ．2
C 3
D 2
2．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（ ） A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
3．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且,,PA PB PC 的长分别为,,a b c ，又
2()2a b c +=，侧面PAB 与底面ABC 成45︒角，当三棱锥体积最大时，其外接球的
表面积为（ ） A ．10π
B ．40π
C ．20π
D ．18π
4．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．18π
B ．36π
C ．40π
D ．72π
5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 的中点，则点1C 到平面EBD 的距离为（ ） A 3B 6 C 5 D ．
2
3
6．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）
A ．64
B ．48
C ．32
D ．16
7．如图为某几何体的三视图，正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形，则该几何体
的表面积是（ ）
A ．23+
B ．223+
C ．63
D ．6
8．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为
2，求这个球的表面积（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．24π
9．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，
120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ）
A 43
B 23
C ．
83
D ．
43
10．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ，下列结论正确的是（ ）
A ．//MN 平面ABE
B ．//MN 平面ADE
C ．//MN 平面BDH
D ．//MN 平面CDE
11．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积
为（ ）
A ．
43 B ．83
C ．3
D ．4
12．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，
45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
14
B ．
24
C ．
34
D ．
12
二、填空题
13．已知直三棱柱111ABC A B C -，90CAB ∠=︒，1222AA AB AC ===，则直线1A B 与侧面11B C CB 所成角的正弦值是______.
14．已知ABC 三个顶点都在球O 的表面上，且1AC BC ==，2AB =，S 是球面上
异于A ､B ､C 的一点，且SA ⊥平面ABC ，若球O 的表面积为16π，则球心O 到平面
ABC 的距离为____________.
15．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD =
=⊥将其
沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的
外接球的球心到平面ACD '
的距离等于__________．
16．如图①，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E 是BC 的中点，将三角形ABE 沿
AE 翻折，使得平面ABE 和平面AECD 垂直，如图②，连接BD ，则异面直线BD 和AE 所成角的余弦值为______.
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若2PD =，3
APD BAD π
∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球
表面积为_________．
18．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足
PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________．
19．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 上的任意一点，有下面三个命题：①//PB 平面11CC D D ；②1BD AC ⊥；③1BD PC ⊥．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．
20．在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =将BCD 沿对角线BD 翻折，得到三棱锥
A BCD -，则该三棱锥外接球的表面积为________. 三、解答题
21．在如图所示几何体中，平面PAC ⊥平面ABC ，//PM BC ，PA PC =，1AC =，
22BC PM ==，5AB =．若该几何体左视图（侧视图）的面积为
34
．
（1）画出该几何体的主视图（正视图）并求其面积S ； （2）求出多面体PMABC 的体积V ．
22．如图，长方体ABCD A B C D ''''-由，12AB =，10BC =，6AA '=，过A D ''作长方体的截面A D EF ''使它成为正方形.
（1）求三棱柱AA F DD E ''-的外接球的表面积； （2）求 B A D EF V ''-.
23．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BCD ∠=，已知
2PB PD ==，6PA =，E 为PA 的中点.
（1）求证：PC BD ⊥；
（2）求二面角B PC E --的余弦值； （3）求三棱锥P BCE -的体积.
24．在三棱锥A BCD -中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，且BA BD =，平面
ABD ⊥平面ADC .
（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：BE CD ⊥.
25．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEB ⊥平面
ABCD ，4
EBA π
∠=
，2EB =
，F 为CE 上的点，BF CE ⊥.
（1）求证：BF ⊥平面ACE ； （2）求点D 到平面ACE 的距离.
26．在三棱锥P ABC -中，G 是底面ABC 的重心，D 是线段PC 上的点，且
2PD DC =.
（1）求证：DG//平面PAB ；
（2）若PAB △是以PB 为斜边的等腰直角三角形，求异面直线DG 与PB 所成角的余弦值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长
为2x ，表示出
AO OE ===
13OE CE ==x ，进而求出腰长. 【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，
取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面
ABC ，
由三视图可知AB AC AD ===45AEC ∠=，
设底面边长为2x ，则DE x =，则AE =
则在等腰直角三角形AOE 中，
AO OE ===
，
O 是底面中心，则133
OE CE ==
，
3
=
，解得x =
则1AO =，底面边长为
2=.
故选：B.
【点睛】
本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.
2．C
解析：C 【分析】
作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果. 【详解】
如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，
设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===， 所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，
因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，
在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，
所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ， 所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
3．A
解析：A 【分析】
将三棱锥体积用公式表示出来，结合均值不等式和2()a b c +=
a b =，进而得到c =
，带入体积公式求得2,a b c ===24S R π=求出外接球的表面积. 【详解】
解：2
11166()643
V abc ab ab a b ab =
=⋅⋅=
+，当且仅当a b =时取等号， 因为侧面PAB 与底面ABC 成45︒角，
则2
PC a c =
=，
21623
V a a ∴=
⨯=
2,a b c ∴===
所以2222410R a b c =++=， 故外接球的表面积为10π. 故选：A. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．D
解析：D
【分析】
先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可.
