措勤县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

措勤县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x
2．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）B． D．上是减函数，那么b+c（）
A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣
3f x[14]f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．
）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知表示数列的前项和，若对任意的满足，且，则（）A．B．
C．D．
5．“x2﹣4x＜0”的一个充分不必要条件为（）
A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＞0 D．x＜4
6． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ） A ．2bsinA B ．2bcosA
C ．2bsinB
D ．2bcosB
7． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公比q=2，S k+2﹣S k =48，则k 等于（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
8． 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm ）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为
（ ）
A ．20
B ．25
C ．22.5
D ．22.75
9． 在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22
ABC AA BC BAC π
=∠=，，,此三棱
柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A ．
323π B ．16π C.253π D ．312
π
10．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312
11．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖
的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）
A ．最多可以购买4份一等奖奖品
B ．最多可以购买16份二等奖奖品
C ．购买奖品至少要花费100元
D ．共有20种不同的购买奖品方案 12．如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A ．（∁U
B ）∩A B ．（∁U A ）∩B
C ．∁U （A ∩B ）
D ．∁U （A ∪B ）
二、填空题
13．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．
14
．在数列
中，则实数a= ，b= ．
15．若函数f （x ）=log a x （其中a 为常数，且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），则f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）的解集是 ．
16．i
是虚数单位，化简： = ．
17．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1i
a =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大
值为 .
【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力. 18
．S
n =
+
+…+
= ．
三、解答题
19
．已知向量=
（
，1
），=
（cos ，
），记f （
x ）=
．
（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数
y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，讨论函数y=g （x
）﹣k 在
的零点个数．
20．（本小题满分12分）某市拟定2016年城市建设,,A B C 三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对,,A B C 三项重点工程竞标成功的概率分别为a ，b ，
14()a b >，已知三项工程都竞标成功的概率为124，至少有一项工程竞标成功的概率为3
4
． （1）求a 与b 的值；
（2）公司准备对该公司参加,,A B C 三个项目的竞标团队进行奖励，A 项目竞标成功奖励2万元，B 项目竞标成功奖励4万元，C 项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．
【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．
21．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，
，x2，x3的值，并写出函数f（x）的解析式；
1
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上
的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量与夹角θ的大小．
22．在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=．
（1）若cos∠ADC=，求AB的值；
（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？
23．（本小题满分12分）设f （x ）＝－x 2＋ax ＋a 2ln x （a ≠0）． （1）讨论f （x ）的单调性；
（2）是否存在a ＞0，使f （x ）∈[e －1，e 2]对于x ∈[1，e]时恒成立，若存在求出a 的值，若不存在说明理由．
24．（本题满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，E 是棱CD 上的一点，P 是棱1AA 上的一点.
（1）求证：⊥1AD 平面D B A 11； （2）求证：11AD E B ⊥；
（3）若E 是棱CD 的中点，P 是棱1AA 的中点，求证：//DP 平面AE B 1.
措勤县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，
|PF1|=m，|QF1|=n，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①
由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，
|MF2|=|NF1|=n，
即有m﹣1=n，②
由①②解得a=1，
由|F1F2|=4，则c=2，
b==，
由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
即有渐近线方程为y=x．
故选D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．
2．【答案】B
【解析】解：由f（x）在上是减函数，知
f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈，
则
⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣．
故选B．
3．【答案】C
【解析】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：
因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，
所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．
4．【答案】C
【解析】
令得，所以，即，所以是以1为公差的等差数列，首项为，
所以，故选C
答案：C
5．【答案】B
【解析】解：不等式x2﹣4x＜0整理，得x（x﹣4）＜0
∴不等式的解集为A={x|0＜x＜4}，
因此，不等式x2﹣4x＜0成立的一个充分不必要条件，
对应的x范围应该是集合A的真子集．
写出一个使不等式x2﹣4x＜0成立的充分不必要条件可以是：0＜x＜2，
故选：B．
6．【答案】D
【解析】解：∵A=2B，
∴sinA=sin2B，又sin2B=2sinBcosB，
∴sinA=2sinBcosB，
根据正弦定理==2R得：
sinA=，sinB=，
代入sinA=2sinBcosB得：a=2bcosB．
故选D
7．【答案】D
【解析】解：由题意，S k+2﹣S k=，
即3×2k=48，2k=16，
∴k=4．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础题．
8．【答案】C
【解析】解：根据频率分布直方图，得；
∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，
0.3+0.08×5=0.7＞0.5；
∴中位数应在20～25内，
设中位数为x，则
0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，
解得x=22.5；
∴这批产品的中位数是22.5．
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．
9．【答案】A
【解析】
考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
10．【答案】A
【解析】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），
该同学通过测试的概率为=0.648．
故选：A．
11．【答案】D
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，
则根据题意有：，作可行域为：
A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。

