D18连续性间断点65988

x0
x0
x
0
又f (0) 0
f (x)在 x 0 连续
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函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
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二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一, 函数 f (x) 在点 不连续 :
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(4)
x ,
y
f
(x)
1 2
,
x 1 x 1
y
1
显然 lim f (x) 1 f (1)
1 2
x1
O
x 1为其可去间断点 .
(5)
y
f
(x)
x 1 0
, ,
x0 x0
x + 1 , x 0
f (0 ) 1,
f (0+ ) 1
x 0 为其跳跃间断点 .
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(1) 函数 在 无定义 ;
(2) 函数
在 虽有定义 , 但
不存在;
(3) 函数 在 虽有定义 , 且
lim f (x) f (x0)
x x0
这样的点 称为间断点 .
存在 , 但
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间断点分类:
第一类间断点: 及
均存在 ,
若 若 第二类间断点:
称 x0为可去间断点（. 演示 ） 称 x0 为跳跃间断点（.演示 ）
连续函数.
提示: f (0 ) 0 , f (0+ ) f (0) a
2. P65 题 3 , *8
作业
P65 4 ; 5
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感谢您的欣赏！
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x0+
x0+
lim | x | lim x 0
x0
x0
lim | x | 0 x0
y x0 | x | x0 0
y y=|x|
O
x
y = | x | 在点 x = 0 处连续.
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1 , x 0
(2). f ( x) sgn( x) 0 , x 0;
1 , x 0
提示:
lim
x x0
f
(x)
f
(x0)
e >0 d >0 当|xx0|<d 有|f(x)f(x0)|<e
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❖函数的连续性定义
设函数 yf(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果
lim y0
x0
或 lim x x0
f
(x)
f
(x0)
那么就称函数 yf(x) 在点x0处连续
证明：
lim sgn x lim 1 1

x0+
x0+
lim sgn x lim (1) 1
•
x0
x0
sgn0 0
故符号函数 y = sgnx 在点 x = 0 处不连续.
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(3).
f
(
x)
x2
sin
1 x
,x0
0 ,
x0
证明：
lim f ( x) lim x2 sin 1
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例1 证明函数
在
内连续 .
证: x (, + )
y sin(x + x) sin x
y
2
sin
x
2
cos(
x
+
x
2
)
x x 0 0
即
这说明
在
内连续 .
同样可证: 函数
在
内连续 .
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例2. 讨论函数在 x = 0 处的连续性
(1). f ( x) x ;
证明： lim | x | lim x 0
•左连续与右连续
如果 lim x x0
f (x) f (x0)
则称 yf(x)在点 x0 处左连续
如果 lim
x x0+
f (x) f (x0)
则称 yf(x)在点 x0 处右连续
•结论
函数yf(x)在点x0处连续函数yf(x)在点x0处左连续 且右连续
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❖连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 ,称 x0 为无穷间断点 .（演示 ）
若其中有一个为振荡, 称 x0 为振荡间断点（. 演示 ）
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例2
y
y tan x
x π 为其无穷间断点 . 2
x 0 为其振荡间断点 . y
O
x
2
y y sin 1 x
O
x
x 1 为可去间断点 . O 1 x
续函数 或者说函数在该区间上连续
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
例如，
多项式函数P(x)在区间(- +)内是连续的
这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有
定义 并且
lim
x x0
P(x)
P(x0)
注:
如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在 左端点连续是指右连续
❖函数的连续性定义
设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果
lim y0
x0
或 lim x x0
f
(x)
f
(x0)
那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续
提示:
△y=f(x0+△x)-f(x0)
设x=x0+△x 则当△x0时 xx0 因此
lim y0
xx 00
lim [ xx xx00
f
(x)
f
(x00)] 0
lim xx xx00
f
(x)
f
(x00)
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❖函数的连续性定义
设函数 yf(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果
lim y0
x0
或 lim x x0
f
(x)
f
(x0)
那么就称函数 yf(x) 在点x0处连续
讨论:
如何用ed 语言叙述函数的连续性定义？
1x
y
1
O
x
1
内容小结
在点 连续的等价形式
左连续 右连续
在点 间断的类型
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限至少有一 个不存在
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思考与练习
1. 设
f
(
x)
x a
sin
1 x
+ x2
, ,
x 0 , a ____ 时 f (x) 为 x0