【详解】
如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球
球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122
ON AP ==，4AN =，故()224232R =+
=2441872S R πππ==⨯=.
故选:D.
【点睛】
求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法. 5．B
解析：B
【分析】
利用等体积法11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d .
【详解】
如图，利用等体积法，11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，
正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，故22,
5BD BE ED ===，如图，
2215232h ED BD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭11223622EBD S BD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离，即D 到平面11C CBB 的距离，为CD =2，
111212
EB C S =⨯⨯=， 由11C EBD D C EB V V --=得，1
161233d =
⨯⨯，故636d ==. 故选：B.
【点睛】
方法点睛：
空间中求点到平面的距离的常见方法：
（1）定义法：直接作垂线，求垂线段长； （2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离； （3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量a ，平面法向量n ，则a n
d n ⋅=.
6．C
解析：C
【分析】
在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积.
【详解】
根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P -ABCD （补形法） 且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4， 故该四棱锥的体积为1(64)4323
V =
⨯⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；
(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 7．A
解析：A
【分析】
由三视图可知原几何体是三棱锥，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅底面是等腰直角三角形，底为2AC =，高为1BE =，ABD BCD ≅是边长为2的等边三角形，计算四个三角形面积之和即可求解.
【详解】
由三视图可知原几何体是三棱锥：
底面ACB △是等腰直角三角形，底2AC =，高1BE =，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅，
由三视图知ACB △中，2AC =，ACB △是等腰直角三角形，所以2AB BC ==
ACD △是等腰直角三角形，2AD CD ==，2AC =，
222BD BE DE =+=，
所以等腰直角三角形ACB △的面积为
12112⨯⨯=， 等腰直角三角形ACD △的面积为
12112⨯⨯=， 等边ABD △的面积为
()233242⨯=， 等边BCD △的面积为()2
332⨯=， 所以该几何体的表面积是331123++
+=+， 故选：A. 8．C
解析：C
【分析】
将正三棱锥补成一个正方体，计算出正方体的棱长，可得出正方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得这个球的表面积.
【详解】
设该正三棱锥为A BCD -，将三棱锥A BCD -补成正方体AEBF GCHD -，如下图所示：
则正方体AEBF GCHD -的棱长为22222
⨯=，该正方体的体对角线长为23 所以，正三棱锥A BCD -的外接球直径为23R =3R =，
该球的表面积为2412S R ππ==.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 9．D
解析：D
【分析】
在BCD △中，利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤
，由三角形的面积公式可
得3
BCD S ≤，由二面角A BC D --的大小为60，可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.
【详解】
在BCD △中，由余弦定理可得
2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅ 因为222BC BD BC BD +≥，所以23CD BC BD ≥⋅， 所以163
BC BD ⋅≤，当且仅当BC BD =时等号成立，
1116
sin120223BCD S BC BD =⋅≤⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60， 所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==
所以114333
A BCD BCD V S h -=⋅≤=， 所以四面体ABCD 体积的最大值是
43
， 故选：D
【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值，再由二面角求出高的最大值.
10．C
解析：C
【分析】
根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，可以证明MN ‖BO ,利用BO 与平面ABE 的关系可以判定MN 与平面ABE 的关系，进而对选择支A
作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.
【详解】
根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，
易知ON与BM平行且相等，∴四边形ONMB为平行四边形，∴MN‖BO,
∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；
∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；
∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；
显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.
11．A
解析：A
【分析】
首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.
【详解】
-，
由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC
该棱锥的体积：11142223323V Sh ⎛⎫=
=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
. 故选：A.
【点睛】 方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 12．B
解析：B 【分析】
作出图形，设2CD =，AD l ⊥，2AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解.
【详解】
如下图所示：
设2CD =，AD l ⊥，2AB =CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ， 在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=
cos 452AC CD ==，
AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，
所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，
2AB AD ==，ABD ∴为等边三角形，则2BD =，
四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，
AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥，
AB AD A =，DE ∴⊥平面ABD ，
BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则2BE ==，
在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==，
所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角，
在ABE △中，AB =2AE BE ==，由余弦定理可得
222cos 2AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅.
因此，异面直线AB 与CD 故选：B.
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
二、填空题
13．【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案
【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为：【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的
【分析】
取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，证明1A D ⊥平面11B C CB ，可得1A BD ∠为直线1A B 与侧面11B C CB 所成的角，进而可得答案.
