第五章第3课时知能演练轻松闯关

一、选择题
1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S
4S 2＝( )
A ．5
B ．8
C ．－8
D ．15
解析：选A.∵8a 2－a 5＝0，
∴8a 1q ＝a 1q 4，∴q 3＝8，∴q ＝2，
∴S 4S 2＝1－q 4
1－q
2＝1＋q 2＝5. 2.(2012·高考安徽卷)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10
＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：选B.∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.
又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.故选B. 3.(2012·高考课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 解析：选D.法一：由题意得
⎩
⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6
＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9
＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2a 1＝1或⎩⎪
⎨⎪⎧q 3＝－1
2，a 1＝－8，
∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.
法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2a 7＝4或⎩
⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2a 1＝1或⎩⎪
⎨⎪⎧q 3＝－1
2，
a 1＝－8，
∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 4.(2013·威海模拟)在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝2，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．14
解析：选C.由题意知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列．
∴a 5＋a 6＝2×2＝4，a 7＋a 8＝4×2＝8. ∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝4＋8＝12. 5.(2013·太原调研)若数列{a n }满足a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，则以下命题正确的是( ) ①{a 2n }是等比数列；②{1
a n }是等比数列；③{lg a n }是等差数列；④{lg a 2n }是等差数列． A ．①③ B ．③④ C ．①②③④
D ．②③④
解析：选C.∵a n ＝q n (q >0，n ∈N *)， ∴{a n }是等比数列，
因此{a 2n }，{1
a n
}是等比数列，{lg a n }，{lg a 2n }是等差数列． 二、填空题 6.(2012·高考辽宁卷)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________．
解析：a 25＝a 10
＞0，根据已知条件得2⎝⎛⎭⎫1q ＋q ＝5，解得q ＝2.
所以a 21q 8＝a 1q 9，所以a 1＝2，所以a n ＝2n
. 答案：2n
7.(2013·杭州调研)已知等比数列{a n }中，a 2＝12，a 3＝14，a k ＝1
64，则k ＝__________．
解析：设公比为q . ∵a 2＝12，a 3＝1
4
，
∴q ＝a 3a 2＝12，a k ＝⎝⎛⎭⎫12k －1＝164
， 解得k ＝7. 答案：7
8.在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．
解析：n ≥2时，∵a n － 2 a n －1＝0，∴a n ＝2a n －1，
∴q ＝2.∴S n ＝2×（1－2n ）1－2
＝2n ＋1
－2.
答案：2n ＋
1－2 三、解答题
9.公差不为零的等差数列{a n }中，a 3＝7，又a 2，a 4，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)由数列{a n }为公差不为零的等差数列， 设其公差为d ，且d ≠0. ∵a 2，a 4，a 9成等比数列，
∴a 24＝a 2·a 9，则(a 1＋3d )2
＝(a 1＋d )(a 1＋8d )， 即d 2＝3a 1d ，∵d ≠0， ∴d ＝3a 1.
∵a 3＝7，∴a 1＋2d ＝7，
∴a 1＝1，d ＝3，∴a n ＝3n －2.
(2)由(1)知b n ＝23n －
2， ∵b n ＋1b n ＝23（n ＋1）－
22
3n －2＝8， ∴{b n }是等比数列，公比为8，首项b 1＝2， ∴S n ＝2（8n －1）7
.
10.(2013·合肥模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N *.
(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列；
(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . 解：(1)∵点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，
∴a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1，(n ＞1，且n ∈N *)， a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ， ∴a n ＋1＝4a n ，n ＞1.
又∵a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1，
∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列． (2)在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n ，
b n ＝log 4a n ＋1＝n ，
c n ＝a n ＋b n ＝4n －
1＋n ，
T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －
1＋n )
＝(1＋4＋42
＋…＋4
n －1
)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋（1＋n ）n
2
.
一、选择题
1.若数列{a n }满足a 2n ＋
1a 2n
＝p (p 为正常数，n ∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”．甲：数列
{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则( )
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的充要条件
C ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：选C.乙⇒甲，但甲乙，如数列2，2，－2，－2，－2，是等方比数列，但
不是等比数列．
2.(2013·福州模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －
1－16，则x 的值为( )
A.13 B ．－1
3
C.12
D ．－12
解析：选C.当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －1
6
，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(x ·3n －1－16)－(x ·3n －2－16
)＝x ·(3n －1－3n －2)＝2x ·3n －
2，
∵{a n }是等比数列，
∴a 1＝2x ·32－
23＝23x ＝x －16，∴x ＝12
.
二、填空题
3.等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列{1
a n
}的前n 项之和S n 为
________．
解析：若q ≠1，则S ＝1－q n
1－q ，
S n ＝1－⎝⎛⎭
⎫1q n
1－
1q
＝1
q n －1·q n －1q －1＝S
q n －1.
当q ＝1时，S n ＝n ＝S 也适合此等式，∴S n ＝S
q n －1.
答案：
S
q
n －1
4.已知函数f (x )＝2x ＋3，数列{a n }满足：a 1＝1且a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则该数列的通项
公式a n ＝__________．
解析：由题意知a n ＋1＝2a n ＋3， ∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，
∴数列{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，以2为公比的等比数列．∴a n ＋3＝4×2n －1＝2n
＋
1
，∴a n ＝2n ＋1－3.
答案：2n ＋
1－3 三、解答题 5.(2013·济宁调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)数列{a n }中是否存在连续三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三项；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由S n ＝2a n －n 及S n ＋1＝2a n ＋1－(n ＋1)⇒a n ＋1＝2a n ＋1. 又∵a 1＝2a 1－1， ∴a 1＝1，a 1＋1≠0，
∴
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝2. ∴{a n ＋1}为等比数列．
(2)由(1)知，a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －
1， 故a n ＝2n －1，n ∈N *.
(3)假设存在k ∈N *，使得a k ，a k ＋1，a k ＋2成等差数列， 则2a k ＋1＝a k ＋a k ＋2，
即2(2k ＋1－1)＝(2k －1)＋(2k ＋
2－1)⇒2k ＝0. 因k ∈N *，所以2k ≠0，
∴不存在{a n }中的连续三项使得它们可以构成等差数列．。