6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(教学设计)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)

6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(第1课时）教学设计
一、课时教学内容
分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
二、课时教学目标
1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理;
2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.
3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
三、教学重点、难点
1.重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单
的实际问题.
2.难点：正确地理解“完成一件事”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分
“分类”或“分步”.
四、教学过程设计
环节一创设情境，引入课题
汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成．随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容．那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢?这就需要“数(shǔ)出”某种汽车号牌序号的组成方案下所有可
能的序号数，这就是计数．
日常生活、生产中类似的问题大量存在．例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法．但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗?
在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法．这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理．这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式一排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题．作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理．
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法．但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高．能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢?下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数计数方法．
问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?
+=（因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出261036种不同的号码．）
问题2：从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘汽车.一天中，火车4班，汽车8班.乘这些交通工具从甲地到乙地，有多少种不同方法？
（从甲地到乙地，乘火车有4班，乘汽车有8班，所以不同方法的种数为4 + 8 = 12）
探究：你能说一说这个问题的特征吗?
首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个
座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示．因为英文字母与阿拉伯数字互
不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这
两类号码数相加就得到号码的总数．
上述计数过程的基本环节是：
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）分别计算各类号码的个数；
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数．
教师提出问题，学生思考、回答.
【设计意图】通过设置问题情境，引出分类计数问题，激发学生的学习兴趣.
环节二观察分析，感知概念
问题3：你能概括一下上述问题的共同特征吗？
【师生活动】学生回答，教师注意引导学生概括到“分类”和“加法”上.可以由学生叙述分类加法计数原理，教师适当补充.
归纳概括分类加法计数原理：
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有
=+
N m n
种不同的方法．
教师对原理进行解释，特别注意强调明确要完成的“一件事”的重要性.
问题1中要完成的一件事是指“给一个座位编号”，
问题2中要完成的一件事是指“从甲地到乙地”.
特别注意：完成一件事都需要分类完成；每一类中的每一种方法都能完成这件事，两类不同的方案中的方法互不相同.
设计意图：概括分类计数问题的特征，得出分类加法计数原理.
【师生活动】学生举例，教师适当评价，特别注意让学生思考回答要完成的
“一件事”是什么.
【设计意图】使学生辨析和理解分类加法计数原理.
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些
自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1．
表6.1-1
探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有
m种不同的方法，在
1
第2类方案中有
m种不同的方法，在第3类方案中有3m种不同的方法，那么完成2
这件事共有多少种不同的方法?
（完成这件事共有N = 1m+2m+3m种不同的方法）
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应
当如何计数呢?
（如果完成一件事情有n类不同方案，在第1类方案中有1m种不同的方法，在第2类方案中有机2m种不同的方法……在第n类方案中有机“种不同的方法，那
么完成这件事共有N = 1m+2m+3m+...+
m种不同的方法）
n
让学生自主探究，得出答案.
【设计意图】推广分类加法计数原理，加深对分类加法计数原理的理解与认识.巩固概念，学会用分类加法计数原理解答简单问题.
思考：
用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以
A，2A，…，9A，1B，2B，…
1
的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?
【师生活动】教师引导学生分析、比较，得出：完成问题1的方法可以分类，用26个英文字母中的任意一个或10 个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码. 但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.需要分步才能完成.
【设计意图】比较分类计数问题与分步计数问题，渗透分步乘法计数原理.
这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同．在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤．用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码．
图6.1-1是解决计数问题常用的“树状图”．你能用树状图列出所有可能的号码
也可以这样思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6954
⨯=种不同的号码．【师生活动】学生列出号码，教师注意在“有规律''"有序”列举上进行引导，可引出“树状图”法.教师和学生一起列出第一个树状图，让学生列出其他的树状图. 问题4：从列号码的过程中你发现了什么规律？
【师生活动】教师引导学生概括出“任意一个英文字母都能与9个数字中的任意一个组成一个号码”.
可以这样思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此不同号码的种数为6×9 = 54.