【详解】
取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，
直三棱柱中，1BB ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，
11BB A D ∴⊥，
又11111A B A C ==，111A D B C ∴⊥，
又1111B C BB B =，111,B C BB ⊂面11BB C C ，
1A D ∴⊥平面11B C CB ，
1A B ∴在平面11B C CB 上的射影为DB ，
故1A BD ∠为直线1A B 与侧面11B C CB 所成的角，
11Rt A B B 中，22211121125BB A B A B =+=+=
111Rt B A C 中，11122
12122B C A D ===， 1Rt A BD ∴中，1112
102sin 5
A D A BD A
B ∠=== 10 【点睛】
方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 14．【分析】根据题中的垂直关系确定球心再根据球的表面积公式计算再求点到平面的距离【详解】由并且平面平面且平面是直角三角形和的公共斜边取的中点根据直角三角形的性质可知所以点是三棱锥外接球的球心设则则三棱锥 解析：
142
【分析】
根据题中的垂直关系，确定球心O ，再根据球的表面积公式计算SA ，再求点O 到平面ABC 的距离.
【详解】
由222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥，
并且SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，SA BC ∴⊥，且AC SA A ⋂=
BC ∴⊥平面SAC ，BC SC ∴⊥，
SB ∴是直角三角形SBC 和SAB 的公共斜边，
取SB 的中点O ，根据直角三角形的性质可知OA OB OC OS ===，
所以点O 是三棱锥S ABC -外接球的球心，
设SA x =，则211222r SB x ==+， 则三棱锥S ABC -外接球的表面积2416S r ππ==，()21264
x +=，解得：14x =, 点O 到平面ABC 的距离11422
d SA ==.
故答案为：
142
【点睛】 方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径2222R a b c =++2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.（3）而本题类型，是两个直角三角形的公共斜边的中点是外接球的球心.
15．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案
【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到 解析：12
【分析】
取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案.
【详解】
取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，
因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD
'平面BCD BD =，
CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '， 因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，
因为1A B A D ''==，2BD =
222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，
又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '
，
故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，
又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.
设球心M 到平面ACD '
的距离为h ，
因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以1
1
23
3
A CD
A CD
S A B S
h '''=⨯，即12
h =
. 故答案为：12
. 【点睛】
本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理.
16．【分析】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角可结合原矩形求出然后由直角三角形得出再用余弦定理求得结论【详解】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角连接∵所以又平面平面平面平面平 6【分析】
取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，可结合原矩形求出,OD OF ，然后由直角三角形得出,BD BF ，再用余弦定理求得结论． 【详解】
取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，连接,OB OF ，OD ，
∵AB BE =，所以BO AE ⊥， 又平面ABE ⊥平面ECDA ，平面ABE 平面ECDA AE =，BO ⊂平面ABE ，
∴BO ⊥平面ECDA ，
而,OD OF ⊂平面ECDA ，所以BO OF ⊥，BO OD ⊥， 又∵90ABE ∠=︒，2AB BE ==，所以2BO =
，2AO EO ==，22AE =，
//DF AE ,//AD EF ，则ADFE 是平行四边形，4,22EF AD DF AE ====，
在原矩形中45BAE BEA ∠=∠=︒，则45,135DAE CEA ∠=︒∠=︒，
2222
2cos 4542242102
OD AD AO AD AO =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=， 2222
2cos135********
OF EF EO EF EO =+-⋅︒=++⨯⨯⨯=， 22212BD BO OD =+=，22228BF BO OF =+=，
在BDF 中，222
cos 2BD DF BF BDF BD DF +-∠=⋅6621222
==-
⨯⨯， 所以异面直线BD 和AE 所成角的余弦为6
． 故答案为：
66
.
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
17．【分析】根据棱锥的性质证明的中点就是三棱锥的外接球球心得出半径后
可求表面积【详解】取中点中点连接则因为底面所以平面是菱形则所以是的外心又底面平面所以所以到四点距离相等即为三棱锥的外接球球心又所以所以
解析：16π． 【分析】
根据棱锥的性质，证明PA 的中点就是三棱锥P AOD -的外接球球心，得出半径后可求表面积． 【详解】
取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，
因为PD ⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以
E 是AOD △的外心，
又PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心． 又2PD =，3
APD
π
∠=
，所以
24
cos
3
PA π
=
=，所以2MA MP ==，
所以三棱锥P AOD -的外接球表面积为24216S ππ=⨯=． 故答案为：16π．
【点睛】
结论点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是求出外接球球心．三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．
18．【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想
解析：163
π
【分析】
P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则
()2
2211R CO R PO =+-，解得答案.