其中，x最大为4，y最大为16．
最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。

所以A、B、C正确，D错误。

故答案为：D
12．【答案】A
【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，
∴对应的集合表示为A∩∁U B．
故选：A．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解析：可行域如图，当直线y＝－3x＋z＋m与直线y＝－3x平行，且在y轴上的截距最小时，z才能
取最小值，此时l经过直线2x－y＋2＝0与x－2y＋1＝0的交点A（－1，0），z min＝3×（－1）＋0＋m＝－3＋m＝1，
∴m＝4.
答案：4
14．【答案】a=，b=．
【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，
a﹣b=26，
由3，8，a+b，24，35知，
a+b=15，
解得，a=，b=；
故答案为：，．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．
15．【答案】（1，2）．
【解析】解：∵f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），
∴0＜a＜1，x＞0，
若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），
则，
解得：1＜x＜2，
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
16．【答案】﹣1+2i．
【解析】解： =
故答案为：﹣1+2i ．
17．【答案】2，21+. 【解析】∵22
2
12112221012a a a a a a +=+⋅+=++=，∴122a a +=，
而2
2
2
123
121233123()2()2221cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅⋅<+>+≤+，
∴12321a a a ++≤，当且仅当12a a +与3a 1.
18．【答案】
【解析】解：∵ ==（
﹣
），
∴S n =
+
+…+
= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣
）=（1﹣
）
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵向量=（，1），=（cos ，），记f （x ）=．
∴f （x ）=cos +=
sin +cos +=sin （+
）+，
∴最小正周期T==4π，
2k π﹣≤+
≤2k π+
，
则4k π﹣
≤x ≤4k π+
，k ∈Z ．
故函数f （x ）的单调递增区间是[4k π﹣，4k π+
]，k ∈Z ；
（2））∵将函数y=f （x ）=sin （+
）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为
：y=g （x ）
=sin[（x
﹣
+）
]+ =sin
（
﹣）
+，
∴则y=g （x ）﹣k=sin （x
﹣）
+﹣k ，
∵x ∈[0
，
]
，可得：﹣
≤x
﹣≤π，
∴﹣≤sin
（x ﹣）≤1， ∴0≤sin
（x ﹣
）
+
≤，
∴若函数y=g （x ）﹣k 在[0
，]上有零点，则函数y=g （x ）的图象与直线y=k 在[0
，
]上有交点，
∴实数k 的取值范围是[0
，]．
∴当k ＜0或k
＞时，函数y=g （x ）﹣k
在的零点个数是0；
当0≤k ＜1时，函数y=g （x ）﹣k
在的零点个数是2；
当k=0或
k=时，函数y=g （x ）﹣k
在的零点个数是1．
【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零
点的判断方法，考查计算能力．
20．【答案】
【解析】（1）由题意，得1
1424131(1)(1)(1)44ab a b ⎧=⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩，因为a b >，解得1213a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
．…………………4分
（Ⅱ）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量X ， 则X 的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…………5分
而4
1
433221)0(=⨯⨯=
=X P ；1231(2)2344P X ==⨯⨯=；
1131(4)2348P X ==⨯⨯=； 1211135
(6)23423424P X ==⨯⨯+⨯⨯=；
1211(8)23412P X ==⨯⨯=； 1111
(10)23424P X ==⨯⨯=；
1111
(12)23424
P X ==⨯⨯=．…………………9分
所以X 的分布列为：
于是，11()012345644824122424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12
=．……………12分
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由条件知，，
，
∴，
，
∴
，
．
（Ⅱ）∵函数f （x ）的图象向右平移个单位得到函数g （x ）的图象，
∴
，
∵函数g （x ）在区间[0，m]（m ∈（3，4））上的图象的最高点和最低点分别为M ，N ，
∴最高点为，最低点为
，∴，
，
∴
，又0≤θ≤π，∴
．
【点评】本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，向量夹角公式的应用，属于基本知识的考查．
22．【答案】
【解析】（本小题满分12分） 解：（1）∵，
∴，
∴…2分（注：先算∴sin ∠ADC 给1分） ∵
，…3分
∴
，…5分
（2）∵∠BAD=θ， ∴
， (6)
由正弦定理有，…7分
∴，…8分
∴，…10分
=，…11分
当，即时f（θ）取到最大值9．…12分
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）＝－2x＋a＋a 2
x
＝－2（x＋a
2
）（x－a）
x.
①当a＜0时，由f′（x）＜0得x＞－a
2
，
由f′（x）＞0得0＜x＜－a
2.
此时f（x）在（0，－a
2
）上单调递增，
在（－a
2
，＋∞）上单调递减；
②当a＞0时，由f′（x）＜0得x＞a，
由f′（x）＞0得0＜x＜a，
此时f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减．（2）假设存在满足条件的实数a，
∵x∈[1，e]时，f（x）∈[e－1，e2]，
∴f（1）＝－1＋a≥e－1，即a≥e，①
由（1）知f（x）在（0，a）上单调递增，
∴f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（e）＝－e2＋a e＋e2≤e2，即a≤e，②
由①②可得a＝e，
故存在a＝e，满足条件．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.。