补充问题:从甲地到乙地，需要经过丙地，从甲地到丙地有4条路，从丙地到乙地有8条路.从甲地到乙地，有多少条不同的路线？
（从甲地到乙地，不同路线的条数为4×8 = 32）
环节四辨析理解深化概念
探究：你能说一说这个问题的特征吗?
上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成．因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每
一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的．
【师生活动】学生回答，教师注意引导学生概括到“分步”和“乘法”上.可以由
学生叙述分步乘法计数原理，教师适当补充.
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的
方法，那么完成这件事共有
=⨯
N m n
种不同的方法．
【设计意图】概括分步计数问题的特征，得出分步乘法计数原理.
问题5：你能举出生活中的一些分步计数问题吗？
【师生活动】学生举例，教师适当评价.特别注意让学生思考回答“一件事”是
什么.
【设计意图】使学生辨析和理解分步乘法计数原理.
例2某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参
加比赛，共有多少种不同的选法?
探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有
m种不同的方法，做第2
1
步有
m种不同的方法，做第3步有3m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种2
不同的方法?
（完成这件事共有N = m1×m2×m3种不同的方法）
如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步都有若于种不同的方法，那么应当如何计数呢?
【设计意图】推广分步乘法计数原理，加深对此原理的理解与认识.
环节五概念应用，巩固内化
例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法?
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法?
教师引导学生分析：
对于第（1）小题，要完成的一件事是什么？完成这件事需要分类还是分步？
（要完成的一件事是“从书架上取1本书”，需要分类完成）
对于第（2）小题，要完成的一件事是什么？完成这件事需要分类还是分步？
（要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3 层各取1本书”，需要分步完成）
要求学生自己完成解答过程.
完整解答过程如下：
步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，
有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数
原理，不同取法的种数为
N=⨯⨯=．
43224
【师生活动】你能从自己的生活经历中举出两个计数原理的例子吗？
学生举例.教师针对学生举出的例子，要求学生回答要完成的“一件事”是什么，为什么可以用相应的原理来计数等.
【设计意图】通过举例检查学生对概念的理解情况.
环节六归纳总结,反思提升
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1.本节课学习的概念有哪些？
2.你能从自己的生活经历中举出两个计数原理的例子吗？
学生举例.教师针对学生举出的例子，要求学生回答要完成的“一件事”是什么，为什么可以用相应的原理来计数等.
【设计意图】通过举例检查学生对概念的理解情况.
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教材第5〜6页练习第1,3题.
练习（第5页）
1．填空题
（1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数
是；
【答案】9
【解析】由题意，选择第1种方法来完成工作，共有5种选法；
选择第2种方法完成工作，共有4种选法；所以符合题意得选法共有549
+=种．故答案为：9．
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是．
【解析】因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，
所以从A村经B村去C村，共有326
⨯=条不同路线．故答案为：6．
2．在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个
专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410
+=．这种算法有什么问题?
2．【解析】这种算法不正确．因为要确定的是这名同学的专业选择，并不需要考虑学校的差异，所以应当是6419
+-=(种)可能的专业选择．
3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?
（2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法?
3．【解析】（1）从书架上任取1本书，有两类方法：
第1类方法是从上层取1本数学书，有6种取法；
第2类方法是从下层取1本语文书，有5种取法．
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是6511
N=+=．
（2）从书架的上、下层各取1本书，可以分成两个步骤完成：
第1步，从上层取1本数学书，有6种取法；
第2步，从下层取1本语文书，有5种取法．
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是6530
N=⨯=．
4．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．（1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?
（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动．有多少种不同的选法? 4．【答案】（1）12；（2）60．
【解析】从高一年级的学生中选取1名，有3种选法；从高二年级的学生中选取1名，有5种选法；从高三年级的学生中选取1名，有4种选法；
（1）从三个年级的学生中任选1人参加活动，共有35412
++=种不同选法；（2）从三个年级的学生中各选1人参加活动，共有35460
⨯⨯=种不同选法．。