2019年云南省名校高三联考质量监测 文科数学(参考答案及评分标准)

文科数学试题参考答案与评分标准
三、解答题（本大题共6个小题，共70分）
(17) （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
2sin sin cos sin cos A C C
B B
-=
，∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=， 即2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，∴2sin cos sin()A B B C =+，∴2sin cos sin A B A =。

又
0A π<<，∴sin 0A ≠，∴2cos 1B =，即1
cos 2
B =，又
0B π<<，∴3
B π
=。

（4分）
∴由正弦定理有：
2sin b
R B
=，于是2sin 3b R B ===。

（6分） （Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得229a c ac +-=.
又
22
2a c ac ac ac ac +-≥-=，∴9ac ≤，当且仅当a c =时取“=”.
∴1sin 92444ABC S ac B ac ∆=
=≤=，即ABC ∆面积的最大值为4
，（10分） 此时229
a c ac a c ⎧+-=⎨=⎩
，解得3a c ==，又
3
B π
=
，∴ABC ∆为等边三角形。

（12分）
(18) （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由ABCD 是矩形，得AD ∥BC ，又因为AD ⊥平面ABE ，所以BC ⊥平
面ABE ，所以AE ⊥BC ，又因为AE ⊥BE ，所以AE ⊥平面BCE 。

（4分）
（Ⅱ）因为BE=BC ，BF ⊥CE ，所以CF=FE 。

由ABCD 是矩形，得CG=GA ，所以GF ∥AE ，又因为AE ⊥平面BCE ，所以GF ⊥平面BCE ，所以GF 是三棱锥G-BCF 的高。

（6分）
在等腰Rt △BCE 中，△BCF 的面积为S △BCF =
12S △BCE =1
4
BC ×BE=1，（7分）
BC BE
BF
CE
⨯
====（8分）
在Rt△ABE中，
AB==。

（9分）
在Rt△ABD
中，DB=（10分）
在Rt△BGF
中，1
GF===。

（11分）
所以三棱锥C GBF
-的体积为V C-GBF=V G-BCF=
1
3
S△BCF×GF=
1
3
×1×1=
1
3。

（12分）
(19) （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）根据题意，()
S x的表达式为{4100,100300
200,300
0,0100
()
x x
x
x
S x
-<≤
>
≤≤
=。

（4分）（Ⅱ）根据题意，抽取的样本经济损失S大于500元且不超过700元的空气质量指数API的检测数据在(150,200]上，而在此区间上的频率为f=
303
10010
=，所以可以估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过700元的概率为P=
3
10。

（8分）
（Ⅲ）根据题意，22
⨯列联表为：
（10分）
因为
2
2
100(227863)
4.575 3.841
30708515
K
⨯-⨯
=≈>
⨯⨯⨯
，
所以可以判断有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关。

（12分）
(20)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵点)0,1
(-
F为椭圆的一个焦点，∴1
=
c，又3
2=
b，∴4
2
2
2=
+
=c
b
a，
∴椭圆方程为1
3
4
2
2
=
+
y
x。

（4分）
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，直线方程为1
-
=
x，此时)
2
3
,1
(-
D，)
2
3
,1
(-
-
C，ABD
∆与ABC
∆的
面积相等，所以0||21=-S S 。

（6分）
当直线l 斜率存在时，设直线方程为)1(+=x k y (0≠k )，设),(11y x C ，),(22y x D 显然21,y y 异号.
由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+)1(1342
2x k y y x ，得01248)43(2
222=-+++k x k x k ，显然0>∆，方程有实根， 且2
221438k k x x +-=+，22214312
4k k x x +-=，此时
2
121212122143|
|12|2)(|2|)1()1(|2||2||||||2||k
k k x x k x k x k y y y y S S +=
++=+++=+=-=-，（10分）由0≠k 可得
3||4|
|3212
||4||31243||122
=⋅≤+=+k k k k k k ，当且仅当23±=k 时等号成立。

所以||21S S -的最大值为3。

（12分） (21) （本小题满分12分）
（Ⅰ）解：因为
222
222()(log )2log (log )f x x a x b x a b a =-+=-+-.
又因为14x =，min 1y =-，所以221
log ,
41,
a b a ⎧
=⎪⎨
⎪-=-⎩
所以2,3.a b =-⎧⎨=⎩ （4分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得2
22()(log )+4log 3f x x x =+，x>0，设t=log 2x ，则y=t 2+4t+3，t ∈R 。

因为t=log 2x 在（0，+∞）上是增函数，而y=t 2
+4t+3在（-∞，-2）上是减函数，在（-2，+∞）上是增函
数，又因为t<-2时，0<x<
14，t>-2时，x>1
4
， 所以f(x)在1(0,)4上是减函数，在（1
4
，+∞）上是增函数. （8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，f(x)在12(,)88上是减函数，此时1()()8f x f <=0，在23
(,)88
上是增函数，
此时22222333
()()(log )+4log 3log 3(log 32)0888f x f <=+=-<，
所以当13
(,)88
x ∈时，()0f x <.（12分）
（22）(本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由曲线C ：2π
4cos()103
ρρθ---=，得它的直角坐标方程为
x 2+y 2
y-1=0，即
22(1)(
5x y -+=。

（5分）
（Ⅱ）将cos sin x t y t αα
=⎧
⎪⎨
⎪⎩代入圆的方程，得2
2
(cos 1)(sin )5t t αα-+=，化简得2
2cos 40t t α--=。

设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、,则12
122cos 4t t t t α+=⎧⎨=-⎩，
所以12||||AB t t =-== 所以2
4cos
2α=
，即cos α=，所以π3π44
αα==或。

（10分） （23）(本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）因为(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a －b) (a 2－b 2)= (a ＋b)(a －b)2
. 又因为a ，b 都是正数，所以a ＋b>0.又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.
所以(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. （5分）
（Ⅱ）因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc ， ① 同理b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c ， ② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2. ③ 所以①+②+③，得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，
从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0，
所以a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c
≥abc . （10分）。