【详解】
PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，
故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB =
=，113333
PO BO ==， 设球半径为R ，则()2
2211R CO R PO =+-，解得233
R =，故2
1643S R ππ==. 故答案为：
163
π
.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
19．①②③【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错【详解】①如下图所示：因为平面平面平面所以平面故①正确；②连接如下图所示：因为平面所以又因为且所以平面又因为
解析：①②③ 【分析】
①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错. 【详解】 ①如下图所示：
因为平面11//ABB A 平面11CC D D ，BP ⊂平面11ABB A ，所以//PB 平面11CC D D ，故①正确；
②连接,AC BD ，如下图所示：
因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AC ⊥， 又因为AC BD ⊥且1
DD BD D =，所以AC ⊥平面1DBD ，
又因为1BD ⊂平面1DBD ，所以1BD AC ⊥，故②正确； ③连接11,,,AC PC B C BC ，如下图所示：
因为11D C ⊥平面11BCC B ，所以11D C ⊥1B C ，又因为11BC B C ⊥，且
1111D C BC C ⋂=，
所以1B C ⊥平面11BD C ，又1BD ⊂平面11BD C ，所以11B C BD ⊥，
由②的证明可知1BD AC ⊥，且1AC B C C ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ， 又因为PC ⊂平面1AB C ，所以1BD PC ⊥，故③正确， 故答案为：①②③. 【点睛】
本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断，涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力，难度一般.
20．【分析】作出图示求得外接球的半径由球的表面积可求得答案【详解】作出图示因为在矩形ABCD 中则连接交于点则设该三棱锥外接球的半径为则所以该三棱锥外接球的表面积故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的 解析：4π
【分析】
作出图示，求得外接球的半径，由球的表面积可求得答案. 【详解】
作出图示，因为在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.则2==AC BD ，连接AC BD
，交于点O ，
则1AO BO CO DO ====，设该三棱锥外接球的半径为R ，则1R =， 所以该三棱锥外接球的表面积244S R ππ==， 故答案为：4π.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的表面积计算，关键在于求得外接球的球心位置和半径，属于中档题.
三、解答题
21．（1）主视图（正视图）见解析，33
S =；（2）3V =
. 【分析】
（1）根据侧视图计算出PAC △的边AC 上的高，进而可作出几何体PMABC 的主视图，利用梯形的面积公式可求得几何体的主视图的面积；
（2）分别取AC 、PC 的中点O 、N ，连接PO 、AN ，推导出AN ⊥平面BCPM ，计算出AN 和梯形BCPM 的面积，利用锥体的体积公式可求得多面体PMABC 的体积V . 【详解】
（1）在几何体PMABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，
设PAC △的边AC 上的高为h ，则该几何体的侧视图的面积为
13
24
AC h ⋅=
，得3
2
h =
， 又因为22BC PM ==，所以，该几何体的主视图（正视图）如下图所示：
由图可知，该几何体的主视图为直角梯形，其面积为()123
33
22
S +⨯
=
=
⨯； （2）分别取AC 、PC 的中点O 、N ，连接PO 、AN ，如下图所示：
PA PC =，O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，
由（1）可知，3
2
PO h ==
，1122AO CO AC ===，
由勾股定理可得221PC PA AO PO ==
+=，所以，PAC △为等边三角形，
N 为PC 的中点，AN PC ∴⊥，且3
sin 602
AN AC ==
. 1AC =，2BC =，5AB =222AC BC AB ∴+=，BC AC ∴⊥，
平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC
平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，
BC ∴⊥平面PAC ，
AN 、PC ⊂平面PAC ，BC AN ∴⊥，BC PC ⊥， PC BC C =，AN ∴⊥平面BCPM ， //PM BC ，PM PC ∴⊥，
所以，梯形BCPM 的面积为()32
2
BCPM BC PM PC S +⋅==梯形，
因此，11333
332BCPM V S AN =
⋅=⨯=
梯形.
【点睛】
方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：
（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
22．（1）200π（2）80 【分析】
（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；
（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥A BEF V '-即可. 【详解】
（1）因为截面A D EF ''为正方形， 所以10A F BC A D '===''，
在Rt A AF '△中，222AA AF A F ''+=， 即222610AF +=，解得8AF =，
在直三棱柱AA F DD E ''-中，底面Rt A AF '△的外接圆半径为11
10522
A F '=⨯=， 直三棱柱AA F DD E ''-的外接球球心到面A AF '的距离为1
1052
⨯=， 设三棱柱的外接球半径为R ，
则R =
24200S R ππ∴==
（2）因为22B A EF A B B A D EF EF V V V ''-'--'==， 在长方体中AA '⊥平面BEF ， 所以三棱锥A BEF '-的高为6AA '=，
所以B A D EF V ''-111226332BEF
S A A EF BF ⎛⎫
'=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△ 11
210468032=⨯⨯⨯⨯⨯=.
【点睛】
关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.
23．（1）证明见解析；（2）5
；（3）12.
【分析】
（1）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，推导出BD ⊥平面PAC ，进而可得出。